CHAPITRE lY

238. Les exemples d'équations différentielles que nous avons considérées jusqu'à présent appartiennent tous à une même catégorie d'équations différentielles, celles qui ne contiennent pas la variable z

et qui sont algébriques entre la fonction u et sa dérivée -t-- Désignons par U la dérivée y > et soit

(i) F(a,U)=ro

l'équation proposée, dont le premier membre est un polynôme entier en u et U, du degré m par rapport à U et irréductible. On donne pour z = ^0 1^ valeur initiale u^ de la fonction u et la valeur Uo de la dérivée, Uo étant une racine simple de l'équation F(mo> U) = o et différente de zéro. En vertu du théorème général sur l'intégration (n'^ 208), tant que la fonction algébrique U de m reste fonction holomorphe de m, la fonction intégrale u reste elle-même fonction holomorphe de z', mais cette fonction intégrale cesse, en général, d'être holomorphe par rapport à Zj lorsqu'elle arrive dans le voisinage d'une valeur u, pour laquelle la fonction algébrique U devient infinie ou acquiert des valeurs multiples.

La fonction inverse est donnée par l'intégrale définie

(a) z — Zo— 1 T\du ,

^ étant une fonction algébrique de u; elle est de l'espèce de celles que nous avons étudiées dans le Chapitre IV du Livre IIL Nous avons vu

qu'à chaque valeur de m, finie ou infinie, correspondent m valeurs de ^, augmentées de multiples quelconques de certaines périodes. Lorsqu'il n'y a pas de période, ou lorsque toutes les périodes sont nulles, 2 et m sont liées par une équation algébrique du degré m par rapport à z, et par rapport à d d'un degré que l'on sait déterminer (n" 136); mais, quand il y a des périodes, et c'est ce qui a lieu ordinairement, si la fonction intégrale u cesse d'être monotrope, lorsqu'elle arrive dans le voisinage d'une valeur w, qui est un pôle ou un point critique de la fonction algébrique U, comme à cette valeur de u correspondent une infinité de valeurs de z, il y aura, dans le plan sur lequel est figurée la variable z, une infinité de points critiques pour la fonction m, et il pourra arriver qu'elle acquière une infinité de valeurs différentes.

239. Il est aisé de reconnaître que, dans toute l'étendue du plan, c'est-à-dire pour toutes les valeurs finies de z, la fonction intégrale u n'admet que des points singuliers algébriques, savoir : des pôles ou des points critiques algébriques. Supposons, en efl^et, que, z allant de z» à z^ par un certain chemin, u aille de Mq a une valeur finie «<, qui soit un point critique de la branche correspondante de la fonction algébrique rr-, si l'on pose z = z, + z', m = m, + m', cette branche de la

foncrtion algébrique se développera en une série convergente de la forme (n° 96)

(3) ^=zb,-^h,u'P ^b,u'P + ...;

l'intégration donne

(4) z' = u'{b, A--^b,u~P -^ —£— b,u'i -^ . . .] : on en déduit

Ainsi la fonction u acquiert p valeurs différentes, qui se permutent circulairement, quand la variable z tourne autour du point z,, et, par conséquent, ce point est un point critique algébrique de la fonction u.

Lorsque la branche correspondante de la fonction algébrique j^ devient infinie, son développement est de la forme

I zi/ 1 1 \

Puisque la variable z conserve une valeur finie s,, la racine infinie ^

est d'un degré - i par l'intégration,

est d'un degré - plus petit que un. Posons/?' =p — q; on en déduit,

et,

par

suite,

(8) u' = z'p\a,-\-ayZ'P' -^-a^z'P' -\-.. .) .

Le point z^ est encore un point critique algébrique de la fonction m, à moins que l'on ait/7'= i; dans ce cas, ce serait un point ordinaire. Supposons maintenant que, la variable z allant de ^o à z<, la fonction u devienne infinie; on posera

M = -? V=r -7-=— t^'U; V dz

l'équation proposée (i) se change en une équation algébrique entre v et V, du degré m par rapport à V, et l'intégrale définie devient

dç.

Le raisonnement précédent s'applique à la fonction v; on en conclut que le point Zf est un point ordinaire ou un point critique algébrique de cette fonction, et, par conséquent, un pôle ou un point critique algébrique de la fonction u.

240. Nous nous occuperons spécialement, dans ce qui suit, du cas où la fonction intégrale u est monotrope. Cherchons d'abord à quels

caractères on reconnaîtra, sur l'équation différentielle, que la fonction intégrale jouit de cette propriété. La fonction n'ayant alors, dans toute l'étendue du plan, pas d'autres points singuliers que des pôles, sera méromorphe; mais nous savons (n** 86) que la dérivée d'une fonction niéromorphe ne devient infinie que lorsque la fonction est elle-même infinie; il en résulte que, si l'on ordonne l'équation proposée par rapport aux puissances décroissantes de la dérivée, le coefficient du premier terme doit être constant; l'équation sera donc de la forme

les coefficients/, (m), /a (m),. . . étant des polynômes entiers en u. Si l'on pose w = -> cette équation devient

<■■) er- ^'z. (^) er- "•/- (o (Êr— -/- (^) =-'

la fonction v étant méromorphe comme la fonction u, l'équation transformée doit aussi avoir ses coefficients entiers; il en résulte que les polynômes/, (m), /a (w), ..., /„(w) doivent être, au plus, le premier du second degré, le second du quatrième degré, . . . , le dernier du degré am.

Supposons que, la variable z allant de z^ à z, par un chemin convenable, la fonction u acquière une valeur m,, pour laquelle la fonction algébrique U devient égale à une racine multiple différente de zéro; la

fonction ^» conservant une valeur finie, est représentée par la série (3),

et la fonction u' par la série (5); pour que la fonction u reste monotrope dans le voisinage du point z^, il est nécessaire et il suffit que l'on ait jD = 1, et, par conséquent, que la fonction algébrique U reste monotrope par rapport à w, il faut, pour cela, que les systèmes circulaires qui composent la racine multiple soient formés chacun d'une seule racine. On verra, en suivant la méthode que nous avons indiquée pour l'élude des fonctions algébriques (n*^* 34 et 35), si cette condition est remplie.

241. Supposons maintenant que, la variables allantdezo àz,, la fonction u acquière une valeur m<, pour laquelle la fonction algébrique U devient nulle; la variable z restant finie, cette racine U est d'un degré inférieur à l'unité, et, .par conséquent, elle appartient à un système

circulaire de p racines; la fonction ^^^i qui devient infinie, est représentée par la série (6), et la fonction u' par la série (8); pour que la fonction intégrale u reste monotrope dans le voisinage du point z,, il est nécessaire et il suffit que p' = i, c'est-à-dire que la racine nulle U

soit du degré i

Il est aisé de reconnaître, a priori, que cette condition est nécessaire; car, si la fonction u est monotrope dans le voisinage du point z,, elle se développe en une série de la forme

(12) u' = a,z'i'-i- (iiZ'i'-^' -j-. . .;

sa dérivée

(i3) [} = paoz'P-'-h{p-hi)aiZ'f -^. . .

s'annulant pour z' = o, le nombre entier/? est plus grand que un. De la série (12), on déduit

(i4) • z' — bou'l'-hbiU'P -h. . .,

et, en portant dans la série (i3),

(15) U = m' /> U« + A,a'PH-A,a>4-. .);

la racine infiniment petite U appartient donc à un système circulaire

de/? racines, et elle est du degré !----•

Il reste à examiner ce qui se passe lorsque la fonction u devient infinie pour une valeur finie z< de z. Nous nous servirons, pour cela, de l'équation transformée (i i). Si, pour v = o, les racines différentes de zéro sont monotropes par rapport à ç^, et si cbacune des racines

INTÉGRATION PAR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. â81

égales à zéro et d'un degré plus petit que l'unité est du degré i >

p étant le nombre des racines du système circulaire auquel elle appartient, on en conclura, comme précédemment, que v est une fonction monotrope de z dans le voisinage du point z^. On arrive ainsi au théorème suivant :

Théorème I. — Pour quune équation différentielle algébrique et irréductible, entre u et -r-i dz

©"-/■<«)(sr-/.(")(a""'--^-<«)=<'.

he contenant pas la variable z, admette une intégrale monotrope, il est nécessaire et il suffit : i ° que les coefficients y, ( m ) , y*2 ( m ) , . . . , y^ ( w ) soient des polynômes entiers et, au plus, le premier du second degré, le second du quatrième degré,... , le dernier du degré 2m; a° que chaque racine de l'équation, tant qu'elle ne devient pas nulle, reste holomorphe par rapport à m; 3° que chaque racine nulle et d'un degré plus petit que l'unité soit du

degré i •> p étant le nombre des racines du système circulaire auquel

elle appartient; 4° enfin que l'équation différentielle, que l'on déduit de

la proposée en posant u = -■> présente pour v = o les mêmes caractères.

242. La considération de l'intégrale définie (2) nous apprend que u est une fonction algébrique de z, ou une fonction périodique. Il résulte de ce que nous avons dit au n° 143 qu'une fonction monotrope ne peut admettre plus de deux périodes distinctes; le nombre des périodes sera donc zéro, un ou deux. La fonction intégrale est, dans le premier cas, une fonction rationnelle; dans le second cas, une fonction simplement périodique; dans le troisième cas, une fonction doublement périodique. Dans le Chapitre IV du Livre III, nous avons indiqué une méthode pour la réduction du nombre des cycles; ceci nous donne une limite supérieure du nombre des périodes; mais on ne peut pas en conclure d'une manière certaine le nombre des périodes distinctes. Il peut arriver, par exemple, que l'intégrale définie relative à l'un de ces

cycles soit nulle, et alors la période correspondante est nulle. Il importe donc de trouver des caractères auxquels on pourra reconnaître, sur l'équation diflerentielle elle-même, à laquelle des trois classes appartient la fonction intégrale. Pour voir si la fonction intégrale est monotrope, nous n'avons pas eu à nous occuper des racines nulles d'un degré égal ou supérieur à l'unité; c'est la considération de ces racines qui nous permettra de distinguer l'espèce de la fonction intégrale.

Examinons d'abord le cas où l'équalion (lo), pour toutes les valeurs de u qui annulent/^ (m), et l'équation (ii) pour v = o, n'admettent aucune racine nulle d'un degré égal ou supérieur à un. Dans ce cas, l'intégrale définie (2) conserve une valeur finie (n** 111). Imaginons que l'on représente la variation de u par le mouvement d'un point sur une sphère, et celle de z par celui d'un point sur un plan; après avoir marqué sur la sphère les points critiques de la fonction algébrique U et formé un système de lacets fondamentaux ayant pour origine le point initial Uq, concevons que la variable u parte du point Wq, U ayant une valeur déterminée Uo, et aille en un point quelconque de la sphère par un arc de grand cercle, précédé des combinaisons des lacets fondamentaux qui font acquérir à U les m valeurs qu'elle peut avoir au point Wq- Afin de distinguer ces chemins, nous regarderons chaque point de la sphère comme l'assemblage de m points caractérisés par les m valeurs de U; à chaque point [u, U) de la sphère correspond un point z du plan, et à la sphère entière une portion finie du plan. Prenons un point M' en dehors de cette partie du plan; dans l'intégration directe, quand la variable z arrive en M' par un chemin quelconque, la fonction monotrope u acquiert en ce point une valeur déterminée u^, et sa dérivée U une valeur aussi déterminée U<. Soit M le point situé dans la partie finie du plan et qui correspond au point (m,, U,) de la sphère; quand la variable z décrit dans le plan une ligne quelconque allant du point M au point M', par exemple la droite MM', la variable u décrit sur la sphère un cycle fournissant la période MM'; si l'on ajoute cette période à chacune des valeurs de z obtenues précédemment, la portion finie du plan se reproduira à côté une première fois, puis une seconde fois, et ainsi de suite; mais cette opération ne donne pas tout le plan. Prenons un pOint M" en dehors, et soit M le point homologue situé dans la partie finie du plan; nous obtiendrons de la même manière

une seconde période i\IM". On conclut de là que la fonction m de s est doublement périodique; l'ordre de la fonction doublement périodique est marqué par le degré m de l'équation proposée (lo) par rap-

port à ^(n° 181).

243. Supposons maintenant que, pour une valeur finie u^ de m, l'équation (lo) admette une racine nulle U, d'un degré égal ou supérieur à l'unité; toutes les valeurs de z qui correspondent au point (m<, U,) de la sphère seront infinies. Il est impossible, d'après cela, que la fonction monotrope u soit doublement périodique; car, si cela était, il y aurait dans chacun des parallélogrammes du réseau construit avec les périodes un point z^ correspondant au point (m,, U,) de la sphère (n° 181). On arrive à la même conclusion lorsque l'équation (i i) admet pour (> = o une racine nulle d'un degré égal ou supérieur à un. Ainsi, dans ce cas, la fonction intégrale est rationnelle ou simplement périodique.

Voici comment on peut distinguer ces deux cas. Lorsque pour une valeur finie w, de u l'équation (lo) admet une racine nulle d'un

degré i + — supérieur a I unité, et appartenant a un système circulaire de p racines, la branche correspondante de la fonction -çx devient infinie, et est représentée par la série

y— a' p \b, -\- b^u'P -h biU'P -^ . . . ) ;

on en déduit, par l'intégration,

-bai' 1" — ... + Vlog"'-<-C-!-p6/+,M'''

Remarquons d'abord que le coefficient h^ est nécessairement nul; car, si l'on pose m' = m"'', z — —,-> l'équation précédente devient

u"p'= z'p' (-tb,- -^E-— 6. u"- . . + pb^u"p' logM"-i- C«Vh- . . V

et, en faisant u" — vz\

VP =— A6„ JL^b^vz'—. . +pbpfVP'z'p'{\ogz' -{- logf) + CvP'z'p'-]-. . .;

si l'on pose ensuite v^^= (— ^^ ^o)^' ^ = ^o + ^'' on arrive à une équation de la forme

(i6) Zo + Z,c'+Z2f" + . .= o,

où Zo, Z,, Za,.. . désignent des séries convergentes ordonnées suivant les puissances entières et croissantes de z', et dont les p' premières renferment en outre chacune un terme tel que Az'^^log^', qui s'annule pour z' = o. Concevons que la variable z' soit comprise dans un cercle décrit du point z' = o comme centre avec un rayon très-petit p, cercle dans lequel on a pratiqué une coupure suivant un rayon; une valeur du logarithme étant adoptée en un point, la fonction z'''' logz' aura une valeur déterminée et très-petite en chaque point. Nous pouvons répéter ici le raisonnement du n° 28 ; la première série Zo s'annulant pour z' = o, et la seconde Z, contenant un terme p'v^~^ indépendant de z', on en conclut que l'équation (i6) admet une racine très-petite v'. Si l'on adoptait une autre détermination du logarithme, les coefficients de l'équation ayant d'autres valeurs, l'équation admettrait une autre racine très-petite, et ainsi de suite. Il en résulte qu'à chaque valeur de z' correspondraient une infinité de valeurs de ç\ ce qui est impossible, puisque la fonction intégrale u est monotrope.

Le coefficient 6^/ étant nul, l'équation (i6) définit une fonction t»' monotrope par rapport à z'; puisque la fonction u est monotrope par rapport à ^, on a en outre p'z=i. La fonction u, différant très-peu d'une quantité constante m, pour toutes les valeurs de z' inférieures à un certain module et, par conséquent, pour toutes les valeurs de z supérieures à un certain module, est rationnelle; car, pour ^ = oo , les fonctions périodiques sont indéterminées. On arrive à la même conclusion lorsque, pour ç^ = o, l'équation (u) admet une racine nulle d'un degré supérieur à l'unité.

244. Il est aisé de voir, a priori, que ces conditions sont nécessaires.

pour que la fonction intégrale soit rationnelle. Considérons d'abord une fraction rationnelle dont le numérateur soit d'un degré égal ou inférieur à celui du dénominateur. Quand z augmente indéfiniment,

u tend vers une valeur finie m, ; si l'on pose z -— —•> u = Uf -\- ii', la

fonction m', étant holomorphe dans le voisinage de z' o, se développe en une série entière

et convergente pour toutes les valeurs de z' inférieures à un certain module. On en déduit

(18) z'=zb, u'P -i- 6, u'P -h b, u'P -+-...,

les nouveaux coeiTicients étant liés aux premiers par les relations

(19) a,6^ = i, atbl -\- pa,bt = o,

En diff"érentiant la série ( 17), on a

U = - z" ^ -= - pa, z'P^^ -{p~hi)a, z'p^- . . ;

si l'on remplace z' par sa valeur donnée par la série (18), il vient

(20) U^u'p \k,-h A.u'P -hAiU'P-^,..),

et par suite

(21) -=zu' P \B,-\-B,u'P'i-B,u'P +. .).

A cause des relations (19), le coefficient du second ternie dans la série (20), et par suite celui du terme en — dans la série (21), sont nuls. La racine infiniment petite U appartient donc à un système circulaire de p racines, et elle est du degré i -h -; en outre, dans le développement

de Yj» le terme en — manque.

Lorsque le numérateur de la fraction rationnelle est d'un degré plus élevé que le dénominateur, u devient infinie avec z-, mais v s'annule, et la racine infiniment petite V jouit des mêmes propriétés.

Il est impossible que l'équation proposée, lorsqu'elle est irréductible, et sa transformée pour v — o, présentent deux racines nulles d'un degré plus grand que un ; car, lorsqu'il y a une racine de cette sorte, la fonction u est rationnelle, et, par conséquent, diffère très-peu d'une quantité déterminée pour les valeurs très-grandes de z.

245. Supposons maintenant que, pour m= w,, l'équation proposée admette une racine du degré un et appartenant à un système circulaire de/? racines. Si l'on pose u=^u^-\-- u' , la branche correspondante de la

fonction yj sera représentée par

(22) ^=:^u'-'\K~^b,u''f'-^b^uP~\- ..),

d'où

2 = ^0 logM' + C H- pb, u'P -+- ^ bi u'T> -\-

L'intégrale définie a ici la période polaire m --- iph^^ni-, on en conclut que la fonction u est simplement périodique.

En posant m' — u"p, t — e" , on déduit-de l'équation précédente

le point u=^ Ui est donc un point critique algébrique, ou un point ordinaire SI p= 1, de la fonction / de m.

Supposons que, pourw^Wa, l'équation admette une autre racine du degré un; si l'on pose u = u^-^- u', la branche correspondante de la

fonction -^ sera représentée par une série de la forme (22); on en déduit pour z une expression de la forme (23); si la période polaire est égale à la précédente et de signe contraire, il en résulte pour t une expression telle que

(24) ^=w"(a:-i-a>"-ha;a"= + ...j;

le point u^=u^ est un point critique algébrique ou un point ordinaire

(le la fonction —, et, par conséquent, un point critique algébrique ou .

un pôle de la fonction t. Ainsi la fonction f de m n'a, sur toute la sphère, que des points singuliers algébriques; d'ailleurs, à une valeur de u correspond un nombre fini de valeurs de t\ on en conclut, d'après le théorème du n° 135, que les deux quantités / et m sont liées par une équation algébrique. Puisqu'à chaque valeur de t ne correspond qu'une valeur de m, cette équation est du premier degré par rapport à M, et, par conséquent, u est égale à une fraction rationnelle de t. Remarquons actuellement qu'une fraction rationnelle de t prend des

valeurs déterminées u^ et «a pour z = o et / = oo ; en posant m = t^, + u\

dz ou M = W2 4- w', on obtient pour -t- des expressions de la forme (22).

Il en résulte que, si l'équation proposée, Ou sa transformée pour (^ = o» admet une racine nulle du degré un, elles en admettent une autre, et ces deux racines fournissent, dans l'intégrale définie , des périodes égales et de signes contraires. Il peut arriver que ces deux racines nulles correspondent à une même valeur de u.

De ce qui précède, on conclut :

Théorème II. — Les conditions qui rendent la fonction intégrale monotrope étant remplies : 1° la /onction intégrale est doublement périodique, lorsque l'équation proposée pour aucune valeur finie de u, ou la transformée pour p = o, n admet de racine nulle d'un degré égal ou supérieur à l'unité; 2" elle est rationnelle, lorsque l'équation proposée pour une valeur finie de m, ou la transformée pour v= o, admet une racine nulle d'un degré plus grand que un; 3" elle est simplement périodique, lorsque l'équation proposée pour une valeur finie de u, ou la transformée pour V = o, admet une racine nulle du degré un.

Quand on a reconnu la nature de la fonction intégrale, on peut se proposer de la déterminer au moyen des éléments connus. Si elle est rationnelle, elle sera égale au quotient de deux polynômes entiers. Si elle est simplement périodique, elle sera égale à une fraction ration-

nelle de l'exponentielle t = e " . Enfin, si elle est doublement périodique, on l'exprimera rationnellement à l'aide de la fonction elliptique X(z), aux mêmes périodes, et de sa dérivée (n° 161).

Équations différentielles binômes.

246. Appliquons les principes que nous venons d'établir à l'étude de l'équation binôme

(..5) l^^y r=Y {u)^-G{u- aY{H-bY' . . .,

dans laquelle F (m) désigne un polynôme entier en u du degré 2m au plus. Par une transformation du premier degré, on peut toujours ramener le cas où le degré du polynôme est plus petit que 2m à celui où il est

égal à am; il suffit pour cela de poser m = m^ h — ? Wq étant une quantité arbitraire qui n'annule pas F (m); nous supposerons donc que le polynôme est du degré 2m, ce qui revient à dire que, sur la sphère, le

point M = 00 est un point ordinaire pour la fonction r- (n° 239). L'équation proposée se met sous la forme

du 1 t

nous supposons chaque exposant réduit à sa plus simple expression; leur somme est égale à deux. Pour que la fonction intégrale soit monotrope, il est nécessaire et il suffit que les exposants inférieurs à

l'unité soient de la forme 1 — - (n" 241); chacun de ces exposants sera

égal ou supérieur à -• La fonction intégrale est doublement périodique

si tous les exposants sont inférieurs à l'unité, rationnelle s'il y en a un supérieur à l'unité, simplement périodique s'il y en a un égal à l'unité.

Le second membre de l'équation (26) peut être formé d'un seul facteur affecté de l'exposant 2 ou 1 -r -5 dans ce cas, l'intégrale est rationnelle. S'il renferme un premier facteur affecté d'un exposant plus grand que r, mais plus petit que 2, il est formé de deux facteurs; le second

exposant étant de la forme i - —.le premier est i + -? et l'intégrale est rationnelle. On a ainsi les deux équations différentielles

qui admettent des intégrales rationnelles.

Il peut y avoir deux exposants égaux à i, ou un exposant égal à i

et deux autres égaux chacun à -\ les deux équations différentielles

, „. du , . , , . du , , / ;

admettent des intégrales simplement périodiques. La seconde, mise sous forme entière, a deux racines nulles du degré un pour la même valeur u := a.

Considérons maintenant le cas où tous les exposants sont inférieurs

à Tunité et de la forme i i dans ce cas, la fonction intégrale est

doublement périodique. Il y aura au moins trois facteurs, puisque la somme des exposants est égale à deux; il ne peut pas y en avoir plus

de quatre, puisque chacun des exposants est égal ou supérieur à--

S'il y a quatre facteurs, les quatre exposants sont égaux à --> et l'on a l'équation différentielle

du

(29) ■j^=gs/(u-^a)[u — b)(u-c){u-d).

S'il y a trois facteurs, la somme des trois exposants r » 1 j,

I 7; étant égale à deux,, les trois nombres entiers />, p\ p" doivent

satisfaire à la relation

Supposons ces trois nombres rangés par ordre de grandeur croissante. Nous remarquons d'abord que le plus petit p ne peut être plus grand que 3; on ne pourra donc lui attribuer que les deux valeurs 3 et 2. Soit/) = 3; la relation (3o) devient

il faudra faire aussi /?'—/?"- 3; on obtient ainsi l'équation différentielle

du ^- ^ ^

(3i) —=gi^u-aY{u-hY{u~c)\

Soit maintenant p = d.-, la relation (3o) devient -, H — u — -\ le

nombre// ne peut être plus grand que 4; comme il est d'ailleurs plus grand que 2, on ne pourra lui atribuer que les deux valeurs 4 et 3. Si p' =: 4, on a/?"= 4. ce qui donne l'équation différentielle

(3..) -!^=:g(u~arin-by{u~cy.

Si p' = 3, on A p" — 6, et l'on obtient l'équation différentielle

(33) • l^--^ = g(u-ay{u-br{n-cr.

247. Ainsi, outre les quatre équations (27) et (28) que l'on sait intégrer, et dont les intégrales sont rationnelles ou simplement périodiques, il existe quatre autres équations, (29), (3i), (32) et (33), dont les intégrales sont des fonctions doublement périodiques. Ces équations présentent les quatre types suivants :

(II) \]' = G{u — a)HH-bY{u-cy,

(III) \}*=Giu — ay{u — bY{u — cY,

(IV) \]' — G{u-aYiu~byiu — cY.

Les fonctions intégrales sont respectivement du second, du troisième, du quatrième et du sixième ordre.

La fonction algébrique U de w, définie par l'équation (I) du second degré, admet sur la sphère quatre points critiques a, è, c, d, autour de chacun desquels se permutent les deux racines. La fonction algébrique définie par l'équation (II) du troisième degré admet trois points critiques a, è, c, autour de chacun desquels se permutent les trois racines. La fonction algébrique définie par l'équation (III) du quatrième degré a aussi trois points critiques a, b, c\ les quatre racines se permutent circulairement autour de chacun des deux derniers; autour du pointa, les quatre racines se divisent en deux systèmes circulaires, comprenant chacun deux racines. L'équation (IV), qui est du sixième degré, présente également trois points critiques; les six racines forment autour du point a trois systèmes circulaires de deux racines, autour du point b deux systèmes circulaires de trois, et enfin autour du point c un seul système de six. Nous dirons qu'un point critique a autour duquel se permute un système circulaire de p racines est de l'ordre/?, et nous le désignerons par le symbole a'^P^ ; nous regarderons le point a, dans l'équation (IV), comme la réunion de trois points critiques du second ordre, et le point b comme la réunion de deux points critiques du troisième ordre. De cette manière, la distribution des points critiques, pour les quatre équations précédentes, sera figurée par

Nous avons vu (n° 111) que le nombre des périodes de l'intégrale définie est au plus l{p — i) — !i{m ~ i)\ en appliquant cette règle aux cas actuels, on trouve effectivement que le nombre des périodes ne surpasse pas deux.

Si Ton fait coïncider l'un des points critiques avec le point 0' de la sphère, à l'aide d'une transformation du premier degré, telle que

u — a -\- -•> on déduit des quatre types principaux les sept formes

dérivées

(34) \]'--=G{u — a)iu-b){u-c),

(35) V'=zG{u — ayiu — b)%

\]* = G{u—bY{u — c)\

\]' = Giu — aY{u~bY,

U'' = G(m — bYiu — c)K

248. Proposons-nous maintenant d'intégrer ces équations différentielles au moyen des fonctions elliptiques. L'équalion (III) et ses deux formes dérivées (36) rentrant les unes dans les autres, il suffit de considérer la première des équations (36),

du ^ -

■^=g{u-aY{u~-bY;

en posant u = b + v'^y on ramène celle-ci à l'équation

dz 7.^ ^ '

qui est de la forme (34), dérivée du premier type. De même, l'équation (IV) et ses trois formes dérivées (Sy) rentrant les unes dans les autres, il suffit de considérer la première des équations (3^),

du 11

-^^g{u-af[u-bY\

en posant m = 6 -f- ç'% on la ramène à l'équation

dv

qui est aussi de la forme (34). L'équation (II) se ramène à sa forme dérivée (35); pour intégrer cette dernière, nous poserons

d'où

(38) (^u-a){u-b) = Gv\ V = Gv\

et, par suite,-

(39) „ = -^^^(«^)Vg..

On déduit de l'équation (38), par la différentiation,

3Gf*-y- = 2 ( M I U = 2GfM M — J

d'où

Cette dernière équation est aussi de la forme (34), et définit une fonction doublement périodique du second ordre. La fonction u, qui est du troisième ordre, est donnée par l'équation (Sg), qui se réduit à

... a -i- b 3 dv

Nous avons ainsi ramené à l'équation (34) les quatre types d'équations différentielles binômes et leurs sept formes dérivées; nous avons vu (n^'âlO) comment on ramène l'équation (34) à la forme particulière qui convient à la fonction elliptique X(.z).

Equations du troisième degré.

249. Proposons-nous de rechercher, parmi les équations différentielles du troisième degré, celles qui admettent des intégrales monotropes et doublement périodiques. Nous avons vu (n° 181) que le coefficient de la première puissance de U doit être nul; ces équations rentrent donc dans la forme trinôme

(4^) U"'-4-/,JM)U"'-'-f-/«(M)=0.

Ik-

Nous pouvons supposer que les polynômes entiers/, et/„ sont, le premier du second degré, le second du degré 2/72, et que pour (^ = o l'équation transformée n'a que des racines simples. Considérons d'abord les racines nulles d'un degré inférieur à l'unité. Soit (m — a)" un facteur du dernier terme donnant une racine de cette sorte; posons u = a -\- u' . Si la quantité /, (a) est différente de zéro, le premier groupe dans l'équation est formé des deux termes

f.{a)\}"'-^-rf:\a)

il y a m — I racines infiniment petites du degré ; il faut que ce

degré soit de la forme i > d'où Ton déduit

le nombre entier/?, plus grand que i, doit être un diviseur de m — i Si l'on a/, (a) = o, le premier groupe est formé des deux termes

u-^/rc^)

les m racines sont infiniment petites et du degré — ; il faut que ce degré

soit aussi de la forme i > d'où

le nombre entier/? doit être un diviseur de m.

Considérons maintenant les racines multiples différentes de zéro. Elles satisfont à l'équalion

Posons

(46) <p(^)^/,4-(-i)»-^^-y" '/. ; Téquation proposée devient

(47) <p(a) ^Lzily;u7'-3U'^...(;,i 2)/,U"-' + U''"=o.

Soit Ui une valeur de u qui annule «p sans annuler/, et par suite /„; désignons par q le degré du facteur binôme u — u, dans le polynôme «p; si l'on pose m = m, + u\ le premier groupe dans l'équation est formé des deux termes

cp(î){M,) +(-1)"-' ^ J^ [/.(«.)1"-'U'»;

il faut que les deux racines infiniment petites U' restent monotropes; pour cela, il est nécessaire et il suffit que l'exposant q soit pair; il en résulte que, si dans (p{u) on met à part les facteurs binômes qui entrent dans/,, le polynôme restant doit être carré parfait. Quand toutes ces conditions sont remplies, la fonction intégrale est monotrope; s'il n'y a pas de racine nulle d'un degré égal ou supérieur à l'unité, la fonction est en outre doublement périodique.

250. Appliquons ces considérations à l'équation du troisième degré

Les exposants de la première espèce sont égaux à i, ceux de la seconde espèce à a; le polynôme/3 est donc formé, soit de six facteurs simples, soit d'im facteur double et de quatre simples, soit de deux facteurs doubles et de deux simples; il ne peut y avoir plus de deux exposants de la seconde espèce, puisque le polynôme/, est du second degré. On

a ainsi les trois équations

(49) \]'-hMu~a){u—b)\J'-{-C{u—a'){u-b'){u—c')(u~d'){u~-e'){u-f')=^o, {5o) \]'-\-k{u—a){u—a)\]'-hC{u—ay{u—b'){u—c'){u—d'){u—e') — o, (5i) V'+k{u—a)iu—b)JJ'+Ciu—aYiu—hy{u-c'){u—d') = o.

Dans le premier cas, les polynômes /< et/3 n'ont pas de racine commune; le polynôme du sixième degré

doit être le carré d'un polynôme P3 du troisième degré, ce qui exige trois équations de condition entre les dix coefficients de/, et/,; il en reste donc sept arbitraires, de sorte qu'on peut regarder/ et P3 comme des polynômes quelconques du second et du troisième degré, et l'équation se met sous la forme

Dans le second cas, les deux parties qui composent le polynôme 9 admettent le facteur commun {u — ay-, le second facteur, qui est du quatrième degré, doit être le carré d'un polynôme P2 du second degré, ce qui exige deux équations de condition entre les huit coefficients de/ et/3; il en reste six arbitraires, de sorte qu'on peut regarder/ et P2 comme deux polynômes quelconques du second degré; le polynôme cp est encore le carré d'un polynôme (m — «jPa du troisième degré. Il en est de même dans le troisième cas : les deux parties du polynôme «p renferment le facteur commun {u — a)^ [u — by ; le second facteur, qui est du second degré, doit être le carré d'un polynôme P, du premier degré, ce qui exige une équation de condition entre les six coefficients de/ et/; il en reste cinq arbitraires, de sorte qu'on peut regarder/ et P, comme deux polynômes quelconques du second et du premier degré; le polynôme 9 est encore le carré d'un polynôme (m — a)[u— b) P< du troisième degré. Ainsi les trois cas rentrent dans le type général (V). Dans le premier cas, les deux polynômes/ et P3 sont premiers entre eux; dans le second cas, ils admettent un diviseur

commun m — a du premier degré; dans le troisième cas, un diviseur commun {u — a) {u — b) du second degré non-carré parfait.

251. Pour intégrer l'équation (V), nous la ramènerons d'abord à la forme

(52) \]''^f,\]'' + Vl = o,

en posant U = — T^/t -~ U' (n° 249). Concevons le polynôme P, du

troisième degré décomposé en un produit de deux facteurs, l'un u — a du premier degré, l'autre Pa du second degré, et posons U' = Pa^; l'équation précédente devient

(53) u'{f,v-f,)-{-{u-acY'-^o.

La quantité ç— ^, étant le quotient de deux fonctions monotropes

doublement périodiques, aux mêmes périodes, est elle-même une fonction monotrope doublement périodique; comme elle est liée à la fonction u par une équation algébrique du troisième degré en v et du second degré en u, on conclut, d'après le tbéorème du n** 177, qu'elle est du second ordre. La détermination de la fonction u du troisième ordre est ainsi ramenée à celle d'une fonction v du second ordre.

Le calcul n'offre aucune difficulté; si l'on désigne par F (m) le premier membre de l'équation (53), et si Ton différentie, on a

dv , . du

dz

et, en remplaçant -3- ou U par sa valeur V^v — ^/i.

(54) Su^-r-¥'{u) = o.

La fonction F' (m) étant du premier degré, on déduira de cette dernière équation l'expression rationnelle de u au moyen de v et de sa dérivée (n*^ 161). il suffit maintenant d'éliminer u entre les équations

(53) et (54). Tout polynôme du deuxième degré

F(m) — Lm^ 4- ^Mm H-N satisfaisant à la relation

[F'(m)P = 4LF (^^) -f- 4{M^- LN),

l'équation (53) donne

(55) [F'(m)]==4(M^-LN).

Soient

/, — ku^ -h 2A,M +■ A„ Pj = Bm' + 2B,M H- B2;

on a .

L = B(''— Af'-i-i, M=::B,t'' — A.t'^— a, N = B,t^'— A2(/'+ a% M= - LN = f»[t;=(B.c — A,)' - (^'(Bv — k){^,v — A,)

— 2a{B.f- A,)— a'(Bf — A)-(B,(/-A,)],

et l'on arrive à l'équation dv 2

(56) -1- = 3 \/c'(B,('-A,)'-2a(B, t^— A,) -a}[l&v-k) — (B^t^— A,)(Bw^'— A f=+ 1),

dont l'intégrale est effectivement une fonction doublement périodique du second ordre.

La quantité a, dont on se sert dans ce calcul, est l'une des racines de l'équation du troisième degré Pg = o; dans le second et le troisième cas, on prendra a = «.

252. Nous avons trouvé toutes les équations du troisième degré qui admettentdesintégralesmonotropesetdoublementpériodiques; il existe aussi des équations du troisième degré, de la forme (4^), admettant des intégrales monotropes simplement périodiques ou rationnelles. Cherchons d'abord celles dont les intégrales sont simplement périodiques. Supposons que le polynôme /a contienne un facteur double (m — a, )^ n'entrant pas dans/,; dans le voisinage de a<, l'équation admet deux racines infiniment petites du degré un et monotropes par rapport à w;

si donc l'intégrale est monolrope, elle sera simplement périodique (n" 245j. On obtient ainsi les trois équations

(57) V' + A{u-a){u~b)\]'-i-Ciu — a,yiu-a'){u~b'){U-c'){u-d') = o,

(58) l]^ + A(a- a){u-b)\]'-\-C(u — a,)Hu — aY{ii~b'){u — c') = o,

(59) \}' + A{u-a){u—b)V'-hCiu — a,y{u-aY{u-by = o,

qui rentrent dans un même type

(VI) U^ -h/,U' -h (a - a,)'Q^ -= o,

Q4 désignant un polynôme du quatrième degré, et/, n'étant pas divisible par u — Œf. Pour que l'intégrale soit monotrope, il faudra, comme précédemment, que le polynôme ç soit le carré d'un polynôme P3 du troisième degré, ce qui exige trois équations de condition entre les neuf constantes que renferme l'équation (VI); il en restera donc six arbitraires, et, par conséquent, il existera une relation entre les sept coefficients des polynômes/, et P3 qui entrent dans l'équation (S^). Puisque l'intégrale est simplement périodique, cette relation signifie que le polynôme du quatrième degré, placé sous le radical dans l'équation (56), admet un facteur double.

Pour le vérifier aisément, nous réduirons l'équation (VI) à la forme dérivée

qui ne renferme plus que huit constantes; il n'en restera donc que cinq arbitraires, savoir : les trois coefficients de/ et deux de P3. A cause de l'égalité

(m — «)»(BwM-2B.M + B,)'=|5(AM'-i-2A,M4-A2)^ + Q4,

on a

(6.) ^' = |i^'' B(2B,-Baj=|^A'A.;

les cinq arbitraires sont A, A,, A2, B2, a. Si l'on pose, pour simplifier, A = 3A% d'où B = 2/tS B, = A,yi + aA%

le polynôme du quatrième degré en v contient le facteur (Iw — i)% et l'équation (56) se réduit à

(62) -^ = \ {hv~i) sl[[k, + ah-')v -^ «AJ^H- 2a(A, + aA^ — (B/</ — A,} {•iJw + 1).

Si le polynôme/3 contenait un facteur triple {u-'a^Y entrant dans/,, l'équation admettrait trois racines infiniment petites du degré un ; mais alors, les deux parties du polynôme 9 renfermant le facteur commun [u — a,)', le second facteur, qui est du troisième degré, ne serait pas carré parfait.

253. Supposons maintenant que le polynôme/ contienne un facteur triple (m — a^Y n'entrant pas dans/; l'équation admettra un système

circulaire de deux racines infiniment petites du degré -; si l'intégrale

est monotrope, elle sera rationnelle (n° 243). On obtient ainsi les deux équations

qui rentrent dans un même type

(VII) U»+/.U^ + (M-a.)*Q3 = o,

Q3 étant un polynôme du troisième degré, et/ n'étant pas divisible par u — tti. Pour que l'intégrale soit monotrope, il faut que le polynôme 9 soit le carré d'un polynôme P3 du troisième degré, ce qui exige toujours trois conditions entre les huit constantes que renferme l'équation (VII); il en restera donc cinq arbitraires, et, par conséquent, il existera deux relations entre les sept constantes des polynômes/ et P3. Puisque l'intégrale est rationnelle, ces deux relations signifient que le polynôme du quatrième degré, placé sous le radical dans l'équation (56), admet un facteur triple.

Pour le vérifier, nous réduirons l'équation (VII) à la forme dérivée

INTÉGRATION PAR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. iOi

qui ne renferme plus que sept constantes; il n'en restera que quatre arbitraires, savoir: les trois coefficients de/, et un de P3. A cause de l'égalité

(a — a)'(Ba'-r aB.a 4- B,)'= ^^(Am» + aA.a + A,)'-i-Q»,

il faut aux deux relations (61) du numéro précédent ajouter la troisième relation

(66) B'a'-l-4Bî-8BB.a4-2BB. = |JA(AA,4-4Aî),

d'où l'on déduit

I A' Bj = Ajh H- 2A,a/i -T- -s -p -^ icc^li^;

les quatre arbitraires sont h. A,, Aj, a, et Téqualion (62) devient

{67) ^^|(Av'-i)W^(/ii'-i)r^ç'--2A.a(At'-fi)-3a'/i^(/it'-Fi)-A,(2At'+i)l.

L'intégrale est aussi rationnelle, lorsque le polynôme/3 contient un facteur quadruple [u — «,)* et que le polynômey, est égal à A(w — a,)'; on a ainsi l'équation

qui, dans le voisinage du point a,, admet un système circulaire de trois racines infiniment petites du degré |- L'expression de 9 est ici

<p:=(a — rt,)*rC{a-a')(« — 6') f ^lAMw-a.)'];

il faut que le polynôme du second degré placé entre parenthèses soit le carré d'un polynôme P, du premier degré; l'équation, dont le type est

( VIII ) U^ + A ( // - «, )' U» + (m - a, )Tpî - 1^ A' (« - «, )^1 = o.

renferme quatre constantes arbitraires. L'équation (62) devient

(69) V"- kiu — a,y\J''-{-{u — a,yV\=o.

Pour l'intégrer, on posera U' = ( m — a, ) P< »>, d'où

(70) P,ç'' — k{u — ai)v--\-{u — a,) = o;

cette relation étant du premier degré par rapport à u, on en conclut que ç est une fraction rationnelle du premier degré; et en effet, si l'on pose P, — Bm 4- B,, on arrive à l'équation différentielle du premier

degré par rapport â -r- . ,

(70 3™ = (Ba.+ B.)f%

dz

dont l'intégrale est

Ba, -f- B, z

Le polynôme, placé sous le radical dans l'équation (56), devient ici une puissance quatrième parfaite.

254. Remarque. — Nous avons épuisé toutes les combinaisons qui admettent des intégrales monotropes, si l'équation est irréductible. Les autres équations du troisième degré de la forme (4^)» qui satisfont aux conditions de la monotropie, sont décomposables. Il résulte en effet, de ce que nous avons dit dans les n°^ 243 et 2i5, qu'une équation irréductible, dont l'intégrale est monotrope, ne peut offrir plus d'un système circulaire de racines nulles d'un degré supérieur à l'unité, ni plus de deux systèmes circulaires de racines nulles d'un degré égal à l'unité, ni à la fois une racine nulle d'un degré supérieur à l'unité et une racine nulle d'un degré égal à l'unité.

D'après cela, on peut affirmer a priori que, si le polynôme 9 est carré parfait, l'équation

qui, dans le voisinage du point à, , admet deux racines infiniment petites, monotropes par rapport à w et du degré deux, est décomposable en

deux équations, l'une du premier degré, l'autre du second degré, ayant toutes deux des intégrales rationnelles. L'équation

qui, dans le voisinage du point a^, admet trois racines infiniment petites, monotropes et du degré deux, est évidemment décomposable en trois équations du premier degré, ayant des intégrales rationnelles. De même, l'équation

(74) U'-f- Af«-a)(M-6)U'-f-C(u-a.)»(M — 6.)'(M-a')(M-ft')=o,

qui, pour chacune des deux valeurs a, et 6,, admet deux racines nulles, monotropes et du degré un, est décomposable en deux équations ayant des intégrales simplement périodiques. L'équation

(75) li'-{-Aiu — a){u—b)\}'-hC{u — a,y{u— 6,)'{m — c,)'= o,

qui, pour chacune des trois valeurs a,, 6,, c,, admet deux racines nulles, monotropes et du degré un, est décomposable en trois équations du premier degré, ayant des intégrales simplement périodiques.

Il est facile d'opérer cette décomposition. Commençons par l'équation (72); si on la réduit à la forme dérivée

(76) U^-+- a(M + a)U'-l-(BM'H-B,a-f-B,) = o,

les conditions pour que le polynôme <p soit carré parfait sont

et l'équation devient

OU

La décomposition est évidente.

40 i LIVRE V. - CHAPITRE IV.

Considérons maintenant l'équation (75), et désignons par Q^ son dernier terme. On doit avoir

d'où

Ql^^-~A*(u--aY{u-by=.VU

(P3H-Q3)(Pn- Qs)-^^AMM-a)M"-^r;

les deux facteurs du premier membre de cette dernière égalité étant premiers entre eux, il faut que l'on ait

P.H-Q3=2B»(M-a)% P,-Q3=|! -^^(u- 6)», B étant une constante; on en déduit

Q,=.B^ {u - ar - -^Ju~h)\ et l'équajion devient

(77) U' + A(M- «)(//- 6)U»4-[BM^^-ar- 3rni^"~^)']'="«- Posons, pour abréger,

l'équation est décomposable en trois équations du premier degré

U = ~GH-aG'-a'H%

a étant l'une quelconque des trois racines de l'équation a' = r. Si l'on réduit l'équation (74) à la forme dérivée

{78) U'-f-(M^-+- A,M4-A,)U'-4- m'(Bm'-+ B,M + B,) =0,

les conditions, pour que le polynôme (p soit carré parfait, sont

Si le premier membre de l'équation (78) est décomposable en un produit de deux facteurs rationnels