Exemple VIL — Soit l'équation

On obtient les points critiques en résolvant l'équation

d'où

(a A -f- Ott . . (2 A -4- i)n z — cos Ti h I sm —

ces points, au nombre de six, sont les sommets d'un hexagone régulier

ayant son côté égal à l'unité, et disposé comme l'indique la figure 3i. En chacun des sommets, l'équation (i) admet une racine double et une

racine simple. La valeur de z relative à l'un des sommets et la racine double correspondante n'annulent pas la dérivée partielle 4-\ on

en conclut que les deux valeurs de u voisines l'une de l'autre se permutent lorsque z décrit une petite courbe fermée autour de ce point. A l'origine, les trois racines ont les valeurs

Imaginons que le point z s'avance, en suivant une ligne droite, de l'origine vers un des sommets, puis décrive autour de ce point une petite courbe fermée; les racines varient d'une manière continue en partant de leurs valeurs initiales; dans le voisinage du sommet, deux racines ont une diflerence très-petite et se permutent lorsque le point z décrit la courbe qui entoure ce sommet. Chercbons quelles sont les racines qui se permutent autour de chacun des points critiques.

Les racines de l'équation (1) sont données par la formule

(3) uz-.k'¥^^

dans laquelle A désigne l'une quelconque des valeurs du radical cubique

i-t-JïV

Le long du rayon sur lequel marche Zy ou a

:^r cos(2A-f-i)^ -+- isin(2AH-i)g 1

et par conséquent

z* -^ — /•• et -s* = zh /r*.

On prendra le signe + pour les valeurs o, a, 4 de h, c'est-à-dire lorsque le point z s'avance sur l'un des rayons O^o, Oa^» Oa^^ et le signe — si le point z s'avance sur les rayons Oaf , Oa,, 0^5 qui correspondent aux valeurs I, 3, 5 de A. Puisque le nombre r varie de zéro à l'unité, on peut

poser r* = siny et faire varier y de o à -•

Considérons d'abord le cas où A â l'une des valeurs o, 3, 4; Texpression de A devient

4 »/ 1-t-isino I . T-T- >/ 9 »/

A=y/ ^ — ---Vi-sin'çz..- y/cos^Y/

cos - -t- j sin - 2 a

il faudra attribuer à k successivement les trois valeurs ô, i, 2. On a en même temps

Remarquons que» quelle que soit celle des valeurs o, a, 4 que l'on attribue à hf si l'on fait 9 égal à zéro, les racines i/o» <^i» <^a correspondent

à A = o, A: = I , ^ = 2. Faisons varier 9 de zéro à -•, pour 9 = -> les

valeurs de u sont données par la formule

u fi: a/rr

^3/ TT

\ , , f n 2Ar7T\

Dans cette formule, il faut remplacer h par l'un des nombres o, 2, 4» puis k par o, i, 2. Les arguments des valeurs correspondantes des deux termes du second membre sont renfermés dans le tableau

Ar-:

o { fr— I , ^^—

A=r4 { A-^rl,

Ar — I «^^