Nous définirons de même la fonction v[z) par l'équation
(i5) v{z) = sj^- k^V{z],
à laquelle on joint la condition initiale v (o) = r ,
LES FONCTIONS ELLIPT. DÉFINIES PAR DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 357 Cette fonction pourrait cesser d'être monotrope dans le voisinage des points où la fonction X(z) devient égale â ± t^ on infinie. Considérons l'un des premiers points, par exemple le point 5 posons
- +- z'; la fonction X r- — — 4- z' ) étant paire, son développement en série ne contient que des puissances paires de z', et l'on a
y^ i - nl^^ -^ z'\ =z'{a+ b
(16) vh^^^ h z'\=z'{A^ Bz'^ + ...).
On en conclut que la fonction v (z) reste holomorphe dans le voisinage
du point •
Considérons maintenant l'un des seconds points, par exemple le point — ; posons z =— + z', on a
ce qui fait voir que la fonction v(z) reste méromorphe dans le voisinage de ce point. Ainsi la fonction v(z) est méromorphe dans toute l'étendue du plan.
On verra, par un raisonnement analogue à celui du n** 223, que la fonction est paire. De la relation (16) on déduit
et, par suite,
De la relation (17), on déduit de même
et, par suite,
(19) v{z -\-oi') = — v{z).
Des deux relations précédentes, on conclut
Ainsi la fonction v{z) admet les deux périodes as aw'. Ses infinis sont ceux de X(z), ses zéros les valeurs z = -^ h mo) -+- m'w', pour
lesquelles l{z) — rhj- Le parallélogramme construit sur les périodes w, 2&j', ne contenant que deux zéros et deux infinis, est bien un parallélogramme élémentaire.
La fonction v{z), définie par l'équation (i5), est la même" que la fonction définie par la formule (n*' 76)
puisque ces deux fonctions méromorphes, doublement périodiques, aux mêmes périodes, ont les mêmes zéros et les mêmes infinis, et sont égales à l'unité pour z — o.
Relations entre les fonctions elliptiques.
225. Nous pouvons retrouver directement les relations que nous avons obtenues (n^TT) entre les fonctions elliptiques à l'aide de leurs expressions au moyen des fonctions Q.
1° Nous remarquons d'abord que les deux fonctions X (2 -h ^ )j ^^-j
ayant les mêmes périodes 2w, w', les mêmes zéros et les mêmes infinis, et étant toutes deux égales à l'unité pour 2 = 0, sont égales entre
LES FONCTIONS ELLIPT. DÉFINIES PAR DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 359 elles; on a donc
2° Les deux fonctions y { z -] — ]> ^ avant les mêmes périodes w,
20)', les mêmeszéroset les mêmesintinis, sont dans un rapport constant; si l'on désigne par k' celle des valeurs du radical \/i — k- qui est égale
a V ( - jî on a
3" Les deux fonctions ij. iz + -)' -7—' ayant les mêmes périodes 2 «, (ù -I- (ù\ les mêmes zéros et les mêmes infinis, sont aussi dans un rapport constant, et l'on obtient la valeur de ce rapport en faisants = -;
&) on a ainsi
4° La transformation de l'équation différentielle (n" 222) nous a donné la relation
5° Nous avons trouvé ensuite (formules 11 et 17)
^V 2/ kl[z) \ 1) k{Z)
il faut prendre le même signe dans les seconds membres; car Tune de
ces relations se déduit de l'autre en remplaçant z par z -^ Ce signe
commun dépend du cboix de la seconde période; si l'on changeait le signe de w', les signes des seconds membres changeraient; car on a
Si l'on choisit, comme nous l'avons supposé, la seconde période de
m' manière que dans le rapport — le coefficient de i soit positif, la considération des fonctions B nous montre que les seconds membres sont affectés du signe — . On a donc
Des formules précédentes, on déduit
kl^izf
OU + »'\ - ik'
■2 } ffjJ-iZ)'
w4-w'\ ik'liz)
226. Remarque. — D'après ce que nous avons dit dans les deux numéros précédents, les fonctions y^i =f X (z), y^i q= k\ (z) restent monotropes dans le voisinage des valeurs de z pour lesquelles X {z) devient
égale à ± I ou à ± T ; mais elles cessent de l'être quand X [z) devient
infinie. Toutefois les produits ou les quotients de ces fonctions deux à deux sont méromorphes pour toutes les valeurs de z. Parmi ces combinaisons, nous avons étudié spécialement celles que nous avons appelées |JL et v; nous ne dirons que quelques mots des autres. Remarquons d'abord que les fonctions
hn:^
