W CO ^ I

convergente dans la même étendue.

Développement des logarithmes des fonctions elliptiques.

297. Des développements que nous venons de trouver, on déduit immédiatement ceux des logarithmes des rapports des fonctions Q deux à deux.. On a, par exemple,

• Dlog^(z) = Dlog0,(z) — Dlog0(z), Dlog;:x(2) = Dlog0,(2) — Dlog0(z), D log V { z) = D log03(2) - D logô (z ),

et par suite

(8) - DlogM2)--cot^-^-^y -

TT TTZ iîT V^ Cf" . 2m7T2

(9) I^ log^{^) = - ^ tang ^ ^TT

u) Gt)

(lo) Dlogv{z)

Ces séries sont convergentes dans la partie du plan comprise entre les

parallèles à la direction w menées par les points ± —«Par l'intégration,

on obtiendrait les développements des fonctions \o^Q[z) et des fonctions logX(z), logfx(z),logv(5;).

298. Remarque I. -- L'équation (g) donne une démonstration simple d'une propriété remarquable des nombres entiers. Le premier

DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS ELLIPT. EN SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES. 483 membre est égal à ~^ i^l^l^). g^^ dérivée, pour 2 = o, se réduit ?i — g^;

en prenant de même la dérivée du second membre et faisant z = o, on obtient l'équation

mq'

^ ^ TT» Zj i-hi—ifq'"

Mais nous avons trouvé (n° 205)

Il en résulte l'identité