z) Tri 6, {6} V " (-'ï

^ '^^ e,{z) ' ûj 0;io) Zi TT

^ ' mW « COS -

- z — [im — i) — co L ' 2 J

Pour développer la fonction j — •, qui admet la période w, nous appliquerons la méthode du n" 186, en conservant le parallélogramme précédent. Nous remarquons qu'aux points homologues des côtés opposés EF, GH, la différence des valeurs de z étant égale à (2/w'+ i) œ', la fonction/(z) acquiert des valeurs égales et désignes contraires; les valeurs de la tangente sur ces côtés étant à peu près =p «, l'intégrale définie relative à ces deux côtés est infiniment petite; ainsi l'intégrale définie relative au contour du parallélogramme a pour limite zéro, et l'on a l'équation

,,5, |4fi^-|li^„„ V (-■)" .

6|(Z ) &) Q'. (ol ^ TT , ,.

On en déduit ^ V^*^ v K"^ W * >

Oj{2) W 0,(0) ^ 0)

^^ '^ ^ mzT^^'lang- z — (9./n — 1) —

?.8 7-H, = F'Vj»m 7 -I "tang- z— 2m-i — .

On obtient les constantes en remarquant que X'(o) •-■- 4= -^t\ d'où

29) -7m-T = rr, ^^TT-. = r=> —

0'.(o) ^v/^ ^'(«^ g^l^' ^'(<») ^V^ Ces rapports donnent les développements des fonctions elliptiques

=T sm

-la — (im — 1) —

(32) v(z) = — lim y

* ;„ = m'tang- I z — (2m — I, ^

Si l'on groupe les termes deux à deux, les séries (3o) et (3i) deviennent

(33, X(.) =. ^^ sin ÎLÎ y . ^" '■+''""' ,

g<ofr « ^-r", , - î«— ■ cos — ''- + ,■<— >

(34) ^(,) ^ 4JLVJ eos "-J y" '-i)'-r-C - ^-■) .

La série (82) n'est pas convergente dans les deux sens; si de v(o) on retranche y (2), on obtient une série jouissant de cette propriété

(35) i — v{z)=. — sin — >

" sin — sm— z — (2 m — i)

ou plus simplement

(36) r-v(z)=5!!sin'!I£ V