CHAPITRE IL

137. Soit u—f[z) une fonction holomorphe de la variable imaginaire z ^= X -\-yi clans une certaine étendue du plan ; si Ton pose

on obtient deux fonctions réelles X et Y des deux variables réelles et indépendantes x et j; ces deux fonctions jouissent de propriétés particulières dont nous avons dit quelques mots au commencement de cet Ouvrage. La fonction proposée ayant une dérivée, nous avons vu que

,, , , ;)X .-bY . fiX .^Y

et nous en avons conclu que les deux fonctions X et Y admettent des dérivées partielles satisfaisant aux deux relations

^ ' tiX ilif dy bx

Nous savons que la fonction /'(z) est holomorphe dans la même étendue que la fonction proposée; il en résulte que les fonctions —5

r— j ^— î ^- admettent elles-mêmes des dérivées partielles, et, par con-

iy i)a: dx i ' ' r

séquent, que les deux fonctions X et Y admettent des dérivées partielles

du deuxième ordre. Comme on a

. cVX .-b'X .fy\ , ■ .VY \ cVX .cVY

ces dérivées partielles satisfont aux quatre relations

cVY

Hx*

'iix^y

Tix^ '

~~ 'iix^y

La fonction f" {z) étant aussi holomorphe, les dérivées partielles du deuxième ordre admettent des dérivées partielles du premier ordre, et, par conséquent, les deux fonctions X et Y admettent des dérivées partielles du troisième ordre, et ainsi de suite indéfiniment.

On a, d'une manière générale,

•' ^ ' Ix* lx''-'^y • 7)x"-^'i)y-' 'bx^-''by^ }^x''-*1iy* ^ î)J"'

On en déduit les un relations linéaires et homogènes

'i-'H ?"Y cVX Î)»Y Ô-X

D^" 'i)x"''''by ôx"-*Dj^ 'bx''-^'by' 'bx'*-*'by*

entre les 2/1 dérivées partielles de l'ordre n des deux fonctions X et Y, relations qui permettent d'exprimer ces 2n dérivées au moyen de deux

d'entre elles, par exemple de ^ et de ^^„.^^-

i38. Considérons les deux courbes représentées par les équations X = o, Y = o. Soit Zq une valeur de z qui annule la fonction /(2).

Nous avons démontré que cette racine est d'un degré fini et entier n de multiplicité; elle annule la fonction /(^j et ses /i — r premières dérivées, mais pas la suivante; d'après les relations (2 ), toutes les dérivées partielles des fonctions X et Y seront nulles jusqu'à l'ordre n — i inclusivement. On en conclut qu'un point racine d'ordre n de la fonction holomorphe/(z) est un point multiple d'ordre n de chacune des courbes X = o, Y = o.

Réciproquement, si un point commun aux deux courbes X = o, Y = o est multiple d'ordre n de l'une d'elles, il est multiple du même ordre dans l'autre; car si toutes les dérivées partielles de l'une des fonctions X et Y sont nulles jusqu'à l'ordre n — i inclusivement, en vertu des relations (2), celles de l'autre sont aussi nulles jusqu'au même ordre. Ce. point multiple, commun aux deux courbes, est une racine de degré n de la fonction /(z).

Cherchons maintenant les tangentes en ce point multiple. La fonction f(z) est développable en une série

ordonnée suivant les puissances entières de z — «o» 6t convergente dans un cercle ayant le point z^ pour centre. Si l'on pose

z — Zo = pe's cette série devient

/{2)=/"(Zo)-^^ +/"-^'(2.)-^— ^7 : + •••;

on en déduit

V P" P"X„ - 3"Y„ . -\ X = — 1 -T — cos nO — smn 0 1