Remplaçons maintenant la fonction 6 par sa valeur
6(z) = 9{o)e~A\iz); l'équation se transforme en la suivante :
i -^— h 2 A»2 1^ -îffh'' -T-j- + [ik^U — H' H- kk" -jy z'Al
] Dz-" iiz ik V dk J
( + I^H + =«'■— g^'J Al =0.
De la relation
A/r" doy
on déduit
w dk
dU , 1 ^^V^''' dk) kk'' (d(^y
et, en vertu de l'équation (Sa) du n° 279,
Le coefficient du quatrième terme de l'équation (i4) se réduit ainsi à P. L'équation (i3) est la même pour les quatre fonctions 0; les équations analogues à l'équation (i4)» et qui se rapportent aux quatre fonctions Al, ne diffèrent que par le coefficient du dernier terme; il suffit de remplacer dans ce coefficient 0(o) par l'une des quantités ^^(o), ^2(0)» ^3(0)- Des relations
^(°) = Vir' ^'(^^=V-v~' ^^('^^^Vv ^^("^^'=V^'
établies au n° 205, on déduit
dk dk
= ,^M- '^^ =k'-2 kk'-- '1}!S^'^ ,
dk dk
DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS ELLIPTIQUES EN SÉBIES ENTIÈRES. 471 et Ton obtient les quatre équations
' 4- ik^z — \- o.kk'^ -Tï — I- A-'z*Al=zo,
dz' i>z ik
à'Ali ,, c>Al, ,,,, <)Ali ,,,, ,, ,..,
ôz* dz dk ^ '
3»A1, ,, ^k\, ,,„ ^Al, , ,, ,.4,
-— -^ 4- ik^z— h 2 A-A'= —T- -I- (i + A'2MA1, = o,
^z* iz dk
i)2* Jz ôk
qui sont dues à M.Weierstrass (/owr/îa/^/e Crelle, i856). "^
II est aisé de reconnaître que les quatre fonctions Al, y^îtAl,,
i/T^Ala, y^ AI3 satisfont à la même équation
{16) — - H- aA^^z — -f- 2/fA-'*--r + A^»Z»Mr=0.
' ôz* Dz J)/r
291. Les équations (i5) permettent d'exprimer un coefficient quelconque de l'une des séries à l'aide des deux coefficients précédents. Calculons d'abord le développement de Al (z); en substituant la série dans la première des équations (i5) et égalant à zéro le coefficient de z^'", on obtient la relation
da("'> (17) (1^"+'^ = ^nk^a^''^+ o.kii — k') ~- — 2n(2n — i)/f»a("-''.
dk
Le premier coefficient est égal à l'unité; en faisant n — o, on trouve a<'' = o; en faisant n = i, on trouve a'^^ — — 2k^, et ainsi de suite. Les polynômes étant réciproques, on abrège le calcul en posant a^"^ = k"i>^"\
^ + V = |3; la relation précédente devient
et Ton trouve
fcC) = - 2,
eO-' = — 2'(2'[3' + l), fc(6) — 2S(2»p3 +3(3),
fc(«) = — 2<(2»[3'' + 2«. 45 [3^ -h 2'. 345 S' —849),
6'''")rr: - 2'(2'^(3«+ 2«.9i (3"+ 2«.3i65^^ — 2<. 34 1 37 (3' — 26199),
En considérant les premiers coefficients, on remarque que fe<2«'-i) gj j(2«') sont divisibles respectivement par 2"'"^* et par 2"'; la relation (18) montre que cette propriété est générale.
Si l'on remplace /3 par sa valeur k -f- j-, on a
-a('^ = 32(A-'4-/i«) + 68/fS
— aC') = 5i2 (/,'+ /.'") + 3oo8 (/r* + /i») + 54oo/.%
Les coefficients du développement de Al< {z) sont donnés par la relation
(19) a^« + ') = [• +(4n -t- i)/'' ]a;"^ + 2/f (i - /.') -^ - in{'2.n + i)/.^o^,"-'\-
ces coefficients étant aussi réciproques, on posera, comme précédemment,
ce qui met la relation sous la forme
On trouve ainsi
t)V"'= (S"-!- 2.45j3«— 2».5io7i85[3''- 2'.4252365(3« — 2'.i5oo435(3'- 2'.i6o839,
OU, en remplaçant |3 par sa valeur,
a';» = i+A^'+iÔCA'-hA'j-e/iS
-59331498 (A "-h A-'*), 0';* = 1 + A"-Moo(A = -j-A")-4o8567i5{A'-f-A"') — 3i3i8oo8o(A«4-A'«)
On calculera le développement de AU {z) au moyen de la relation
dk
et l'on abrégerait un peu le calcul en posant 2k'^ = hy et remarquant que les coefficients sont des polynômes en A à coefficients entiers. On trouve
+ ik\
+ la/f'-f-eo/j^-f-Sî/r",
-I- 3o/r^+ 2372/r< 1- 46oo/f«+ 288o/(''+ 5i2/r'%
+ 42A■^^- i93o8yf^+ 5i8i6/f"-h45o24/f»-f- 16896^'»+ 2o48/r'%
+ 56^^=+ 169320/ir' + 628o64A«-f- 757264/f'H- 870944 /r'"+ 93 144 /r'^
+ 72/('-i- i5i5368/fH- 7594592 A-'' H- 12998928/»» + 9100288/4 '«, + 2 725888/r"+49i52o/r'*+32768/i'%
Le développement de AI3 [z] se déduit de celui de AU [z), en vertu de la relation ^^:^[k) — fc"'o!{' l-^ ; on a ainsi
On obtient une vérification très-simple des calculs précédents en remarquant que, si le module k est égal à l'unité, la quantité p est nulle, et que les quatre fonctions Al deviennent respectivement
Ali
coshs, k\i{z)=:e ^'sinhz, Al2(2) = AI3 (2) =1; e
Développement de X ( z ) .
292. D'après le ihéorëme du n° 99, la fonction X(2), qui admet la période 2w, est développable en une série de la forme
miczi
et convergente dans une bande limitée par deux droites parallèles à la direction w. On a posé / = e" ; aux valeurs s = h mw -i- /îw', qui
(an + i)-
rendentlafonctionX(z)infiiiie,correspondentlesvaleurs^ = ±c ="" , dont les modules varient en progression géométrique, et les arguments en progression arithmétique. Dans le plan sur lequel on figure la variable z, les pôles sont disposés par files parallèles à la direction w. Dans le plan sur lequel on figure la variable t, les valeurs correspondantes de ^sont marquées par des points placés sur deux spirales qui, d'une part, s'éloignent à l'infini, d'autre part se rapprochent indéfiniment de l'origine ; ces points sont les pôles de la fonction X, considérée comme une fonction de t. La série, ordonnée suivant les puissances entières de t, positives ou négatives, est convergente pour les valeurs de i comprises entrt deux circonférences ayant pour centre l'ori-
{ l/I -t- I^ICu.' j (271 — l)ic<a'i
gine et passant par les points t = e "" , / = e '" ; la série sera donc convergente pour les valeurs de z, comprises entre deux droites
parallèles à la direction w et passant par les points z — {2/1+ ]) —->
z = (2n— i)—i c'est-à-dire entre deux files voisines.
Supposons n = o; la série sera convergente dans la bande comprise
Fig. 80.
entre les parallèles BoCo, B,C, à la direction w, menées par les points
z = —■> z = {fig' 80). Les coefficients de la série sont donnés
par l'intégrale définie
Am = — I l{z)e " dz,
relative à une ligne située dans la bande. Nous remarquons d'abord que A,„ — — A,„; car, en posant z = — z', on ù.
A-n,= — / 'k(z)e " dz=: 1 l(z')e -> dz' = — A„.
Nous remarquons ensuite que
Am-= — / liz)e '^dz-\ I l[z)e -" dz,
et, en remplaçant z par w -+- z dans la seconde {fartie,
DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS ELLIPT. EN SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES. 477 Il en résulte que Ao^ — o et que
\{z)e " dz.
Pour évaluer ce dernier coefficient, considérons l'intégrale définie
int J
relative au contour du parallélogramme A'EFA , dont les sommets A et A' correspondent à z=±-^ et les sommets F et E à
z = ±- — n'''ji' \ les parties relatives aux deux côtés opposés FA, A'E
sont égales et de signes contraires; la partie relative au côté EF est infiniment petite, quand n' est très-grand ; l'intégrale se réduit donc
à la partie relative au côté AA', c'est-à-dire à r A2,„,. Mais l'intégrale définie relative au contour du parallélogramme est égale à la somme des résidus relatifs aux infinis a. — — (2/1 — 1)—, n variant
de I à n'. L'un de ces résidus étant égal à -r^^'" '^ " , on a
jm — I
g co l( ^ " goi k I —
et la série devient
I > g = / > — ^^— -— sin'— — -
Développement de fi.(^).
293. Les mêmes considérations s'appliquent à la fonction ,a(z), qui admet aussi la période sw et les mêmes infinis que X(z). En effectuant
478 LIVRE IV. - CHAPITRE ffl.
le développement dans la bande comprise entre les parallèles Bo Co, B, C, , on aura
Am= — I ui{z)e ^■' dz.
Ici A,„ = A,„; on a d'ailleurs A2,„ = o et
— (aw — i)
■KZ l
^dz.
On obtiendra le coefficient Ao,^,,, comme précédemment, par la considération de l'intégrale définie relative au contour du parallélogramme
A'EFA; le résidu relatif à l'un des infinis a= - (2/1 — \)— étant
égal a ^ -r — q ' , on aura
d'où
iTtsIq V 9""' (2 m — i)Trs ^ * ^ ^ ^ - ces —
Développement de v[z).
294. Cette fonction admettant la période w, la série sera de la forme
et, pour la bande comprise entre les parallèles BoCo,B,C,, on aura
■t f* ' ■i.rnv.zi
A,„ = - / v[z)e ^~dz.
On a ici A,„ = A,„. Pour évaluer le coefficient A^, considérons rintégrale définie
. / v{z)dz,
relative au contour du parallélogramme A'D'DA (Jig. 80), dont les
sommets D et D' correspondent aux valeurs 2 — ± 00' ; les parties
relatives aux deux côtés A'D', DA étant égales et de signes contraires, celles relatives aux deux côtés D'D, AA' étant égales, l'intégrale relative au contour se réduit à deux fois l'intégrale relative au côté AA',
c'est-à-dire à — ^ Ao. Mais cette intégrale est égale au résidu relatif au
pôle — — ) situé dans le parallélogramme ; on en conclut que Ao = — •
On évaluera un autre coefficient A,„ par la considération du parallélogramme A'EFA, comme précédemment, et l'on trouvera
On obtient ainsi la série
v{z)= — (1 + 4 > — ^ ces )
Développement des fondions Dlog^(2).
295. La fonction méromorphe D\og6{z) = -~~ admet la période w;
elle devient infinie aux mêmes points que les fonctions elliptiques; elle est donc développable en une série de la forme
Dlog0(2)= > A„.e~
y.mT.z
et convergente dans la bande comprise entre les parallèles BoCq, B,C, [fig. 80). Les coefficients sont donnés par la formule
La fonction Dlog6'(z) étant impaire, on a Ao = o et A,„= — A,„. On déterminera le coefficient A,„ à l'aide du parallélogramme A'EFA, comme précédemment; les parties de l'intégrale relative aux deux côtés opposés A'E, FA étant égales et de signes contraires, et celle relative au côté EF étant infiniment petite, l'intégrale relative au contour de
ce parallélogramme se réduit à ^.A,„. Le résidu relatif au point
a ~ — (2/t — i)— est égal à ^(^«-O'n^ puisque le résidu de D log0(z) est égal à l'unité. On a donc
"i/Ki q"
et la série devient
(4) DIoge(.) = i^^^sm— -.
En remplaçant z par 5 -h -> on en déduit la série
5 DIog03 2 — -- > ^ sin ,
convergente dans la même bande.
296. Le développement de la fonction Dlog0,(^) ne peut pas s'effectuer dans cette bande, à cause des infinis z =■■ mw, situés sur la droite AA'; mais on évite cette difficulté en développant la fonction
9(2) = Dlog-?^=Dlog0,(2)- -col—, sin —
qui n'a plus ces infinis. Cette fonction impaire, admettant la période w, est développable en une série de la forme
cp(2)
et convergente dans la bande comprise entre les parallèles à la direction cù menées par les points z = -± w'. Pour évaluer les coefficients
— 7 mit rj
An,--=-j 9 ( 2 ) e » dz,
on considère l'intégrale définie
'.-ni J
9 ( 3 ) e " dz,
relative au contour d'un parallélogramme A'EFA, dont les sommets A et A' sont les points z = =Li-, et les sommets F et E les points
z = ±1 (2/i'4- i)— • Les parties relatives aux côtés A'E, EA se
détruisant, et celle relative au côté EF étant infiniment petite, l'intégrale se réduit à : A;;,. D'autre part, la somme des résidus relatifs
aux pôles « = — /lûù', situés dans ce parallélogramme, est - ^„- On
a donc
. 2 7ri g'
An,
^ ^ — sin
(6) Dlog0,(z)^-col— +^-- y -
, -T ^ V sin
En remplaçant z par z -i- -; on obtient la série
