Remarque II. — L'équation différentielle du
à laquelle satisfait la fonction m = X(z), dont le multiplicateur est égal à l'unité, peut s'écrire
du
V^i —k^u^ dz=:v{z)dz;
Vi — w»
on en déduit
arcsinM= l v {z)dZf
et, en vertu de la série (3),
(i4) arcsinX(z)= 1-2 \ — —
a'" . ^mr.z
' sin
La même équation différentielle peut s'écrire
\/ 1 — II' dz = fx { z) dz ;
v/i— k'u' on en déduit
y- arc sin/rw =3 I ii(z)dzy
et, en vertu de la série (2),
(i5) arc smifl(z) = ^Jq > ; ^i ^^-tt sin
Si, dans cette dernière équation, on fait z = - » on obtient la série
. ('6) arc sin A- = 4 V^^ 7 7 û — , — ^^tt»
OU, d'après une remarque faite au n" 68,
771 cr »
(17) arcsin/r = 4 > (— 1)"'-' arc langç ' .
Les développements exposés dans ce Chapitre ont été trouvés par Jacobi [Fundamenta nova).
