Les fonctions

. e,{z — x)ex(z -hx— a — b) g Ô,(z—y) 0.(z+J — a— 6) e,{z-a)6,{z-b) ' e,iz-a)d>{z-b)

admettant les deux périodes w, w', leur somme

admet ces mêmes périodes; c'est une fonction méromorphe doublement périodique du second ordre, dont les infinis sont a et b. Or on peut disposer des coefficients A etB, de manière que le numérateur s'annule pour z = a et pour z = b; il suffit pour cela que ces coefficients satisfassent à la condition

A6,ix — a)9>{x — b) -h Be^ix — a) 9>{X — b] = o, qui, à cause de la symétrie, est la même pour les deux racines; alors

la fonction (p (z), qui ne devient plus infinie, est une constante. L'un des coefficients restant arbitraire, on peut en disposer de manière que cette valeur constante soit égale à l'unité. On a ainsi l'équation

0,(2-«)0,(2 — 6)=A0,{z — x)0,(2 + ^ — rt — 6) + B0,(z— j)0,(2+7— « — 6).

Si l'on y fait successivement z =--y^ z — ce, on obtient les coefficients

di[a; —y)$i{x -+-f— a — b) di(x —y)Bt{x -{- y— a — b)

et l'équation devient

Nous y remplacerons a eib par — « et -- 6, et nous l'écrirons sous la forme

0, (^ + a) 0, (^ -1- 6) 0, (j -f- 2 -f- a -h 6) 0. (j — z) 4- 0, (j + a) 0,(/+ 6)0,(z +:c + a + 6) 0,(z — x) + 0, (z -\-a)Qx{z -h b)Qi{x +j -f- a -}- b) 6^{x — y)z=zo.

Cette équation renferme cinq quantités arbitraires ce, y, z, a, b. On déduit le deuxième terme du premier, et le troisième du deuxième, par la permutation circulaire des lettres x, y, z. Le premier membre est une fonction symétrique des deux quantités a et h, et une fonction alternée des trois quantités x,y, z deux à deux. On vérifie aisément que l'équation ne change pas lorsqu'on ajoute w ou w' à l'une quelconque des cinq quantités x, y, z, a, 6, et qu'elle ne change pas non plus lorsqu'on

ajoute - ou — aux cinq quantités à la fois.

301. De cette équation fondamentale on déduit un grand nombre

d'équations de même forme, en ajoutant, soit-? soit— > soit 1 à

une ou à plusieurs des cinq quantités x,y, z, a, b, ce qui remplace les

fonctions 0, par d'autres fonctions 6. Chacune des lettres oo,y, z entre dans deux des quatre fonctions 0 qui composent chaque terme de l'équation; chacune des lettres a et b entre aussi dans deux de ces fonctions. Quelles que soient les quatre fonctions Q qui composent un terme, on

reconnaît que, lorsqu'on ajoute - ou — à l'une des quantités x, y, z,

deux fonctions 0 sont remplacées par d'autres, et, au signe près, les trois termes de l'équation sont multipliés par un même facteur dont

on peut faire abstraction; il en est de même lorsqu'on ajoute - ou —

à l'une des quantités a et b. Le premier membre de chacune des équations renferme douze fonctions portant sur les quantités

{x -\- a, X + b, jr -h z -h a -\- b, ^ — z), {jr -^ a, y-^ b, z -\-x-h a -h b, z — x), [z -{-a, z-\-b,x-hy-{-a-\-b,x — y),

que nous supposerons toujours disposées dans le même ordre, ce qui nous dispensera de les écrire. Chacune des quatre fonctions 0 pouvant porter sur douze quantités, les équations renferment en tout 12 X 4 ou 48 fonctions 0.

Nous déduirons toutes ces équations de l'équation fondamentale, en attribuant à chacune des cinq lettres x, y, z, a, b qu'elle renferme quatre valeurs différentes; par exemple, nous attribuerons à a? les quatre

1 f.) . w' M H- 0)' Tk • l> ' .' 1

valeurs x, x-\ — » ^ h , x -\ Puisque 1 équation ne change

pas lorsque les cinq lettres éprouvent la même modification , nous pouvons laisser invariable l'une des lettres et nous borner à attribuer à chacune des quatre autres les quatre valeurs dont elle est susceptible, ce qui donnera 4* ou 256 équations différentes. Lorsque les deux lettres a et 6 éprouvent une même modification, l'équation reste symétrique par rapport à a et à 6; mais si une seule de ces lettres est modifiée, ou si elles éprouvent des modifications différentes, l'équation cesse d'être symétrique. Lorsqu'une seule des trois lettres x, y, z, par exemple x, est modifiée, ou lorsque les deux lettres j et z éprouvent la même modification, le premier membre de l'équation est encore alterne par rapport aux deux lettres j et z ; mais il cesse de l'être par rapport à x et

à j et par rapport à a; et £l z. Nous sommes conduits de la sorte à ranger les 256 équations en six classes, de la manière suivante.

302. Première classe. Relations alternes par rapport à deux quelconques des lettres x, y, z et symétriques en a et h, — On les déduit de l'équation fondamentale en ajoutant aux deux lettres a et 6 la même quantité o, — , --> -, ce qui donne les quatre équations

303. DeuxiÈxMe classe. Relations alternes par rapport à deux quelconques des lettres x, y, z, mais non symétriques en a et b. — On les déduit de l'équation fondamentale en ajoutant aux deux lettres a et b des quantités différentes; comme on peut ajouter les six couples de quantités

dans un ordre ou dans l'autre, on obtient douze équations de la seconde classe. On a d'abord les six équations

En ajoutant aux lettres a et b les mêmes quantités en ordre inverse, on obtient six autres équations qui se déduisent des précédentes par la permutation des lettres a et b; afin de laisser les quantités x ■+ a, x-hb,... dans le même ordre, on permutera dans chaque terme les deux premières fonctions 6 considérées comme de purs symboles, de

manière que la fonction qui portait sur x + a porte maintenant sur ce ^ b, et réciproquement.

304. Troisième classe. Relations alternes par rapport à deux des lettres x, y, z et symétriques en a et h. — Si, dans les équations de la

première classe, on ajoute à œ l'une des quantités

j on

forme douze équations symétriques en a et b, et alternes par rapport à j et 2 : 0

-t- W3 Wj W V/ W3 W3 W I

On a de même douze équations alternes par rapport k z et x, et douze alternes par rapport à a; et 7, ce qui fait 4 x 3 x 3 ou 36 équations de la troisième classe. Des premières on déduit les secondes en permutant circulairement les trois lettres x^ y, z; ceci revient à permuter circulairement les trois termes considérés comme des symboles, en laissant toujours les quantités x -h a, x-\-b^.,. dans le même ordre; on déduit de même les troisièmes des secondes.

305. Quatrième classe. Relations alternes par rapport à deux des lettres x, y, z, mais non symétriques en a et b. — Elles se déduisent de celles de la seconde classe de la même manière que la troisième classe de la première. Si, dans les équations de la seconde classe, on ajoute

à a? l'une des quantités — » -> ^- -•> on forme 12 x 3 ou 36 équa-

tions non symétriques en a et b, et alternes par rapport à y et z. On a d'abord les 18 équations

U 1/3 Vj V

Oj 63 6 9

V3 Wi V3 w 02 0 03 0

On obtient les 18 autres en permutant dans chaque terme les detïX premières fonctions 9. On a, de même, 36 équations alternes par rapport à « et £i;, que l'on déduit des précédentes par la permutation circulaire des termes, et 36 équations alternes par rapport à a; et j, ce qui fait en tout i2x3x3 = io8 équations de la quatrième classe.

306. Cinquième classe. Relations non alternes par rapport à deux des lettres 00, y , z, et symétriques en a et h. — On les déduit des équations de la première classe, en ajoutant aux trois lettres x^ y, z trois quantités différentes, prises à volonté parmi les quatre quan-

mais nous pouvons exclure la dernière

tites o, —5 -5

car supposons que l'on ajoute à x, y, z respectivement o, —

co 4- m'

en retranchant des cinq lettres la même quantité —5 ce qui ne change pas l'équation, on ramène ce cas à celui où l'on ajoute > o, - ) ou — : o, -• De même, supposons que 1 on ajoute âœ, y, z

respectivement — > -> - — ^; en retranchant des cinq lettres la même

quantité j on ramène ce cas à celui où l'on ajoute -5—50. Ainsi

nous pouvons nous borner à ajouter h x, y, z les trois quantités o,

— > - prises dans un ordre quelconque; nous obtiendrons de la sorte

4 X 6, ou 24 équations de la cinquième classe.

En remplaçant, dans les équations de la première classe, y par

y -\ ei z par 5 -h -» sans changer a?, on forme les quatre équations

Concevons maintenant que l'on permute deux quelconques des trois lettres x, j, z, par exemple j et z; les douze quantités

(jc -+- rt, X -+- b, y -\- z -h a -h b, y — z), {y-\- a, y -h b, z -h x -{- a -h b, z — x), (z -t- «, z -h b, x-h y-h a-\- b, x — y),

sur lesquelles portent les douze fonctions Ô qui entrent dans chaque équation, deviennent

[x -i- a, X -h b, y -h z -\- a -h b, — y -h z), (z -i- a, z-hb,x-hy-ha-{-b, — x -\- j), [y -k- a, y -k-b^ z-{-x-^a-\-b, — z-\- x).

Comme on peut changer le signe de la quantité sur laquelle porte la dernière fonction 0 dans chaque terme, puisque cette fonction est paire,

492 LIVRE Vil. - CHAPITRE I.

on «ubstituera à ces quantités les suivantes :

(x -\- a, X -{- b, f-h z -{^ a-\- b, f — z), {z -ï- a, z -\- b, X n- X -\- a -^- b, X — y), (jH- a, j H- b, z '{- X -\ a-\- b, z — x).

Pour rétablir l'ordre primitif, il suffit de permuter les deux derniers termes de l'équation. Il résulte de là que l'on peut, dans les quatre équations précédentes, permuter les termes deux à deux de toutes les manières possibles; les trois termes de chaque équation présentant six arrangements, on a ainsi les 24 équations de la cinquième classe.

307. Sixième classe. Relations non alternes par rapport à deux des lettres x, y, z, et non symétriques en a et b. — Elles se déduisent de celles de la deuxième classe, comme la cinquième classe de la première, ce qui fait 12 x 6 ou 72 équations. Si, dans les 12 équations

de la deuxième classe, on remplace y par 7 h et 2 par z -\- -1 sans

changer x, on obtient les 6 équations

et les 6 que l'on en déduit en permutant dans chaque terme les deux premières fonctions 5. En permutant ensuite les termes deux à deux, comme nous l'avons expliqué, on formera les 72 équations cherchées.

Équations à deux lettres.

308. Première espèce. — Les équations précédentes renferment cinq quantités arbitraires £i?,j, z, a, b. Si l'on attribue à quelques-unes de ces lettres des valeurs déterminées, ou si l'on établit entre elles certaines relations, les équations ne renfermeront plus qu'un moindre

nombre de quantités. Supposons que l'on fasse x =^y = s = o; les quatre fonctions Q, qui composent chaque terme, porteront sur les quantités a, 6, a + 6, o; les équations des quatre premières classes, qui sont alternes au moins par rapport à deux des lettres ce, y, z, se réduisent à des identités; les équations des deux dernières classes, étant indépendantes de l'ordre des termes, se réduisent à seize équations distinctes, savoir : quatre pour la cinquième classe et douze pour la sixième. On a ainsi un premier groupe de quatre équations

B,{a)e,{b)e^{a-\-h)Q,{o)-\-Q {a)B {b)e,{a'-hb)e,{o)~9,{a)9,{b)d{a + b)6{o) = o, 9 {a)9 {b)9,{a + b)9,{o)-h9,ia)9,{b)9,{a-hb)9^{o)-9,{a)9,ib)9{a-hb)9{o) = o, 9t{a)9,{b]9,ia-h b)9,{o)— 9,{a)9,{b)9,{a-h b) 9,{o)— 9,{a)9,{b) 9{a-{- b) 9{o) = o, 9t{a)9i{b)9,{a-{-b)9,io)-9,{a)9,{b)9,{a-hb)9,{o)—9 {a)9 {b)9 {a^b)9{o) = o,

et un second groupe formé des six équations

6 ^{a) 9 {b) 9,{a -^- b) B^io) + 9 {a) 9, {b) 9,{a ~\- b) 9, {o)—9,ia)9,{b) 9, {a -h b) 6 {o)z=zo, 9,ia)9,{b)9,{a-i-b)9,{o)—9,{a)9,{b)9,{a-+-b)9,{o)-h9,ia)9{b)9,[a-^b)9(o}=o, 9,{a)9,{b)9,{a-hb)93{o)-9 {a)9t{b)9 {a + b)9^{o) -^9,{a)9 {b)9^{a+b)9{o)=.Oy 9 {a)9,{b)9,{a + b)9,{o)- 9,{a)9,{b)9 {a-hb)9^{o)- 9,{a)B,{b)9^{a-hb)9[o)=o, 9,ia)9,{b)9{a-hb)9,{o)-9 {a)9,{b)9,{a-hb)9,io)-h9,{a)9,{b)9,{a-^b)9io) = o, 9 (a)9,{b)9 {a-\-b)9^{o)-9,{a)9,{b)9,[a-hb)9,{o)-9,{a]9 {b) 9,{a-\-b) 9 {o) = o,

et des six qu'on en déduit en permutant a etb, ou, ce qui est la même chose, les deux premières fonctions 6 dans chaque terme. Ces seize équations trinômes entre les quatre quantités 6 {a -h b) déterminent les rapports de trois de ces quantités à la quatrième, et, par conséquent, se réduisent à un système de trois équations distinctes.

309. Seconde espèce. — Supposons que l'on fasse y = z —. o et b = — a, les douze quantités sur lesquelles portent les fonctions 6, dans chaque équation, deviennent

Les deux quantités j et z étant égales, les équations des deux premières classes se réduisent a des identités. La troisième classe se com-

pose de trois groupes de douze équations; celles du premier groupe, étant alternes par rapport à 7 et z, se réduisent aussi à des identités; celles du troisième groupe, se déduisant de celles du deuxième par la permutation de j et z, se confondent avec celles-ci; il suffît donc de considérer les douze équations du deuxième groupe. La cinquième classe se compose de deux groupes de douze équations, tels que le second se déduit du premier par la permutation des deux derniers termes; ces deux groupes se confondant, il suffît de considérer les douze équations du premier groupe. Ainsi la troisième et la cinquième classe donnent les 24 équations suivantes :

9l{a)9l{x)-Bl{a]

Oli^),

dl{a)9][x)-B]{a)Bl{x) =

Bl{a)BHx)-BHa]

dl{^),

Bl{a)B\{x)-B\{a)Bl{x) =

Bl[a) B' {x) - BHa]

oii^);

{x-ha)B{

-B]ia)B]ix)-hB'[a)BHx) =

Bl{a)B\{x)-Blia^

■a)Bl{o) =

Bl{a)B]{x) + B'{a)Bl{x) =

oii^),

-a)Bl{o) =

Bl{a)B]{x)~hB'ia)Bl{x) =

B^,{a)Bl{x) + Bl{a

9Hx)i

-Bl{a)B]{x)+Bl{a)BHx)=.

B'{a)Bl{x) — B',{a

oii^).

■a)Bl{o)=-

-9]{a)9]{x)-+-Bl{a)Bl{x) =

Bl{a)Bl{x)-9Ha]

ôH^),

{x-{- a) B-ii

a)Bl{o)=-

- 9'{a)B\{x)+ Blia)9l{x) =

Bl(a)Bl{x)-9]{a

:9Ha)9lix)-9l{a

)Ol{:v),

{x-ha)di

■a)Bl{o) =

B^{a)B]{x) + Blia]Bi{x) =

9]{a)9'{x)-i-Bl{a

oii^),

{x-ha)d3(

■a)Bl{o) =

B]ia)B]{x)+Bl[a)Blix)=:

--9lia)9lix)+9'ia

Les deuxièmes membres proviennent de la troisième classe, les troisièmes de la cinquième classe. Les premiers membres étant symétriques ou alternes par rapport k x el a, les deuxièmes et les troisièmes membres jouissent de la même propriété. Les produits 9{x -+- a) ô{cc — a), formés d'une même fonction 0, sont égaux, d'après cela, à des expressions binômes renfermant les carrés de deux fonctions 9 {ce) et les carrés de deux fonctions 6 {a).

Remarquons que les six expressions d'un même produit peuvent se déduire de l'une d'entre elles, à l'aide des deux relations linéaires qui existent entre les quatre fonctions 0-{oc) et de celles qui existent entre les quatre fonctions 0' (a) (n^ 157).

PROPUJÉTÉS DES FONCTIONS 9. 495,

310. La quatrième classe se compose de trois groupes de 36 équations; le premier groupe se réduisant à des identités, et le troisième se confondant avec le deuxième, il suffît de considérer celui-ci. Dans ce deuxième groupe, il y a 12 équations qui renferment la quantité nulle ^i(o), et qui, par conséquent, se réduisent à des identités; il en reste 24, qui se confondent deux à deux; le nombre des équations distinctes est donc 12. On reconnaît d'ailleurs que la sixième classe donne les mêmes équations que la quatrième. Ces équations sont les six suivantes :

et les six qu'on en déduit, en remplaçant a par — a. Les deuxièmes membres, comme les premiers, sont symétriques ou alternes par rapport ?i X et a. Les produits 6 {x -h a) 9 {x — a) , formés de deux fonctions Ô différentes, sont égaux à des binômes renfermant chacun les quatre fonctions Q{x) et les quatre fonctions 6 {a).

Formules de Jacobi.

311. Des relations précédentes on déduit aisément des formules remarquables trouvées par Jacobi [Journal de Crelle, i845). Soient a, è, c, d quatre quantités arbitraires; si l'on désigne par a', b', c', d' quatre quantités nouvelles définies par les formules

on a réciproquement

ia ~ — a' -\- b' -\- c' -\- d' y 2h = a' — b' -h c' -+- d\

ia' =— a -\- b -h c + d,

ib' =a — b-\-c-\-d.

' ' 2c = a' -i- b' — c' + d', 'xd=a' +b' + c' -d'.

On peut remplacer ces deux systèmes de formules par les relations équivalentes

( 3 ) a -f- a' = 6 -i- 6' — c + c' = rf -{- c?', a -^r b — c' -^ d'.

On a aussi la relation

Supposons maintenant que, dans les six classes d'équations générales, on fasse a = a, b=^ — a, c'est-à-dire a -\- b = o; chacune d'elles renfermera les douze quantités

(X'^a,x—<x,x~hz,jr-z), [x-^a.,x—cc,z+x,z—x), [z+cc, z — a, x-\-y, x—y),

dans l'ordre où nous les avons écrites. Si l'on pose

^ 4- a = fl, a: — a = 6, j -4- z — c, y—z=zzd,

d'où

on aura

y -h ac = b', y — a=: a', z + x = d', z — x = ~ c'.

Dans chaque équation, les quatre facteurs du premier terme porteront sur a, h, c, d\es quatre facteurs du second terme sur b', a', d'y — c'; afin de conserver l'ordre alphabétique des lettres, on permutera dans le second terme les deux premiers facteurs entre eux, ainsi que les deux derniers, en ayant soin, avant la permutation, de changer le signe de la quantité qui entre dans le dernier facteur. Dans le troisième terme entrent les quantités

que nous désignerons para", b", c'\ d". De cette manière, dans chacune des équations, les quatre fonctions qui forment le premier terme por-

teront sur les quantités a, b, c, d, celles du second sur a', b', c', d\ et celles du troisième sur a", b\ c", d\ dans l'ordre alphabétique des lettres.

312. Cela posé, considérons celles de ces équations qui renferment le terme ^a Sg ^3 Ô3, que nous supposerons placé au troisième rang par des permutations circulaires, et égalons les valeurs qu'on en tire pour

03 [a") e,{b") 03 [c")Q, [d") ; nous aurons

e d QB -^{9,9,9,9,)' = e,d,e,9,-h{d 9 9 9)' 9,9,9,9, + {9,9,9,9,)' = 9,9^9,9, + {9, 9, 9, 9,)'.

En égalant les valeurs de 9{a")e{b")Q{c")0{d"), on a de même (6) 0 99 9-^9,9,9,9, — [9 9 9 9]' + {9,9,9, 9,)'.

Les termes non accentués renferment les lettres a, b, c, û?, les termes accentués les lettres a', b' , c\ d' . Les relations (5) et (6) ont la même forme que les relations (3); les deux suites de quantités

y jouent le même rôle que les deux suites de quantités

dans les équations (3). On en déduit les formules

[ ti{9,9,9,9,y=^ e

(7 C7 -1- Wj Wj C7» t7j -t- 7| U, U, U, -f U, V, U, l/j,

analogues aux formules (1). On en déduit ainsi la relation

j {9 9 9 9)' + {9,9,9,9,Y + {9,9,9,9,y + {9,9,9,9,)' \ --=[{9,9,9,9,)'Y + [{9 9 9 9)'-]-^ +[{9,9,9,9,yy + [{9,9,9,9,)'y,

analogue à la relation (4).

A cause de la symétrie des formules, il est clair que l'on peut permuter à volonté deux termes de l'une des lignes A, pourvu que Ton permute aussi les termes correspondants de l'autre ligne. Les relations ne changent pas.

analogues aux relations (3), par rapport aux deux suites de quantités

On en déduit les formules

En égalant les valeurs- de (O^Q^^^)" et celles de (^a^a^j^J", on obtient les relations

( -9 9 9,9,+ 9,9,9 9 = (9 9 9,9,)' + (9,9,6 9)', analogues aux relations (3), par rapport aux deux suites de quantités

En égalant les valeurs de {6^ Os 0 6)" et celles de (^a^a^i ^,)'', on

PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS h. 499

obtient les relations

( 9 9 e,9,-h{9,9te,6,y= e,e,9,9, +{9 9 9,9,)'

analogues aux relations (3), par rapport aux deux suites de quantités

Dans les trois groupes de relations caractérisés par les dispositions (B), (G), (D), on peut, à cause de la symétrie des relations, permuter deux termes de l'une des lignes et les deux termes correspondants de la seconde ligne. La symétrie des formules (i) et (2) permet aussi de permuter deux quelconques des lettres a, b, c, d\ ceci revient à changer l'ordre des facteurs dans les relations précédentes. Nous avons ainsi toutes les relations où la même fonction forme deux facteurs d'un terme, et une autre les deux autres facteurs.

314. En égalant les valeurs de [O^Q^Q^B)" et celles de {09,9^6^)", on obtient aussi les relations

9 9, 9, 9, + 9, 9,9 9, = {9, 9, 9, 9)' -h {9, 9 9, 9,)', analogues aux relations (3), par rapport aux deux suites de quantités

On en déduit les formules

Chaque terme est formé des quatre fonctions Q. On obtient toutes les relations de cette sorte, en permutant de la même manière les facteurs dans tous les termes.

315. Si, dans les équations générales, on fait x — y = o, tes douze fonctions Q, qui entrent dans chacune d'elles, portent sur les quantités

Les équations de la troisième classe qui contiennent l'un des termes QQQQy QBO^O^, 6 5 Ô2 ^a. donnent

= e{a)Q{b)B[z) 0{a-h-b-hz)-h 0.(a) d,{b) Q,{z) 9, {a -\- b + z),

9{a + z) 9{b + z) 9,{a + b) 9,{p) — 9{a) 9{b) 9,{z) 9,{a + 6 + z) + 9,{a) 9,{b) 9,{z) 9,{a-hb-+- z).

En divisant membre à membre les équations précédentes et celles que l'on obtient en remplaçant z par — z, on a

e{a-hz)9{b-hz) 9{a) 9{b) 9{z) Oja -{- b -h z) -h 9,{a) 9,{b) 9^{z) 9,(a-^b-hz] B{a-z)9{b — z) ~~ 9{a)9 (6) 9{z) 9{a-\- b — z) — 9, {a) 9, \b) 9, \z) 9,{a-hb—z) 9[a) 9{b) 9,{z) 9,{a-hb 4- z) + 9,{à) 9,[b) 9,{z) 9,{a -h b -+- z) ~ 9{a) 9{b) 9,{z) 9,(a + b - z) — 9,{aj 0.(A) ô,(z) 9,{a -h b - z) 9 [a) 9{b) 9,{z) 9,{a-^b-hz) + 9,(0) 9,{b) 9,{z) 9,{a-hb-^z) ~~ 9{a)9 {b) 9, (2) 9, [a + b — z) — 9, [a] 9, (b) 0, [z) 9,{a-hb — z)

Si l'on désigne le premier membre par N, on en déduit

S,,ji 9{z) ^9[a-hb — z) — 9{a + b + z) M^J-^W-^ ^N0.(a-+-6-zj+0,(a-+-6 + z)' l\ /J^^-^'' ^3(^) ^0z{a-^b-z)-9,la-hb^z) y^j j f^W^W- /, 9,(2) IS0,(a+6-zj + 0,(a + Z> + 2)'

f v(:r)v(b)- k'^'^'^ m.{a + b-z)-9.{a+b-^z) \ na)^[^)-' ff ^^^^^ ^Q^^^a-hb-z) + 9>{a-hb^z)

PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS ô. 501

316. Ces dernières relations permettent de résoudre une question de Calcul intégral, intéressante par son analogie avec les fonctions abéliennes [Académie des Sciences; Savants étrangers y i85i; Mémoire de Rosenhain). Les deux équations différentielles simultanées

ir^ h'l(a)l'{a)un du r e'ja) k'-k(d)V{a)^n dv

(L ^W 1 — /i'À^/i;«'J Aa L Q{a) \ — li''K\ajV' \ ùiV ^ ^*

auxquelles on joint les conditions initiales m — o, p = o, Am=: t, At' ==3 r pour a? == o et y = o, Am et ^v désignant les deux radicaux \J {\ —- u^ ) [\ — k'^ li^ ) , \J [i — v^) {\ — k^ V- ) y définissent deux fonctions m et V des deux variables indépendantes x et j. On peut les mettre sous la forme

1 TT-^ k'l{a)V{a)u'-\du rT W t(^}{ayï[{a)^dv^

Si l'on pose

Ai/'

d'où u = ) (2)» ^ = ^(^). ces équations deviennent, en vertu de la formule (21) du n** 275,

En remplaçant a, b, z par z, t, a dans les équations (i5), et remar-

quant que la quantité N devient égale à e'-^, on a

( ^^' ^ ^ "^ k B7(a) e-J^e.ix — a) -\- erd,{sc -hTTf ] . h' QAa) e-rQ^{x-a) -erQ,{x + a)

y(z)y(t] ^h'^A^ e-rB,{x-a)-erQ,{x-^a) \ ^ > ^ > Q^[a) e-r'Q,{x~a)-here,{x-ha)'

Les seconds membres de ces équations sont des fonctions monotropes des deux variables indépendantes x et j. La première donne le produit uvt la seconde donne \j[\ —-u^) (i — v^), d'où l'on déduira u^ -y-v"^. On en conclut que u^ et v^ sont les racines d'une équation du second degré

dont les coefficients P et Q sont des fonctions monotropes des deux variables x ei y. k chaque système de valeurs de x et j correspond un seul système de valeurs de lâ et v"^-, ces valeurs de u^ et de v^ se permutent, quand les variables ^ et j arrivent aux mêmes points par différents chemins.

A l'inspection des équations (20), on reconnaît que les quantités u^v"^ et u^ + V- reprennent les mêmes valeurs quand on augmente x de w, y ne changeant pas, ou jde ni, x ne changeant pas, ou simultanément

a? de 00' et j de On en conclut que les deux fonctions monotropes P

et Q reprennent les mêmes valeurs pour tous les systèmes de valeurs de X et dey compris dans les formules

„ , , . ,, o-Tzai

X + mc) h m w , y -h m -Kl -h m 5

m, m\ m" étant des nombres entiers quelconques. Ces deux fonctions admettent donc trois systèmes de périodes conjuguées :

pour X, M, pour y, o,

T-Tcai