Dans le cas actuel, Legendre posait u = simp, d'où

(29) 2—1 ^ rrrr =r 1 -7^ >

en désignant par A9 le radical \/i — k^ sin'ip, et il regardait l'angle cp comme V amplitude de la valeur z de l'intégrale définie. Jacobi, qui, avec Abel, a le premier considéré la fonction directe m, a été conduit, d'après cela, à représenter cette fonction par le symbole sinam^;, c'està-dire sinip ou sinus amplitude z; il représentait la fonction \l[z) par cosamjz, et la fonction v[z) par Aamz.

231. Nous avons vu comment, lorsque le module k est réel, positif et plus petit que i, il faut choisir les périodes. Il est facile d'en déduire une règle générale. Considérons un cycle C comprenant les deux points

Fig- 79-

critiques a et 6 [fig. 79); si l'on prend comme première période 2w le double de l'intégrale relative au lacet (a), on pourra prendre comme

seconde période w' l'intégrale relative au cycle C parcouru dans le sens négatif. En effet, les deux intégrales w et w' sont des fonctions continues de k, tant que le point h, qui correspond à j » reste à l'intérieur de

m' la courbe C; le rapport — =:; r+ « variant d'une manière continue

avec k et restant imaginaire, le coefficient s, qui ne s'annule pas, conserve le même signe; or, lorsque le point h vient en h^ sur l'axe Qx au delà du pointa, si l'on forme le lacet [ho] avec le demi-cercle a' ma", le cycle C, décrit dans le sens négatif, peut être remplacé par la suite des lacets (b) + (a). L'intégrale correspondante est w'= 2B — :2A, et

nous avons vu que le rapport — a son coefficient* positif; d'après cela,

quelle que soit la valeur du module^, le coefficient s sera positif; mais le cycle négatif C équivaut à la suite des lacets (b) H- (a) ou (a) -f- [b),

suivant que l'argument de - est compris entre o inclusivement et r,

exclusivement, ou entre ;: inclusivement et 21: exclusivement : la seconde période est donc 2B — 2A dans le premier cas, 2A — 2B dans le second cas.

Périodes elliptiques.

232. Connaissant le module k et le multiplicateur g, nous avons déterminé par des intégrales définies (n° 221) deux périodes élémentaires 2«, w' de la fonction '>^{z), telles que l'on ait X( -J = r, ^/w — ^\ r=i, et que, dans le rapport —5 le coefficient de i soit positif (n° 231). Nous avons appelé module complémentaire k' (n"77) celle des valeurs du radical ±\j \ — X;^ qui est égale à v ( - ) • Un système

de périodes 2w,, (ù\, équivalent au point de vue de la division du plan par un réseau (n" 144), est représenté par les formules

dans lesquelles a, b, a', b' désignent des nombres entiers satisfaisant à la condition ab' — ba' =. ±. i. Parmi ces svstèmes, considérons ceux

LES FONCTIONS ELLIPT. DÉHNIES PAR DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 367 qui jouissent des propriétés précédentes, c'est-à-dire qui soient tels, que l'on ait X ( — ) — i, x( "'"*""' j =j, v f — | = k', et que, dans le

rapport — ,le coefficient de i soit positif. Pour que l'on ait X( — j = i, il faut que lesdeux nombres entiers a et è soient de la forme a = 4«i + i. b ~ ^b^, Pour que l'on ait >. ( "' ~^ ^'^' ) = x' il f^ut que les deux nombres a' et b' soient de la forme a' = aa'^ , b' = 2b\ + i . Pour que l'on ait V ( ^] =^', il faut, en outre, que bt^ab^. Enfin, pour que dans

le rapport — le coefficient de i soit positif, il est nécessaire que le

déterminant ab' — ba' soit égal à + i; d'où l'on déduit b\^= 2b\. Les formules précédentes deviennent ainsi

(3o) w, = (4fli + 0" -H 4^2w', (>i\= ^a\(ù -h {^b\-h i)(ù',

avec la condition (4«i + i) (4^2+ 0 "~ ^^^'i ^2 = '• Nous donnerons aux périodes sw,, w'^, définies de cette manière, le nom de périodes elliptiques. En vertu des raisonnements des n*'* 223 et 224, il est clair que la fonction iJ.{z) admet les périodes élémentaires 2w<, Wi 4- co'^, et la fonction v(z) les périodes élémentaires w,, 2(x)\; ce que l'on peut d'ailleurs vérifier directement.

Les relations établies entre les fonctions elliptiques (n° 225) subsistent sans modifications, quand on y remplace &> et w' par w, et w'^; car on a

Remarquons aussi que, dans les deux groupes de fonctions ô, formées avec w et w', ou avec w, et w'j, les fonctions homologues ont les mêmes zéros (n*' 170).

Au lieu de déterminer les périodes 2 w, w' par des intégrales définies, comme nous l'avons dit, on peut se servir des formules du n°205. On

conçoit que, au moyen de l'équation (29), dans laquelle on regarde q comme l'inconnue, on puisse calculer cette inconnue et, par consé-

quent, trouver le rapport — ; l'équation (3i) donnera ensuite w, et l'on

connaîtra w et w'. L'équation (29), dont on élève les deux membres au carré, admet une infinité de solutions; car à des valeurs données de ^ et de ^ correspondent une infinité de couples de périodes elliptiques : toutes les valeurs correspondantes de q satisfont à cette équation.

Modules égaux et de signes contraires.

233. Le module k n'entrant qu'au carré dans l'équation différentielle, si l'on remplace k par — k, l'équation différentielle reste la même, et, par conséquent, la fonction X définie par cette équation ne change pas; il en est de même des fonctions /ui et v; mais les périodes elliptiques changent. Il est évident d'abord que la première période 2w = 4A conserve la même valeur; quant à la seconde période, en appliquant la règle établie au n" 231, on obtient, d'une part,

d'autre part,

(,)', =qp( — 2B — 2A) =± 2c.i -j- w'; en vertu des formules (3o), on peut prendre, dans tous les cas,

Plus généralement, si l'on désigne par 2w, w' l'un quelconque des systèmes de périodes elliptiques relatives aux constantes g et k^ les périodes équivalentes aw, = aw, w'^ = 2w 4- w' forment un système de périodes elliptiques relatives aux constantes g %i — k\ car on a

et, en outre, le déterminant est égal à -t- 1 .

La formule [a) du n'' 73 montre que, quand on remplace w et w' par w et 2 6.) 4- w', la fonction &{z) reste la même; les formules (5)

du n** 74 font voir ensuite que les fonctions ^3(2), Q{z) ne changent pas, et que les deux autres 6i{z), 6t{z) deviennent iô^iz), iÔ,{z). Dans les formules (18) du n°76, on remplacera y^^ par i\jk.

Modules réciproques.

qui, avec la condition initiale u = o, définit la fonction elliptique X(z, g, ^), on remplace u par j^ on obtient l'équation

'^■) ^=gV"-""K'"ir."")'

avec la condition initiale u' = o pour z -- o; mais cette dernière équation définit la fonction elliptique X ( z, gk, r ) • On a donc la relation

(32) X(z,g/r, ^j =/fX(z, g:, A-), d'où l'on déduit

(33) ix(^z,gk,'A=^v{z,g,k), v\^z,gk, ^\=[x{z,g,k).

En vertu de la relation (32), les deux fonctions X(z,^, ^), /(z, gk, ^)

admettent les mêmes périodes. Si aw, w' sont des périodes elliptiques de la première, les périodes équivalentes 2w, == aw — 2w', w'j = w' formeront un couple de périodes elliptiques de la seconde; car on a

et, en outre, le déterminant est égal à i. Le module complémentaire

370 LIVRE V. — CHAPITRE IIÎ.

de la nouvelle fonction sera

En réduisant les multiplicateurs à l'unité, on mettra les relations précédentes sous la forme plus simple

(34) i(^,i)=/fi(|,A), f,(.,^)=»(i,*-), v(«,|) = f. (?,*•).

Elles ramènent le cas où le module k est réel, positif et plus grand que I à celui où il est plus petit que i.

On peut opérer cette transformation par le changement des périodes. Considérons les fonctions 0 et ^ formées avec les deux constantes oi,z= (X) — co', w'j ^ w', mises à la place de &> et &>';. comme on a

'<CU| t

p^ =e ""i = pe"' = — p,

nous désignerons les fonctions anciennes par Q{z,p), ^[z,p), et les nouvelles par 0 {z, — /?), ^{z, — p)- La constante œ' ne changeant pas, les formules (6) du n° 171 donnent immédiatemetit

(35) ^Az,-p)^^,(z,—p)B-(j, - p) Ô-dz, —P)^

%{z,p) ^i{z,p) sJlB-{z,p) s/J^,{z,p)

\Ji étant égale à e* . Des relations (i3) du n° 172, en tenant compte de la valeur du coefficient C (n° 205), on déduit ensuite

(36) 03(^,-p)^e.(^.-/^)^ e(z,-p)^ edz,-p) j

Les formules (i5) et (17) du n° 173 déterminent le nouveau inodule et le nouveau multiplicateur

sfk. = -}=:, n/F; = ^, g. = gk;

sjk

à l'aide des formules (i4) de ce même numéro, on retrouve les relations (32)et (33).

Modules complémentaires.

235. Nous avons vu (n° J59) que la fonction y (s -i- " ~^ ^' j satis. fait à réquation différentielle

h laquelle on joint la condition initiale v = o pour js = o, le radical ayant la valeur initiale + i ; mais cette équation définit la fonction

Xfz, igk', jp\y qui, d'après la relation (20), est égale à^'X(3, ig, k!)\

on a donc

d'où l'on déduit

Si 2w, w' désignent des périodes elliptiques de la fonction X(2, g, k), la fonction X(z, i^, ^') admettra les périodes élémentaires w, 2w'; les périodes équivalentes aw, = — 2w', cù\ = « formeront un couple de périodes elliptiques de cette nouvelle fonction; car on a

et d'ailleurs le déterminant est égal à -h i. En réduisant les multipli-

cateurs à l'unité, on écrira les relations précédentes sous la forme

,„ , ^,. ,, .Hz, If') ,. ,. I .. ,. vizji')

Elles permettent de trouver les valeurs des fonctions elliptiques, lorsque le module k est réel, positif et inférieur à l'unité, et que la variable est imaginaire et de la forme j^i, y étant réelle. Les fonctions {J-iyi), v {yi) sont réelles et plus grandes que i, la fonction 'k(yi) est imaginaire et de la forme Yi, Y étant réelle et pouvant prendre toutes les valeurs possibles. Les fonctions X(ji), fJi.(ji) sont analogues au sinus et au cosinus hyperboliques.

236. Si 2w, w' sont des périodes elliptiques de la fonction X(^, ^), la fonction \(z, i, k') ou 'k(iz, k'), admettant les périodes elliptiques

— 2co', w, la fonction l{z,k') admettra les périodes elliptiques

— 2w'ï, (ài. Désignons par 0 {z, k), ^{z, k) les fonctions composées avec les deux constantes w, w' relatives au module k, et par 6 {z, k'), ^(z, k') les fonctions composées de la même manière avec les deux constantes w, = — w'i, w'^ = œt, relatives au module complémentaire k'. Comme on a </< = /?, ^, — y, la comparaison des formules (8) du n° 74 et (6) du n*' 171 donne immédiatement les relations

6,{izjf)=-^,{z, k' ), 5-3 ( iz, Je ) ..: Q, ( z, k' )

, Q {iz,k)^-^,[zj('), ^,{iz,k)t.:e(z,k')

^^°^ ^ e,{iz,k)'-B- {z,k'), ^ iiz,k)z^e,{z,k')

Q,{iz,k)^-^^,{z, k'), ^,{iz,k)=-e,{z,k'}.

Le nouveau module et le nouveau multiplicateur sont déterminés par les formules

y//r, = y/A ' , ^k\ = ^k, g-, = igy

et l'on retrouve ainsi les relations (Sg).

Lorsque le module k est réel, positif et plus petit que i, si l'on adopte les périodes elliptiques de la fonction X {z, k), telles que w soit réelle et positive, et w' de la forme w"ï, oy" étant réelle et positive, les nouvelles constantes w, = — w't, w\=: wi, relatives au module com-

plémentaire k' , jouissent des mêmes propriétés. Quand z est réelle, toutes les fonctions 0 et S- sont réelles, excepté 3^,, qui est imaginaire et de la forme Ai, A étant réelle; quand z est imaginaire et de la forme jt, y étant réelle, elles sont encore réelles, excepté Ô,, qui est imaginaire et de la forme Ai. Dans ces deux cas, les formules (8) du n° 74 et (6) du n° 171 renferment, soit des sinus et des cosinus ordinaires, soit des sinus et des cosinus hyperboliques.

Autre transformation.

237. Nous avons vu (n® 159) que la fonction \i.\z -\- '-] satisfait à l'équation différentielle

(40 5^ = -ff^V^'~^^K'^^^')'

à laquelle on joint la condition /ul — o; mais cette équation définit l;i fonction elliptique X (s, — gk\ \p\\ on a donc

d'où l'on déduit

1X2, gk', 77 = /<• -7 ^^— T- >

Si 2(0, w' sont des périodes elliptiques de la fonction \(z,g,k), la fonction X(z,^^',p J admettra les deux périodes élémentaires 2 w, — 2w, 0»', = fo 4- to', qui seront aussi périodes elliptiques de cette dernière

37 i LIVRE V. - CHAPITRE II[.

fonction; car on a

Le nouveau moçlule complémentaire est

En réduisant les multipliçîitevirs à l'unité, on mettra les relations précédentes sous la forme

Elles ramènent le cas où le carré du module est réel et négatif à celui où il est réel et positif.

On peut aussi opérer cette transformation par le changement des périodes. Considérons les fonctions 6 ei^ formées avec les deux constantes &)< = w, co'j, — 00 -f- «', mises à la place de w et w'; comme on a

^, = e "• = ge*' = ~ q,

nous désignerons les fonctions anciennes par Ô{z, q), ^(z, q), et les nouvelles par 6 {z, — q), 3- (^, ~ q). La constante w ne changeant pas, les formules (8) du n** 74 donnent immédiatement

(44) Oijz, —q)6{z,—g) e,{z,—q)^ 0^{z,—q)

0A2,q) &.»{z,q] ~ sl'iUz,q)" \l'iB,[z,q)~''-

LES FONCTIONS ELLIPT. DÉFINIES PAR DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 37S Des relations (i3) du u° 172, on déduit ensuite

Le nouveau module et le nouveau multiplicateur sont déterminés par les formules (17) du n° 76 et (24) du n° 159,

et Ton retrouvé aiusi les relations (43). Cette dël'tîifere trbhsformaiîotl pourrait d'ailleurs être effectuée ail moyen des deUit précédentes.