I — TT

w=-«. cos —j(z — mw)

(55) -i--^i;^ y (,)«-.p(^^; cot ~\z~{nm-i)-\

' 5,(^) w'5;(o) Zj ^ ' '^ «L î»J

'=*' 5;fr,-.

Développement des fonctions \}\ogQ {z).

192. Les quatre fonctions Dlog^(z) sont impaires et admettent la période w. Nous les développerons par la méthode du n<* 187. Occu-

pons-nous d'abord de la fonction Dlog^(z). Considérons l'intégrale définie

\og6iz)

relative au contour du parallélogramme EFGH (fig. 7*3), qui a pour centre l'origine et pour sommets les points ± - zhm'oi'; les infinis situés

Fig. 73.

dans ce parallélogramme sont le point t et les points a = {2m -i- i) — » m variant de — m' à m'— i. Les parties de l'intégrale relatives aux côtés opposés FG, HE sont égales et de signes contraires. Si l'on désigne par z un point quelconque de la droite A' A, menée par l'origine dans la direction w, les points homologues des côtés EF, GH sont z — m'co', z H- m'w', et l'on a

Dlog0(2-m'w')=-^-^^' + Dlog0(0), w

Dlog0(z-f m'co')= ^î^ -hJ)\ose{z);

rintégrale sur ces deux côtés est donc

-^. r J)\ose{z)lcoi-(z — t — m'(ù') — cot-{z — t-+m'(./)]dz

- / m'\coi~ (z -- 1 — m'M') + coi-(z — t +m'o^')\

dz.

La seconde partie» que l'on peut mettre sous la forme

27r m'sin — (z — t)

- \ r-r^ dz,

f CCS h ces- — (z — t)

tend vers zéro, quand m' augmente indéfiniment. Les deux cotangentes tendant respectivement vers -\- i et — «, la première partie se réduit à l'intégrale rectiligne

- r Dlog0(

z) dxy

qui est nulle, puisque la fonction Dlog0(jz) est impaire. L'intégrale définie relative au contour du parallélogramme tend donc vers zéro, et la somme des résidus est nulle.

Cr)

P î T—=iS\ Dlog0(2);

lang-|^(2m-i-i)--/J ^ ^

Le résidu relatif au point/ est - Dlogô (/); celui relatif au point

a = (2/714- i) — est

mais d'après le lemme du n° 121, le résidu de la fonction Dlogô (z) est égal au degré du zéro de la fonction 5 (2), c'est-à-dire à l'unité. On a donc

m=:ni —i

(5,) DlogeW=;iim^ ■ ,

m=- m' lang - z — (2 m -M ) —

et, en groupant les termes deux à deux,

4Tr , 27:2 V^ q

(58) Dlog0(2) = i^sin^^ y

I — 2^2"-' cos ^^ -+- ^'C"'-')

En remplaçant z par za — ? on en déduit

(5çf) J)\og6i{z) = lim \ lang- z — (2/n-M)— 5

(60) Dloge3(2)=--^sin— ^

W (à jLJ ,« , ^TtZ ,, ,,

Si dans l'équation (57) on remplace z par z h — , on obtient l'ex-

pression

' + '™S .^""T ^ ' ;„=-w'lang- (z — mw') 1

que l'on peut écrire sous la forme

(61) Dlog0,(z)^^lim y