TZ

(i4) /(')"" -TT *^ ^ '"" Z ^r ^ '^

Si la fonction n'a que des infinis simples, l'équation précédente devient

*' \i — ah — rnw ;

,=„ yi=, tang- (/ — «A — m&)')

Aa désignant le résidu de f{z) relatif à a^. La série est convergente

hz=n

dans les deux sens, à cause de la relation \ A^ = o (n" 148); car on a

\ Ayicot -{t — oc^ — mo)') = / Aa col -(< — a^— mw') — col- (t — mw')

*=« A/iSin — -

h=i sin - (/ — m&)') sin - (/ — a^— mw')

Les deux membres de l'équation (i5) admettant la période «, l'égalité est vraie pour toutes les valeurs de t.

Supposons que la fonction /(z) ait dans le parallélogramme ABDC un infini multiple a^ du degré p; l'infini ce =: a^ -h moi' sera du même degré. Posons z = a -\- z\ nous aurons

l f{z) col j (/ - 2) .-. i/(aA-f- 2') cot ^ (/ - « - z')

Si l'on développe en série, il vient

cot - (/ — a — 2') = cot - (/ — a) DfCOl ~ {t — a)-h ■

w 0} l (fi

H- (-,)/'- ^ ^ d;-' cet - (/- «) + . . .,

^ I .2. . .(^ — l) ' CO ^ '

et l'on aura le résidu cherché

Atcot-(i-a)-^'D,col-U-a)-i-(-i;/'-' ^ Dp'cot-U — a)

On obtient ainsi la formule

{i6)/(z)=:-— + - \ \ Afcol-(2 — aA— mw') '-D,coX-{z—u,—m(ù')

Développement des fonctions elliptiques.

189. Considérons les rapports des quatre fonctions 0 deux à deux; de ces douze rapports, huit satisfont à la relation/(z -i- w) = —/{z), les quatre autres à la relation /(z-i-fà) =:f(^z). Nous développerons les premiers par la méthode du n" 18^."|

Commençons par les deux fonctions o-r-\^ Âri' formons un parallélogramme EFGH ayant pour centre l'origine et pour sommets les points ±- ±: (2m'4- i)— -, les infinis de ces deux fonctions, ou les

zéros de ô^ (z), situés dans ce parallélogramme, sont représentés par la formule a = mw', m variantde —m'a -+-m'; touscesinfinissontsimples;

d'après les formules (la) du n° 75, le résidu de la fonction —-4 relatif

à l'infini ww' est^,-^/, celui de la fonction -^>^ est (— i)'" «^^/ On a donc

e{z) TT 0(o) '"~'°

1, sin - (z ~ moi')

sm - ( z — mcù

En remplaçant s par l'une des quantités z + -, z h , z 4-

292 LIVRE m. - CHAPITRE V.

on en déduit

^ ' ' 'w = -oocos - (z — mw')

B,{z) -ni 6,{o) V f- 0"

^ ' '^ ';„^«sin - z — (2/n — i) —

, = « cos

- I z —(2m ~ Il —