PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES
Des périodes,
142. Dans le chapitre IV du Livre II nous avons montré comment, à l'aide des quatre fonctions Q, qui se déduisent d'une même fonction G, on peut former des fonctions méromorphes doublement périodiques, et nous avons figuré cette propriété par la division du plan en parallélogrammes égaux construits sur les deux périodes. D'une manière générale, nous dirons qu'une fonction /(a) admet les deux périodes w et w', lorsqu'on a
et, par suite,
f{z -h mw 4- m'w' ) =r/(z),
m et m' étant des nombres entiers quelconques, positifs ou négatifs. Nous supposerons que l'on n'a pas/(a 4- - J =/(«), nétant un nombre entier, sans quoi on remplacerait la période w par la période plus petite - ; nous supposerons de même que Ton n'a pas/fi + — J — f[z). Remarquons d'abord que le rapport des deux périodes est imaginaire. Car, si le rapport — était réel et égal à une fraction ordinaire
irréductible — ? on aurait
mtù + m' ùi' —
yf ,J
on pourrait déterminer les deux nombres entiers m et m' de manière que m/n- m'/i' = i; il en résulterait
mw + m w' =: -■ n
et, par suite,
ce qui est contraire à l'hypothëse.
Si le rapport— était incommensurable, en le supposant converti en
fraction continue, il serait compris entre deux réduites consécutives^» ^<.
dont la différence est ~,\ on pourrait donc le représenter par ^ h .»
h étant un nombre compris entre — i et + i, et l'on aurait
, , /ma + m' p m' k\ mw + m'(ù' = — î ^- -I r ) «>
\ q qq J
et, en faisant m = — p, m' = q^
mw
La fonction aurait la même valeur au point z et au point infiniment
voisin jz H j- Appelons u la valeur de la fonction/(z) au point z; il
serait impossible de décrire du point z comme centre un cercle ne comprenant aucune racine de la fonction /(z) — m, autre que le point z, ce qui ne peut pas être (n° 115).
Le rapport des périodes étant imaginaire, les arguments des périodes w, co' déterminent deux directions différentes, et Ton pourra diviser le plan en un réseau de parallélogrammes égaux {^g. 67), dont les sommets correspondent aux valeurs mw h- m'oi' de la variable z (n** 76). La fonction reprend la même valeur aux points homologues de ces différents parallélogrammes. Si, à l'intérieur du premier
FONCTIONS DOUBLEaŒNT PÉRIODIQUES. 233
parallélogramme, celui qui a pour sommets l'origine et les trois points w, û>', w -h co', il n'y a aucun point w" tel que l'on ait/(2 -t- w") =/[z),
Fig. 67.
nous dirons que le réseau formé sur les deux périodes «, w' est un réseau élémentaire.
143. Mais s'il existe un ou plusieurs points jouissant de cette propriété, on pourra construire un réseau à mailles plus petites. Remarquons d'abord que le nombre de ces points est limité; car, s'il y en avait .une infinité, l'équation /(^j — Uq = o, dans laquelle u^ est la valeur de u pour z = o, admettrait une infinité de racines dans le parallélogramme, ce qui est impossible (n° 117). Concevons que la droite 0« se meuve parallèlement à elle-même, et soit w" le premier des points intérieurs dont nous venons de parler qu'elle rencontre; considérons le réseau construit sur les deux périodes w, w", et qui, d'après sa formation même, est un réseau élémentaire; les sommets du premier réseau appartiennent au second; car, si un sommet du premier réseau ne coïncidait pas avec un sommet du second, il y aurait à l'intérieur de l'un des parallélogrammes, et par conséquent à l'intérieur du premier parallélogramme du second réseau, un point w'" tel que/(z -t- w'") =/[z), ce qui est impossible.
Il résulte de ce qui précède que toutes les périodes d'une fonction monotrope se réduisent à une ou à deux périodes distinctes. Dans le premier cas, elles sont de la forme ttzgo; dans le second cas, de la forme mw h- m'co', m et m' désignant des nombres entiers quelconques,
et le rapport— étant imaginaire.
Transformation des périodes»
144. Lorsque la fonction admet deux périodes distinctes, il y a une infinité de manières de former un réseau élémentai;*e. Il est évident d'abord, d'après ce que nous venons de dire, que les sommets de deux réseaux élémentaires coïncident. Soient w, w' les deux périodes d'un premier réseau élémentaire, w,, «Vcelles d'un second. Les sommets w,, (ù\ du second réseau appartenant au premier, on a •
û), = /?&) + p'w', (o\ =: q (ù -{- q' oi' ,
p,p\ q, q' étant des nombres entiers. Les sommets w, w' du premier réseau appartenant au second, les valeurs de w et de «'tirées de ces relations doivent avoir la même forme, ce qui exige que les nombres/?, p'j q, q vérifient la relation jog»' — qp' =: ±. \, et cette condition est suffisante. Cette relation admettant une infinité de solutions, on en conclut que l'on peut remplacer le système des deux périodes w, w' par une infinité de systèmes équivalents.
Remarquons que deux réseaux élémentaires sont formés de parallélogrammes équivalents; car, si l'on pose
co = a H- 6i , oi' z=z a' -\- b' i, l'aire du premier parallélogramme est ±: [ab'— bd), celle du second dz[{pa-^p'a'){qb-hq'b')-{pb-hp'b'){qa-hq'a')]=:zt{pq'-qp'){ab'—ba').
145. La manière la plus simple de transformer un réseau élémentaire en un autre réseau élémentaire consiste à prendre
q étant un nombre entier quelconque. Les deux parallélogrammes ont alors un côté commun Ow {fig. 68) et les côtés opposés au côté commun sont sur une même droite. On peut toujours, par une série de transformations de cette sorte,
FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES. 23o
passer d'un réseau élémentaire (w, w') à un autre réseau élémentaire
fùi = pcù -h p'W, (ù\ -^ q M -h q' oi' , pq' — qp'=^±\.
Si p est plus grand que/>' en valeur absolue, divisons p par /?', et soit
Fig. 68.
p — mp' -h/>'; posons q — mq' 4- ^", la relation pc^ - qp'=±\ devient p"q'—q"p'= -t I, et l'on a
co, = />' { w' 4- m M ) -h p"m = /)' w" +- /)"&), &)',= ç'(6o'+ mw) -h ^"w = q'(ù"-<r q"o),
en appelant «" la nouvelle période oi'-hmu. Divisons de même p' par^", et soiip'=m'p"-hp'"; posons q' = m'q"-\- q\ nous aurons
M, = p"{oi + m'û>" ) + /;"'o)" = p"(^"' 4- />'"&)", «', = g"(&) + m'w" ) 4- q"'(o" = g"w"'+ g"'w",
en appelant w" la nouvelle période a 4- m'«". Après un certain nombre de transformations pareilles, on aura
les coefficients satisfaisant à la relation ^^""''^^"^ — q^"-*^p^"^ = di i . Les deux nombres p et p' étant premiers entre eux, on arrivera à un reste p^"~*^ égal à l'unité; le reste suivant /?^"^ étant nul, la relation précédente donne q'^"^ = d= i , et l'on a
Fonctions intermédiaires.
146. Certaines fonctions simplement périodiques, telles que e', sin^, cosz, restent holomorphes dans toute l'étendue du plan; telle est aussi la fonction e*'"*. Mais il n'existe pas de fonction doublement périodique holomorphe dans un parallélogramme élémentaire, et par conséquent dans toute l'étendue du plan; car, si la fonction était holomorphe dans un parallélogramme élémentaire, son module serait moindre qu'une quantité fixe M dans ce parallélogramme, et par conséquent dans tout le plan, et la fonction serait constante (n° 126). La fonction 0 appartient à une classe de fonctions sur lesquelles M. Hermite a appelé l'attention des géomètres et dont il a démontré les principales propriétés (Lettre à Jacobi, i844; Œuvres de Jacobi et Cours de l'École Polytechnique). Ces fonctions, intermédiaires entre les fonctions simplement périodiques et les fonctions doublement périodiques, sont holomorphes dans toute l'étendue du plan, et jouissent des propriétés suivantes :
Nous verrons qu'on les exprime toutes à l'aide de la fonction 0.
Remarquons d'abord que, si l'on remplace dans l'une et l'autre des relations précédentes z par z + w' ou par z -h w, on a
ce qui exige que les deux constantes a et a' satisfassent à la relation
(a) a(d' — a' (ù = uriTci,
n étant un nombre entier quelconque.
Concevons le plan divisé, comme précédemment, en un réseau de parallélogrammes égaux. Il est évident que, si z, est un zéro de la fonction, toutes les valeurs de z représentées par la formule
^== z, -i- mu -\- m'a)',
dans laquelle m et m' sont des nombres entiers quelconques, sont aussi des.zéroff de la fonction; ces zéros sont des points homologues des divers parallélogrammes. En répétant ici le raisonnement du n° 124, on démontre que le nombre des zéros compris dans chaque parallélogramme est égal à n\ c'est ce que nous appellerons \ ordre de la fonction.
On ramène la recherche de ces fonctions à celles des fonctions de même sorte, mais qui admettent la période w. Posons, en effet,
A et B étant des constantes arbitraires; la fonction 9(2) jouit des mêmes propriétés, car on a
(p{z -h co) — ^(«-'^"î^ + ^-A'-'-B^cp^^).
Si l'on choisit les constantes A et B de manière que n — 2Aw = o, h — Aw^ — Bw = o,
d'où
la fonction admettra la période w, et l'on aura
2/iiczi nw'fw-ii»') b'it — bia'
147. Il s'agit donc de trouver une fonction holomorphe 9 {z) jouissant des propriétés
(4) (p(z + &))rr:9(2), <f>{z+(ù')=e " <f{z).
Cette fonction, étant holomorphe dans tout le plan et admettant la période w, est développable en une série
^ tmvzi
ordonnée suivant les puissances entières, positives ou négatives, de
238 LIVRE IV. - CHAPITRE m.
sit zi
rexpoiientielle e " , et convergente dans tout le- plan (n° 99). Si l'on remplace z par z + w', cette série devient
p désignant le rapport — • Mais la seconde des relations (4) donne
9(2 +&)') = 2Ame*e ^ =:2A„+„e*e ". . De la comparaison des deux séries précédentes, on déduit
Tous les coefficients de la série pourront donc s'exprimer à l'aide des n coefficients Ao, A,,--» A„,, qui restent arbitraires. •-y^jf,^ Dans le cas où n= o, l'équation (6) se réduit à Am{e^"''^^'~'' — i) = o;
tous les coefficients sont nuls, excepté un, par exemple Am* et l'on a
b — 2mnpi^ (f{z) — A^e " ; ainsi la fonction de l'espèce considérée, qui n'a pas de zéro, est une exponentielle. ^
Dans le cas où n — ï, la relation (6) devient
A„+, = Ame2'"'=P''-*.
En donnant à m successivement les valeurs o, i, 2,..., m — i, et mujti pliant ces égalités membre à membre, on trouve
A™r=: Aoe'"('?'-'^f'-'"*,
en posante, = — \ K- On retrouve ainsi la fonction 0; c'est la
seule fonction de l'espèce considérée qui n'ait qu'un seul zéro dans le parallélogramme (w, w').
Avec cette fonction 0, on peut former toutes les autres. Considérons en effet la fonction
>K')=il0(^+^-'")'
qui a n zéros donnés «,, a^,-., a^ dans le parallélogramme (w, «'), et qui satisfait à des 'relations de la forme (4); si la fonction ç [z) admet
les mêmes zéros, la fonction holomorphe %-r\-> n'ayant pas de zéros,
et satisfaisant à des relations de même forme, est une exponentielle
0,6 " , dans laquelle m est un nombre entier arbitraire; on a donc
(7) ^^,)=.cè^llQ{!^^ + z--a,y
et, par suite,
A, B, C étant des constantes arbitraires. Telle est l'expression générale des fonctions intermédiaires de l'ordre n; elles renferment n -t- 3 constantes arbitraires, savoir les n zéros et les trois coefficients A, B, C. C'est à l'aide de ces fonctions holomorphes que l'on forme les fonctions doublement périodiques; car, si l'on considère deux fonctions intermédiaires satisfaisant aux mêmes relations (i), et, par conséquent, du même ordre, à cause de la relation (2), leur quotient sera une fonction méromorphe doublement périodique. Nous allons maintenant étudier en elles-mêmes les fonctions doublement périodiques.
148. Théorème I: — La somme des résidus d'une /onction méromorphe doublement périodique, dans chaque parallélogramme élémentaire, est nulle.
Soit/(z) une fonction méromorphe admettant les deux périodes w, o)\ Considérons un parallélogramme, rectiligne ou curviligne, ayant pour sommets Zq, z^-h oj, Sq+w', ^o-t-w-f-w', et dont le contour ne
passe par aucun pôle. Nous savons (n° 120) que l'intégrale
-■ff(
z)dz,
relative à ce contour, est égale à la somme des résidus de la fonction/(^) relatifs aux pôles situés dans le parallélogramme. Les côtés opposés du parallélogramme donnant dans l'intégrale des résultats égaux et de signes contraires, l'intégrale définie et, par conséquent, la somme des résidus, est nulle.
149. Théorème II. — Toute fonction méromorphe doublement périodique admet au moins deux infinis dans chaque parallélogramme élémentaire.
Comme nous l'avons déjà remarqué (n° 146), la fonction devient nécessairement infinie dans chaque parallélogramme élémentaire et, par conséquent, puisqu'elle est supposée méromorphe, elle admet un ou plusieurs pôles dans ce parallélogramme. Si tous les pôles a, |3, . . . sont simples, la fonction pourra se mettre sous la forme
fi [z) étant holomorphe dans le parallélogramme (n° 118); les résidus relatifs aux pôles sont A, B, . . . ; puisque la somme A + B + . . . des résidus est nulle, il est nécessaire qu'il y ait au moins deux pôles dans le parallélogramme. Mais, au lieu de deux pôles simples, il peut y avoir un pôle double; dans ce cas, on aura
le résidu étant nul.
150. Corollaire. — Deux fonctions intermédiaires du premier ordre ^ satisfaisant aux tnêmes relations
sont dans un rapport constant. Autrement ce rapport serait une fonction
doublement périodique n'ayant qu'un infini dans chaque parallélogramme (&), w'). C'est d'ailleurs ce que l'on peut vérifier directement à l'aide de la formule (8), qui représente ce genre de fonctions.
Il en résulte que les fonctions ^ sont, abstraction faite d'un facteur constant, les seules qui jouissent des propriétés établies au n"* 75, savoir :
(10) < Ti : (12) I icj
151. Théorème III. — La somme des ordres d'une fonction me'romorphe doublement périodique y dans chaque parallélogramme élém£ntairey est nulle.
D'après le théorème du n° 122, la somme des ordres de la fonction/(z) dans un parallélogramme est égale à l'intégrale définie
Ajl)l0g/(2)rf2,
f (z) relative au contour du parallélogramme; la fonction D log/(z) == — ,— t>
admettant les deux périodes w, w', comme la fonction proposée/(z) et sa dérivée f'(z), les parties de l'intégrale relatives aux côtés opposés sont égales et de signes contraires. Ainsi l'intégrale définie, et, par conséquent, la somme des ordres de la fonction/(z), est nulle.
Corollaire. — Appelons n le nombre des infinis de la fonction f[z) dans un parallélogramme élémentaire, en tenant compte du degré de multiplicité de chacun d'eux; le nombre des zéros sera aussi n. La fonction doublement périodique f{z) — u, dans laquelle nous regardons u comme une constante, ayant les mêmes infinis que f{z)y a aussi n zéros; on en conclut que, dans chaque parallélogramme, il y a n points où la fonction proposée f{z) acquiert une valeur donnée quelconques. D'après cela, nous caractérisons l'ordre d'une fonction doublement périodique par le nombre de ses infinis dans chaque parallélogramme; l'ordre est au moins égal à deux. Les trois fonctions
elliptiques X, p., v, que nous avons formées à l'aide des quatre fonctions 6 (n° 76), ont chacune deux infinis dans chacun des parallélogrammes du réseau ; ce sont des fonctions du second ordre et les réseaux, tels que nous les avons construits, sont bien des réseaux élémentaires.
La dérivée /' [z) admet les deux périodes w, co'. Le réseau construit sur ces deux périodes est aussi un réseau élémentaire de la fonction/' {z) ; car si, dans le premier parallélogramme, il y avait un point w" tel que l'on eût/' {z-\- w") =/' {z), la fonction /(^ 4- «") — /(z), ayant sa dérivée nulle, serait une constante A, et l'on aurait/(z + mw") —/{z) = mk-, mais, comme on a ici w'= m'w + mw", la constante A serait nulle, et l'on aurait /(^ -h w") =/[z). Soit p le degré d'un infini de la fonction/(^j; la dérivée /'(z) admet le même infini au degré /? H- i ; l'ordre de la dérivée est donc égal à 2 (p h- i) — w 4- «,, rif désignant le nombre des infinis distincts; il est égal, au moins à /i-f i, au plus à 2/i.
152. Théorème IV.— Deuœ fonctions méromorphes doublement périodiques, aux mêmes périodes, et qui, dans un parallélogramme élémentaire, ont les mêmes zéros etle$ mêmes infinis, chacun au même degré, sont dans un rapport constant.
Le rapport des deux fonctions proposées est une fonction doublement périodique, aux mêmes périodes. Ces deux fonctions ayant les mêmes zéros et les mêmes infinis, chacun au même degré, leur rapport reste holomorphe; c'est donc une constante (n** 146).
153. Théorème V. — Si Von considère les zéros et les infinis d'une fonction méromorphe doublement périodique qui sont situés dans un même parallélogramme élémentaire^ la somme des zéros ne diffère de celle des infinis que par des multiples des périodes.
Soit/(2) une fonction méromorphe doublement périodique aux périodes w, w', ayant n zéros «<, aj,..., a„ et n infinis a,, «a,..., a„ dans un même parallélogramme élémentaire. On peut trouver dans ce parallélogramme un point d^ tel que l'excès de la somme a, -+- a2-}-...-r- «« sur la somme d^ + a2-t-...-h a,, soit de la forme mw'-i- m' (à, Consi-
dérons la fonction \JLm5'\)«
qui admet évidemment la période co. Quand on y remplace z par z -+■ w', le numérateur et le dénominateur étant multipliés respectivement par
la fonction «p [z) est multipliée par
- — I m u' -+- (rt'i + fl. +...+ «„) — (o4-t-«j +...+ «„ )1
c'est-à-dire par i ; elle admet donc aussi la période «'. D'ailleurs elle a dans le parallélogramme les zéros a'j, a^,..., «„ et les infinis a,, «2,..., <x„. Je dis maintenant que a, = a\; car, si cela n'avait pas lieu, le
rapport ^^^ serait une fonction doublement périodique n'ayant qu'un
infini a\ dans le parallélogramme, ce qui est impossible (n** 149). Ainsi les zéros et les infinis situés dans un même parallélogramme élémentaire satisfont à la relation
(i3)" ^och — 2aA = /nw'-t- /w'w.
Ce théorème important est dû à M. Liouville.
154. Théorème VI. — // existe une fonction méromorphe doublement périodique ayant des périodes données et admettant dans un parallélogramme élémentaire n zéros et n infinis donnés, tels que la somme des zéros ne diffère de celle des infinis que par des multiples des périodes.
Soient w, w' les périodes données, ai,a^,...,an les zéros, a,, a-i, . . . , cf.n les infinis situés dans un même parallélogramme élémentaire; nous supposons que ces zéros et ces infinis satisfont à la relation
2aA— lah = mw'+ /n'co, m et m' étant deux nombres entiers. Nous avons vu que la fonction
dans laquelle le coefficient A est arbitraire, jouit de toutes les propriétés énoncées; en vertu du théorème IV, c'est la seule. On déterminera le coefficient A en donnant la valeur de la fonction pour une valeur particulière de la variable.
155. Théorème VII. — La somme des n valeurs de la variable qui, dans un même parallélogramme élémentaire, correspondent à une même valeur de la fonction, est constante, abstraction faite des multiples des périodes.
Soient a,, «j,..., a„ les n infinis de la fonction doublement périodique/(z) dans un parallélogramme élémentaire; la fonction/(2) — u, dans laquelle nous regardons u comme une constante, ayant les mêmes infinis que /(z), a aussi n zéros z^, z^,..., z^ dans le parallélogramme; en vertu du théorème V, la somme z^-\- z^-V-...-^ z^ de ces n valeurs de z ne diffère de la somme a, + «a + • • • -i- «« des infinis que de multiples des périodes.
Corollaire I. — Une fonction doublement périodique du second ordre, dont les infinis sont a et |3, satisfait à la relation
Soit/(z) une fonction doublement périodique du second ordre, aux périodes w, w', et ayant les deux infinis a et ^; à chaque valeur de la fonction correspondent dans un même parallélogramme deux valeurs z^ et z^, dont la somme z^ 4- z^ ne diffère de la somme a H- |3 des infinis que de multiples des périodes; on a donc
d'où
et, par suite,
Zy -1- Zj = a -i- [3 + w&) + m' (,i ; Zj = a H- [3 — z, H- /n&) + m' bi',
fia+^-z,)=--f{z,),
et cette relation a lieu, quelle que soit la valeur de ^<. La fonction X(2), aux périodes aw, w', ayant les infinis — > œ
satisfait à la relation X(w — z) =l[z), qui d'ailleurs est une conséquence de la relation X(z 4- w) = — X(2) (n° 76).
156. Corollaire II. — La dérivée d'une fonction doublement périodique du second ordre , aux périodes w , w', et ayant deux infinis
1 . n j . 1 ^ ' a-f-Sa-fS wa-l-ô co' Simples Cf. et p, admet les quatre zéros -» + -> ~ -\ -,
II est des cas où l'on aperçoit immédiatement certains zéros et certains infinis de la fonction. Considérons d'abord une fonction satisfaisant à la relation/(c — z) = — /(z), dans laquelle cest une constante. En
faisante = -> on a /( -] — — f\~] \ <l'où l'on conclut que la valeur -
rend la fonction nulle ou infinie. En faisant z = ~ -\ — ? on a de même
/*(--{--)=: — /(- -i- -)i d'où Ton conclut que la valeur - + - rend aussi la fonction nulle ou infinie; on peut en dire autant de -
C tO-f-O)'...! ^ 1 ce (ù C M
- -\ Ainsi les quatre valeurs -» — h -» — h —
sont des zéros ou des infinis de la fonction. La somme des autres zéros deux à deux, et de même celle des infinis, est égale à c; car, les fonctions/(2) et/(c - z) admettant les mêmes zéros et les mêmes infinis, si a est un zéro, c — a est aussi un zéro, et, de même, si a est un infini, c — a est aussi un infini. Une fonction impaire rentre dans cette catégorie; il suffit de faire c = o.
Considérons, en second lieu, une fonction satisfaisant à la relation/(c — z) —f[z). Les zéros et les infinis de cette fonction ont encore, deux à deux, une somme égale à c. La dérivée satisfaisant à la
relation f'{c—z) = —f' {z), les quatre valeurs -» - H — > - + — ,
- H sont des zéros ou des infinis de la fonction/' (z). Une fonction paire rentre dans cette catégorie; il suffit de faire c = o.
Nous avons vu qu'une fonction doublement périodique du second ordre satisfait à la relation/(a -\- ^ — z) z=f(^z); il en résulte que les
quatre valeurs ^r -h - > 4 — ^ H > attribuées
à -S, rendent la dérivée/' (5) nulle ou infinie. Si la fonction/(2) a deux infinis simples a et|3, la dérivée, ayant les deux infinis doubles a et|3, est ^
du quatrième ordre ; ses quatre zéros sont les quatre valeurs précédentes. , 0/
Si la fonction a un infini double a, la dérivée, ayant l'infini triple a, est "^''"^^^ ^
du troisième ordre ; ses trois zéros sont a -\ — » « H > a -i ,j^
157. Théorème VIII. — Les trois /onctions elliptiques satisfont aux deux relations
(i5) p}{z) + lHz) =1,
Les quatre fonctions Q- [z) sont des fonctions intermédiaires du second ordre, ayant chacune un zéro double dans le parallélogramme (w, w'), et satisfaisant aux relations
