TT

COS —7 12 — Vl(>i)

On modifie la formule (37) en y faisant z = o et retranchant le résultat; ce qui donne

,, , 5,(Z) 7r 5(0) . TZZ V (— O"

^^ ' â{z) co' y,(0)^'" «' Zj mTTW TT ,

^ m=-oocos — p- COS — (z — mo))

Les constafltes ont pour valeurs

^(o) I 5,fo) I ^3(0) I

^'.(o) igsjh -^'..(oj ig^if' y,(o) ig^kk- On en déduit d'autres expressions des fonctions elliptiques

(42) X(2 = ;^sin-^ >

ir<ji k w Zj m7r&) tt , ,

^ cos CCS— (z—m&))

° :-« ces — (z — mw

fî^) "^ = ^1

° m=-« COS — 7 (z — mw)

Développement des fonctions -^et -•

191. Les méthodes précédentes peuvent être appliquées au développement des fonctions â et^- La fonction

sin -(-z — f)

admettant la période w et devenant infiniment petite sur les côtés EF, GH du parallélogramme employé dans les deux numéros précédents, l'intégrale définie a pour limite zéro. Pour avoir le résidu relatif au point a = ww', on posera z -- mco'n- z', d'où

imiiz'i

e résidu cherché est

' ^ ' sm -{mw'— t) w

On a donc l'équation

»WZ= 00

^^^^ 9.(z) &)ô;(o) Zi . ïï

sin -{z - m&/]

Gt)

Si l'on renoplace z par z -i- -, il vient

(4^^ fl:T7i^;:;fl^^ T

^ ' ^ ',«=-=0 CCS - (z — m&j )

Pour développer la fonction ôt—;» i'Ous considérerons un parallélogramme EFGH ayant pour sommets les points ±:-±: m' ta'. La fonction

lang'^(2-/)

admet la période w, et a pour pôles dans le parallélogramme, outre le

point t, les points a = (2m — i) — j m variant de — [m'— i) à m' . Cette

fonction ayant une valeur infiniment petite sur les côtés EF, GH, parce que Q [z) est infiniment grande, l'intégrale définie a encore pour limite zéro, et l'on obtient l'équation

d'où l'on déduit

Si l'on groupe les termes deux à deux, ces séries deviennent