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qui se rapportent aux m branches de la fonction u.

135. Théorème XIV. — Toute fonction qui, sur toute la sphère, na pas de points singuliers autres que des pôles et des points critiques algébriques, et qui n'admet quun nombre fini m de valeurs en chaque point, est une fonction algébrique.

En vertu du raisonnement précédent, toute fonction entière et symé-

trique des m valeurs de la fonction u est une fonction méromorphe de z,

pour toutes les valeurs finies de z. Faisons maintenante = —\ puisqu'on

suppose que le point 2'= o est un point ordinaire, ou un pôle, ou un point critique algébrique, d'après le même raisonnement, la fonction symétrique est aussi méromorphe dans le voisinage de ce point. Cette fonction symétrique, étant ainsi méromorphe sur toute la sphère, est une fraction rationnelle (n° 129). Il en résulte que les fonctions (p, (z), (s^^[z),..., <pm{z) sont des fractions rationnelles que l'on peut mettre sous la forme

'j'o(^)» ^i(^). ^2(^).-- étant des polynômes entiers; par conséquent, la fonction proposée m de z satisfait à une équation

dont le premier membre est un polynôme entier en z et en m, et du degré m par rapport à u.

Ce dernier théorème comprend, comme cas particuliers, les théorèmes XI et XII, qui servent à l'établir; ils nous seront très-utiles dans la suite. Nous les avons publiés pour la première fois, sous une forme un peu différente, dans le Journal de VÉcole Polytechnique de i856.

Corollaire I. — Une fonction u de z, définie par une équation dont le premier membre est un polynôme entier en z et u, du degré m par rapport à M, et irréductible, admet m valeurs en chaque point.

Car, si elle en admettait un nombre moindre, elle satisferait à une équation algébrique d'un degré inférieur à m par rapport à m, et l'équation proposée ne serait pas irréductible.

Corollaire II. — La somme des ordres d' une fonction algébrique sur toute la sphère est nulle.

Cela résulte de ce que la somme des ordres d'une fraction rationnelle <Pm(^) sur toute la sphère est nulle (n° 129). On peut encore s'en rendre compte de la manière suivante. Concevons que l'on divise la surface de la sphère en deux parties par un cercle C dont le plan soit

perpendiculaire au diamètre 00', et qui ne passe par aucun point critique; la somme des ordres de la fonction u de z dans l'une ou l'autre

zone est égale à la variation de la fonction — .\og[utU2...u,n) sur le

cercle G, décrit dans le sens positif par rapport à cette zone, c'est-à-dire dans un sens tel, qu'un observateur ait à sa gauche l'aire de la zone; le sens du mouvement sur le cercle C étant différent pour les deux zones, les variations sont égales et de signes contraires, et, par conséquent, la somme des ordres de la fonction algébrique sur la sphère entière est nulle.

Soit /{z, u) = o l'équation proposée du degré m en u et du degré m' en z. La somme des ordres de la fonction m de ^ sur toute la sphère étant nulle, la somme des ordres positifs est égale à la valeur absolue de celle des ordres négatifs. Si, dans l'équation, on remplace u par Mo + u', Uq étant une constante arbitraire, comme la somme des ordres négatifs est la même pour les deux fonctions u et n'y celle des ordres positifs reste aussi la même et, par conséquent, est indépendante de la constante Mo- Supposons que la constante u^ n'appartienne à aucun des

systèmes de valeurs de u et z, ou de u et -; qui satisfont aux deux équations simultanées /(i;, u) = o, ~- =. o, et que, en outre, le coefficient de z'"' dans l'équation proposée ne s'annule pas pour u— u^. Pour évaluer la somme des ordres positifs de la fonction u' de z, il faut considérer les points z racines de l'équation /(z, Uq) = o du degré m'; en chacun de ces points, l'ordre de la fonction u' de z est égal au degré même du point racine, de sorte que la somme des ordres positifs de la fonction u' est égale à m' . Ainsi la valeur absolue de la somme des ordres négatifs de la fonction u de z, définie par une équation algébrique irréductible, est égale au degré de l'équation par rapport à z.

136. Corollaire III. — Dans le chapitre IV du Livre III, nous avons étudié l'intégrale

/ udz.

U et z étant liées par une équation entière/(z, u) = o, du degré m en m.

Cherchons dans quel cas V est elle-même fonction algébrique de z. 11 est nécessaire d'abord que la fonction V n'admette, sur toute la sphère, que des points singuliers algébriques; ceci exige que, dans le développement de chaque système de valeurs infinies de u pour une valeur finie de z, ou de chaque système de valeurs infinies de v = uz^ pour z = oo ou 2'= o, le coefficient H du terme qui, dans l'intégrale, engendre un logarithme, soit nul. Il faut ensuite qu'il n'y ait pas de cycles, ou, s'il y en a, que les intégrales relatives à ces cycles soient nulles. Quand ces conditions sont remplies, la fonction V, n'ayant sur toute la sphère que des points singuliers algébriques, et n'admettant qu'un nombre fini m de valeurs en chaque point, est une fonction algébrique de z, et l'équation entre z et V, mise sous forme entière, est du degré m par rapport à V. D'après une remarque faite dans le numéro précédent, le degré de l'équation par rapport à z est égal à la valeur absolue de la somme des ordres négatifs de la fonction V. Prenons, comme exemple, l'équation

li' — 3m + 2Z =0,

que nous avons étudiée au n° 40. Dans le plan, il n'y a pas d'autres points singuliers que les deux points critiques z = ±:i, autour de chacun desquels se permutent deux racines. Les deux lacets binaires {a)l, {b)l, relatifs à ces points, constituent un système de lacets fondamentaux; comme il n'y a pas d'autres lacets dans le plan, il n'y a pas de cycle, et, par conséquent, pas de période. On en conclut que l'intégrale

\ = f udz

est une fonction algébrique de z.

L'équation transformée

a ses trois racines infinies et du degré | pour z' = o ; mais comme il ne doit pas y avoir de période polaire, il est certain que, dans le développement de Vy le coefficient H sera nul, ce qu'il est facile de vérifier

directement; le point 0' est donc un point critique algébrique par rapport à la fonction V qui acquiert autour de ce point trois valeurs infinies du degré f se permutant circulairement; la somme des ordres négatifs de la fonction V étant égale à — 4. l'équation entre V et z^ qui est du troisième degré en V, est du quatrième degré en z. Par un changement de variable, on a immédiatement

\ :=z UZ — I zaU:=UZ 7 h -ô"

L'élimination de u donne l'équation cherchée

64V' 4- i44V*- 27(82'— 3)Vh-272»(23' — i) = o. Prenons, comme second exemple, l'équation

m' — 3zu -\- z* = Of

dont nous nous sommes occupés au n° 45. Dans le plan, il y a quatre points critiques a, b, c, 0, auxquels correspondent quatre lacets binaires (a)o. (^)o» (^)o> (^)i î si l'on forme avec les deux premiers un système de lacets fondamentaux, les deux autres donneront deux cycles simples et, par conséquent, deux périodes

L'équation transformée

z'^v^—Zz'*v + \ = o

a ses trois racines infinies et du troisième degré pour z'= o; si l'on pose V— wz'~'\ l'équation devient

w^ -h I — 3wz' =^ o.

Les trois racines de cette dernière équation sont holomorphes dans le voisinage du point z' = o, et représentées par la série

z' xz oc o

dans laquelle a désigne l'une quelconque des racines de l'équation a^ = i ; on en déduit

j's az'» 3

le coefficient H est nul; il n'y a pas de lïériode polaire, et le point 0' est pôle du second degré par rapport à chacune des branches de la fonction V. D'après cela, l'intégrale relative au lacet (0') sur la sphère, ou au circuit correspondant dans le plan, donne une quantité nulle, quelle que soit la racine prise comme valeur initiale. En supposant que le rayon du circuit passe entre les points c et a, on en déduit les trois relations

a[+c* = o, a', + bl -h 01 = o, b\+c\-hO\=o,

qui se réduisent à deux, puisque la somme des trois premiers membres est identiquement nulle; il en résulte que les deux périodes w, et Wa sont nulles. Ainsi la fonction V n'a que des points singuliers algébriques sur toute la sphère, et à chaque valeur de z correspondent seulement trois valeurs de V; donc V est une fonction algébrique de z, La somme des ordres négatifs de la fonction V étant égale à — 6, l'équation entre V et z, qui est du troisième degré par rapport à V, est du sixième degré par rapport à z.

On obtient immédiatement la fonction V en posant

u—zt, <'=Ç;

d'où

L'élimination de z donne l'équation cherchée