iri

Les fonctions paires

satisfont aux mêmes relations et admettent le zéro double 2 = 0, comme la fonction 0\{z)', car leurs dérivées, étant impaires, s'annulent pour jz = o; ces deux fonctions sont dans des rapports constants avec la fonction Q\ [z)\ autrement ces rapports seraient des fonctions doublement périodiques, n'ayant pas d'infinis. On a donc

Q\{o)Q^{z)- B'{o)Ql{z):=.kQ]{z), Q\{o)Q^{z)~ Q^{o)Q\[z)^^Q\{z).

On détermine les constantes A et B en faisant 2 = — , ce qui donne

A = 0^0), B = 0^(o), et l'on obtient les deux relations

(17) Ql[o)Q'{z)-Q^{o)Q\{z) = Ql{o)Q\{z),

(i8) Ql[o)Q^[z)-Q^{o)Ql{z) = Q\{o)Q\{z),

desquelles on déduit les deux relations cherchées.

Si dans l'équation (i 6) on fait z = - et si l'on remarque que v f|j =k' (n** 77), on trouve que les deux constantes k et k' vérifient la relation

158. Théorème IX. — Une fonction méromorphe u=/{z), doublement périodique et du second ordre, satisfait à une équation différentielle de la forme

(20) 5- = V^A H- Ba -1- Ca^+ Dm»+ EwS

le polynôme sous le radical étant du troisième ou du quatrième degré.

Lorsque la fonction u a deux infinis simples a et ]S, sa dérivée u\ ayant deux infinis doubles a et ]3, est du quatrième ordre; si w et w' sont les périodes, les quatre zéros de la dérivée sont, comme nous

1 avons vu (n° 156), -1 H — » H — ' H

La fonction a'* est du huitième ordre; elle a deux infinis quadruples a et |3, et les quatre zéros précédents, mais chacun au second degré. Considérons la fonction

qui admet les mêmes infinis quadruples a et /3. Le premier facteur s'annule pour z = --■, cette \aleur est un zéro double, car elle

annule la dérivée f'{z) de ce premier facteur; il en est de même des autres facteurs. Les deux fonctions doublement périodiques m" et 9 (z), ayant les mêmes zéros et les mêmes infinis, chacun au même degré, sont dans un rapport constant. Dans ce cas, le polynôme placé sous le radical est du quatrième degré.

Lorsque la fonction m a un infini double a, sa dérivée u', ayant un infini triple, est du troisième ordre; ses trois zéros sont a -h - 5 a 4- — ?

a 4- '-' La fonction u'^ est du sixième ordre; elle a un infini sextuple a et trois zéros doubles. Si l'on considère la fonction

on verra, comme précédemment, que le rapport des fonctions u'^ et 9 {z) est constant. Dans ce cas, le polynôme placé sous le radical est du troisième degré.

159. Corollaire. — Appliquons ce théorème à la fonction X(z), dont les périodes sont 2w, w'. On a ici

^H-- =-, li Î-+WH ..___,

et Téquation différentielle se réduit à

Des relations établies au n° 157 on déduit en différentiant

En vertu des formules (22) du n*' 77, on suppose que, dans les équations précédentes, les radicaux ont la valeur H- i , le premier pour z = o,

le second pour 2 == -> le troisième pour z =. - — ^•

L'équation (21) renferme deux constantes ^ et ^ que l'on appelle, la première le module, la seconde le multiplicateur de la fonction elliptique X. La constante k', qui satisfait à la relation ^^ H- ^'^ = i, est le module complémentaire. D'après les formules (17) du n° 76 et (^3) du

n° 77, les modules k et kf ne dépendent que de la constante q ~ e " ,

et par conséquent du rapport des périodes. Quant au multiplicateur g, on le détermine par la condition

^ ^^ ** ^ ^ ^k 0(0) o^slkO(,o)^'

et Ton remarque que la quantité ^w ne dépend aussi que du rapport des périodes.

160. Théorème X. — Si f[z) est une fonction doublement périodique du second ordre, ayant pour injinis a et ^, toute fonction doublement périodique F(z), aux mêmes périodes, et satisfaisant à la relation F(a-h]3 — s) = F(z), s'exprime rationnellement au moyen def[z).

En vertu de la relation F (a -h /3 — 5) = Y{z), si la fonction F (z) admet un infini a,, elle admet un autre infini a -h /3 — a,, et de même, si elle admet un zéro «,, elle admet un autre zéro a + |3 — «,. La fonction ¥{z) est donc d'ordre pair 2/1; nous représenterons ses zéros par

(rt,, a + (3 — «,), («5, a-f (3 — «,), . . ., («„, a -+- [3 — «„•);

ses infinis par

(a,, a-+- (3— a,), (a,, a-f- (3 — a,),. . ., (a„, a + (3 — a„). Considérons la fonction doublement périodique

Tous les facteurs deviennent infinis en même temps que/(s), c'est-à-dire pour les valeurs a et |3; chacune de ces valeurs de :; est donc un infini du degré n du numérateur et du dénominateur, et la fraction conserve une valeur finie. Un facteur /(s) —/(«a) du numérateur, s'annulant pour z = «A» admet le second zéro «4-/3 — a/,; de même un facteur/(z) —f((/.h) du dénominateur admet les deux zéros «^ et a -h /3 — a^, qui sont des infinis de la fraction. La fonction (p(z) admet les mêmes zéros et les mêmes infinis que la fonction F(z), et par conséquent le rapport des deux fonctions est constant.

161. Théorème XI. — Toute fonction méromorphe doublement périodique s'exprime rationnellement au moyen d'une fonction du second ordre, aux mêmes périodes, et de sa dérivée.

Soient u=f{z) une fonction du second ordre, aux périodes w, w', et ayant pour infinis a et|3, F (s) une fonction de l'ordre n aux mêmes périodes, et ayant pour infinis «,, «a,..., a«. Considérons d'abord la

fonction

cp(z)=F(2)-f-F(a+i3 — z),

qui est de Tordre 2n, car elle admet les 2n infinis

(a,, a + (3 — a, ), (aj, a + [3 — aj,. . ., (a„, a + (3 — a„);

elle satisfait à la relation (p{a-\- ^ — z) = (p{z); elle est donc égale à une fraction rationnelle en u, et l'on a, d'après le théorème précédent,

(25) <p(2)=:F(z) + F(aH-(3-2)= -j-,

L et M étant des polynômes entiers en u du degré n. Considérons ensuite la fonction

^{z) = V{z)-¥ioc + ^-z),

qui est aussi de l'ordre 2/i; car elle admet les mêmes infinis que la fonction (p(z); elle satisfait à la relation <^ [a -+- ^ — z) = — ^{z), comme la fonction/' (2;); d'après une remarque du n** 156, cette fonction admet

les quatre zéros de la tonction/'(2), savoir ^, ^ 4--, ^ -+- -,

— H- ^^ — '— et 271 — l[ autres zéros qui, deux à deux, ont une

somme égale à a + /3. La fonction / (s) = jttA conserve donc une valeur finie quand le dénominateur/' (2) s'annule; elle est aussi de l'ordre 271, car elle admet les 2n infinis de "^{z), qui sont les mêmes que ceux de 9(2); ses 2/1 zéros sont les deux infinis doubles a et |3 de/' (2) et les 'in — 4 zéros de ^{z), autres que ceux de/'(z); elle satisfait, d'ailleurs, à la relation de y^{oc -h ^ — z) = -^{z); on en conclut qu'elle

N est égale à une fraction rationnelle y en u, dont le dénominateur est le

même que celui de la fraction précédente et le numérateur du degré n— 1-, on a donc

(26) .^(2)=F(z)-F{a-f (3 — 2)=ÏÇ^^

Des deux relations (aS) et (26) on déduit la relation cherchée

(27) F{z)=:- — ^L~ Ce théorème est dû à M. Liouville.

162. Corollaire. — Soient/(5) = 1^(2). F(2) = p. («s), n étant un

nombre entier. On peut prendre a = — 1 /3 = — — » d'où a H- /5 = o.

Puisque Y{— z) = F(z), on conclut, d'après le théorème X, quefjL(/iz) s'exprime par une fraction rationnelle Qï\ik{z). De même v{nz) s'exprime par une fraction rationnelle en v[z).

Soient maintenant/(s) = >.(2),F(5) = ^{nz). La somme a -H /3 est égale à «. Quand n est impair, comme on a F (« 4- |3 — s) = F (2), la fonction X(wz) s'exprime par une fraction rationnelle en \{z). Quand n est pair, comme on a F(a -h |3 — s) = — F(z), d'après la relation {2^») établie au numéro précédent, \[nz) est égale au produit de X'(s) par une fraction rationnelle en ). (s). Nous nous occuperons plus tard de la détermination de ces fractions rationnelles.