IH

kl

kl{z} s/i — k'):' v(z)

i + hl{z) i-hkl H-/rX(z)

s'expriment rationnellement à l'aide des trois fonctions elliptiques ordinaires; elles admettent les deux périodes 2 w, 200'; comme elles n'ont que deux zéros dans le parallélogramme (2w, 20'), ces deux périodes forment bien un système élémentaire.

LES FONCTIONS ELLIPT. DÉHNIES PAR DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 361 Considérons maintenant la fonction

-kl{z)

dont les zéros sont — h m(ù -+- m'w', et les infinis -h ww-hm'«'.

D'après l'une des équations du n** 223, on a

D'après l'une des équations du n° 224, on a aussi et par suite

On en déduit

9(z + w 4- w') = <p(z -^ 0)), ou (p(z 4- w') = (p(2).

Mais d'autre part

il faut prendre le signe — ; car, si l'on prenait le signe 4-, la fonction admettrait les périodes 2co, w', et n'aurait qu'un zéro et un infini dans chaque parallélogramme, ce qui est impossible. De la relation

on déduit

la fonction admet les deux périodes 4^, w'; le parallélogramme construit sur ces périodes ne renfermant que deux zéros et deux infinis est bien un parallélogramme élémentaire.

Réduction du multiplicateur à l'unité.

227. La fonction elliptique X [z) définie par l'équation difTérentielle

du dz

à laquelle on joint les conditions initiales m — o, ^- = i pour z ~ o,

dépend des deux constantes g et X-, qui sont le multiplicateur et le module. Nous représenterons la fonction par le symbole l(z, g,k), en indiquant ainsi les deux constantes ^ et ^ dont elle dépend.

Lorsque le multiplicateur est égal à l'unité, l'équation différentielle devient

la fonction X(z, i,^) qu'elle définit sera représentée simplement par le symbole X (z, k), en sous-entendant le multiplicateur i . On peut toujours ramener la fonction elliptique X(2, g, k) à celte fonction elliptique particulière; car, l'équation (i) se mettant sous la forme

on a

'^{z, gj() = 'k{gz,k).

Si l'on appelle 2w, «' un couple de périodes de la fonction particulière X(z, k) , la fonction ^{z, g, k) ou "^{gz, k) admettra les périodes — ^> — • On en conclut que le rapport des périodes est indépen-

dani du multiplicateur; c'est ce qui résulte d'ailleurs des formules (3) et (5) du n°221.

Cas oà le module est réel, positif et inférieur à l'unité.

228. Nous supposerons aussi que le mulliplicateur g est égal à l'unité. La première période

est réelle et positive. Faisons décrire à u successivement les deux lacets (a) et (c) ; u croissant de o à i , z croît de o h — -, u décroissant de i à o, après avoir décrit un petit cercle autour du point critique a, z croît de - à w; u variant ensuite de o à — i, et le signe du radical ayant

changé, z croît de w à — ; u croissant de — i »à o, après avoir décrit un

petit cercle autour du point critique c, z croît de — à aw, et ainsi de

suite indéfiniment. On en conclut, réciproquement, que la fonction u = 'k[z) est réelle et comprise entre — i et -i- i pour toutes les valeurs

réelles de z; elle se comporte comme un sinus; z croissant de o à -» u croît de o à I ; z croissant de - à co, u décroît de f à o; z croissant

de w à 2w, u devient négative et varie de o à — i et de — i à o; puis elle reprend les mêmes valeurs périodiquement.

Il en est de même de la fonction /x (z) — y^i — A^ (z j. Quand z croît deoà-?ju,(z) décroît de i à o; z croissant de-à«, la relation

^la"^") ""^(a""") ^^^^ ^^^^ ^"^ l^{^) devient négative et décroît de o à — I ; z croissant de w à 2w, la relation p,(w + z) = — ix(z) montre que fx (z) croît de — i à o et de o à -h i ; puis elle reprend les mêmes valeurs périodiquement; elle se comporte comme un cosinus. Quant à la fonction v (z) = s/ 1 — k^X^ (z), la quantité placée sous le radical ne s'annulant pas, elle reste non-seulement réelle, mais encore positive, pour toutes les valeurs réelles de z. Lorsque z croît

de cf à - el de - à w , v (z ) décroît de i à k'= \/i — k"^, pour croître ensuite de X:' à i ; puis la fonction reprend périodiquement les mêmes valeurs. Ici le module complémentaire k'= v l-\ est positif.

229. Occupons-nous maintenant de la seconde période. Dans la formation du lacet (è), nous éviterons le point critique a à l'aide d'un demicercle très-petit a' ma" {fig. 78), de telle sorte que les lacets [a), (6),

Fig. 78.

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(c), (û?j se succèdent dans le sens positif. Nous prendrons comme seconde période w'= 2B — aA; dans la différence, la partie relative à la droite Oa' disparaît ; il ne reste que la partie relative à la droite a"b' parcourue deux fois, et l'on a

r'' du r~^ du

CO =^ 2 / — :rr— = 2 f •

Sur ab la quantité v reste réelle et positive, mais |ul devient imaginaire et égale à dz i\lu^ — i. Pour choisir le signe, nous poserons

a = i-t-re*', d'où ^— sj{i — u){i-\- u)r= r"^ e * y^a-l-re''. Quand le point u décrit le demi-cercle a' ma", $ varie de tt à o; |jl devant