Remarque /. — La série
est divergente en chaque point de la circonférence du cercle de convergence. Cependant, si le point intérieur z s'approche d'un point de cette circonférence autre que le point x; = i, la somme S* qui est égale
à ■ __ ^» tend vers une limite parfaitement déterminée.
Remarque IL — Supposons que la série Uq-\- m^js -h Mj^'^-. . . soit convergente en un point z^ de la circonférence du cercle de convergence, et appelons A la somme en ce point; Abel a fait voir que, lorsque le point z se rapproche du point z^ suivant le rayon Ojsi, la somme variable S tend vers une limite égale à A.
On peut représenter, en cfTet, les valeurs de z, pour les divers points du rayon Oz^, par la formule z = Çz^, Ç étant une quantité réelle qui varie de o k i. Si Ton représente en même temps par a^ le produit UnZ^f on aura
et
\ 77= a^ -h ai -h aj -^ . . -f- û» -4- . . . .
Appelons (7„ la somme des n -h i premiers termes de cette dernière série, le terme a„ sera égal à (7^ — (J„^n et Ton pourra exprimer la somme S de la manière suivante :
£", e""*"',... désignant les différences entre les sommes (?«> c^-n ••• et A; nous représenterons le nombre positif i — Ç par j3. On peut supposer n assez grand pour que le plus grand des modules des quantités e„^
É/i^-n-- soit moindre qu'un nombre donné quelconque -•, le module de
sera alors moindre que-Ç", et par suite moindre que -• Le module de
est plus petit que /ijSM, M étant le plus grand des modules des sommes ^0» ^^it . . ., Ofii <7«+i». • .; la somme
est égale à AÇ" ou à A(i — [i^. Considérons la différence
on a (i — /3)" > I — /ij3, la quantité [i — (i — jS)"] est donc un nombre positif moindre que /i/3, et le module de A(i — jS)** — A est plus petit que /^jSAo, Aq désignant le module de A. Il résulte de ce qui précède que le module de la diflérence A — S est moindre que
nl3(A.-^M)-^^,
et par conséquent moindre que a, pour toute valeur de /3 plus petite que - rr^ — ïtt- Ainsi la somme variable S a pour limite A. La démonstration précédente est de Lejcune-Dirichlet.
