Considérons les séries
le rayon du cercle de convergence étant infini, ces trois séries définissent des fonctions holomorphes de z dans toute Télendue du plan. On désigne ces trois fonctions par e% sin^, cosz, parce que, lorsque la variable z a une valeur réelle x, ces séries sont les développements de la fonction exponentielle e* telle qu'on la définit en Algèbre, et des deux fonctions circulaires ûtix et coso? telles qu'on les définit géométriquement. La fonction siii^ est impaire, la fonction cos:; paire.
On obtient la dérivée de chacune de ces fondions en prenant la dérivée de chaque terme de la série (n° 53), ce qui donne
Der — e\ D sin;: - cos-s, D cosz — — sins.
Ces trois fonctions se ramènent à une seule d'entre elles; car si» dans la série (i), on remplace z par zi ou par — zi^ on a
(4) «** = C0S2 -t- 1 sinz,
(5) e-*'=::COS^ — - isxnz;
d*où Ton déduit
(6) COSZ-- 5
(n) sinz = ;
Les deux fonctions sinz et C0S2; sont ramenées ainsi à la fonction exponentielle e^.
[1 résulte aussi de la relation (4) que toute quantité imaginaire z = r(cos9 -h I sinô) peut être mise sous la forme très-simple z = re^', r étant le module de cette quantité, 0 l'un de ses arguments.
56. La propriété fondamentale de la fonction exponentielle consiste dans la relation
Pour la démontrer, appelons !„, l'„f l'„ les sommes des n premiers termes des séries qui définissent les trois fonctions e*, e*\ e'^*', savoir :
mt mil y'n — l
2! " IH ! ^ --r,- -f- -î -^ •
Désignons par r et r' les modules de z et de z\ et appelons de même S„, S'„, ^\ les sommes des n premiers termes des séries qui représentent les fonctions réelles ^, e^, é'^^ , savoir :
Sn I ~T h h ... H ; :>
90 LIVRE n. — CHAPITRE H.
Considérons, en outre, la somme des 2/1 — 1 premiers termes de la dernière série
1 1.2 1 .2. . [in — a)
Concevons que Ton ait eiTectué le produit des deux polynômes S;, et S]. , et que Ton ait développé les binômes dans les sommes S^ et S'„.; nous remarquons que tous les termes de ?>\ se trouvent dans le produit Sn X S'„ , et que tous les termes de ce produit se trouvent dans S^„,; on a donc
s;<s,xs:<s:,.;
mais, quand n augmente indéfiniment, les deux sommes ?>\ , S^.. tendent vers la même limite c^"^''. Il en résulte que la diflerence S/, X S'„ — S^ , qui est plus petite que S^„., — S^ , a pour limite zéro. Concevons de même que Ton ait effectué le produit des deux sommes 2a et 2|, et développé les binômes dans la somme 1\\ le produit contient tous les termes de 1"^ avec d'autres quantités; les termes de la différence In x 1\ — 2^ ayant pour modules les termes correspondants de la diflerence S„ x S'„ — SJi , on a
mod (2, X 2;. - K) < s„ X s: - s;,
et par suite
lim. mod(2„ x 2'„— 2^;) — o,
ou
Iim(2«x2'jz=lim2:,
c'est-à-dire
57. La fonction e^ est périodique. On a, en efl*et, d'après le théorème précédent,
(9) «*♦■«' ^e' ;<e^' ■-- e*(cos27: -h isin27r) —e-";
la période est 2ni.
En vertu des relations (6) et (7), les fonctions sinz et cos5 sont aussi périodiques; la période est 27r.
On a de même
(lo) e^"^ .--: e'Xe'^'r- e'icosi: -4- 1 sin?:) -—e*,
et par suite
(il) sin{z -\- t:) -- — sin;;, cos{z -h r) -- — cosz,
A l'aide des relations précédentes, on généralise aisément les relations
(12) sinl ~ — 2 j- C0S2,
.i3) sin^:; -f- cos'z ri,
(14) sin(s -• z' )..- sin z ces;;' -4- cosz sinz',
(i5) .cos(2 : 2') - cosz cosz'— sin-ssin-s',
qui ont été établies en Trigonométrie pour les arcs réels. On dé6nit la fonction méromorphe tangjs en posant
, ^, sinz
(10) langz :
° cosz
cette fonction est périodique, et admet la période tz.
Les tables ordinaires de logarithmes de sinus et de cosinus permettent de calculer les valeurs des fonctions précédentes pour une valeur imaginaire x -h yi attribuée à la variable z. On a d'abord
^+jri - ^^jri e'(cosj^ -f- 1 sin^);
c'est une quantité imaginaire ayant pour module e' et pour argument j". On a ensuite
. . . . e-^ -;- e-J^ . e-^ — e~/ . cos( j: -r-ri) cosx cosyt — s\nx sinji .- — ^ cosx — / siii x,
sin ( X -f- ^7 ) sin x cosyi -i- cosx sin ji :- - - - — • sin x -r- i cosx.
58. Voici comment on peut se représenter la périodicité de la fonction e*. Sur l'axe oy {^g. 34), portons de part et d'autre de l'origine des longueurs égales à arr, et, par les points de division o, Ot, 02...,, o., ,
0.0,..., menons des droites parallèles dans une direction arbitraire,
92 UVKE n. - CHAPITRE II.
autre que oy\ ces parallèles diviseront le plan en bandes égales; aux points homologues m|, m^^ /713,..., 7w, , m^j,... de ces différentes
ro-, .»» •
bandes, c'est-à-dire aux points représentés par la formule z + :i/i:ri, n étant un nombre entier quelconque, la fonction reprend la même valeur.
Dans chaque bande, la fonction
passe par toutes les valeurs possibles, et une fois seulement par chacune d'elles; car son module e^ varie de zéro k TinGni, et, quand x reste constant, son argument y varie de y^ à y©-»- 2^- Quand la variable z s'éloigne indéfiniment dans une bande du côté des x positifs ou du côté opposé, le module de la fonction devient infini ou tend vers zéro. Pour figurer la périodicité des fonctions coss et sins, on portera sur l'axe oa;des longueurs égales à 27;, et par les points de division on mènera des droites parallèles dans une direction arbitraire autre que ox. Dans chaque bande, les fonctions passent par toutes les valeurs possibles et deux fois par chacune d'elles. Si Ton veut en effet que la fonction cosz ait une valeur donnée 1/, on posera
d'où
p"' — ?, ue'^ -f- 1 - - o , p" r : wii: y M' — I ;
fonction tangjz devient nulle aux points :; ^ nn, infinie aux points
z =rz : H- nn; il y a une racine et un pôle dans chaque bande. Quand la
variable z s'éloigne indéfiniment dans une bande, du côté des j^ positifs ou du côté opposé, la fonction u tend vers 4- i ou vers — i.
59. Pour étudier la variation d*une fonction, quand la variable z est très-grande, on pose :; — ^; et Pon donne à z' des valeurs voisines de zéro (n" t7). Si Ton fait z' :- x' y'i = r'e^''\ on a
Lorsque la nouvelle variable z' se rapproche du point js' = o, le module de la fonction devient nul, infini ou égal à Tunité, suivant que cos$' a une valeur négative, positive, ou nulle; l'argument augmente à rinfmi en valeur absolue, excepté quand la valeur de sin5' est nulle. Le point :;' = o est un point singulier d'une espèce particulière; la fonction e", quoique monotropc dans le voisinage, acquiert en ce point des valeurs différentes, suivant le chemin suivi pour y arriver. Nous dirons que ce point est un point A' indétermination. Ainsi la fonction e* est holomorphe sur toute la sphère, excepté au point 0', qui est un point d'indétermination.
On a de même
/ kifiA' iro*^ KinO' ieos6'\
COSZ - - \e~'^ e '"' -f- e ' '"' e '' /,
sin z —\f- '' (^ '' • e ' e, '' ).
Lorsque la variable z' se rapproche du point z' -= o, le module de cosz et celui de sin;: deviennent infinis, excepté quand sin^' a une valeur nulle; dans ce cas, on a
C0S2 cos ,) sm;; sin-^^
et la valeur de la fonction, comprise entre — i et -f- i, est indéterminée. Le point 0' est encore un point d'indétermination. Ainsi les
m LIVRE II. - CHAPITRE U.
buant k Targument 6 la valeur initiale d = o, el que l'on adopte la déterminatiou
(i8) M~ loga r=zLr4- ôi;
si le point z se meut d'une manière continue dans le plan, sans passer par le point z = o, r et d variant d'une manière continue, nous aurons une fonction parlant de la valeur initiale u = o ei variant d'une manière continue.
La fonction devient infinie au point z = o. Lorsque la variable z décrit un cercle autour de ce point, dans le sens positif, son argument 6 augmente de 2n, et la fonction augmente de 2i:i; ainsi, quand la variable z fait une infinité de révolutions autour du point z == o, la fonction logz acquiert une infinité de valeurs différentes, qui sont données par la formule (17). Le point :; = o est ici un point critique différent de ceux que nous avons rencontrés dans l'étude des fonctions algébriques; nous Ysipi^eWerons point critiqué logarithmique.
Quelle que soit la détermination que l'on prenne, la fonction \ogz admet une dérivée; car, si l'on considère la fonction directe z = e'\ on
Az sait que le rapport ^ tend vers une limite égale à e"; le rapport inverse tend donc vers une limite égale à — > c'est-à-dire a -• On conclut
de là que \ogz est une fonction holomorphe de z dans toute partie du plan ne comprenant pas le point critique z = o. Nous remarquons en outre que la dérivée est la même pour toutes les déterminations de la fonction.
Si l'on pose z = -p on a
u . - logz',
et le point z' = o est un point critique de même nature que le précédent. Sur lu sphère, la fonction logz admet donc les deux points critiques logarithmiques 0 et 0'.
Ce que nous avons dit de la fonction logz s'applique à la fonction \og{z — a). Le premier point critique est ici z = a. La quantité z — a étant figurée par le point z, quand on transporte les axes parallèlement à eux-mêmes au point a, à chaque tour décrit par le point z au-
FONCTIONS EXPONENTIELLES ET CIRCULAmES. 97
tour du point a dans le sens positif, la fonction augmente de ini. Sur la sphère, le point 0' est aussi un point critique.
De la relation e" x e"' = e"^"', on déduit la propriété fondamentale des logarithmes
l0g(Z2') =1 log5 -\- log2'.
Im fonction arc tangz.
