On désigne sous ce nom les fonctions réelles

sinhoT- y cosha;-: — -?

a première impaire, la seconde paire, et qui satisfont à la relation

cosh'^ — sinh'x — i .

Voici d'où viennent ces dénominations : le sinus et le cosinus ordinaires sont les longueurs MP et OP [fig- 36), la variable x désignant

Fig. 36.

Tare AM dans le cercle dont le rayon est égal à i , ou le double de Taire du secteur AOM. Il est facile de voir que, si au cercle on substitue une hyperbole équilatère ayant son demi-axe Iransverse OA [fig- 3;) égal

f«îî- ^7-

à Tunité, et si Ton appelle x le double de Taire du secteur AOM, les longueurs iMP etOP représentent le sinus et le cosinus hyperboliques. Ces deux fonctions jouissent des propriétés fondamentales

sinh(a-hé) - sinh^coshfr -f- sini)/> cosha, cosh(rt -f-é) cosh^fcoslifr 4- sinhrtcoshft.

On a construit des tables de ces fonctions; elles servent k trouver les valeurs de sinz et de cosr., lorsque :; est imaginaire; car on a (n® 56)

cos^v : cosh >*, sinW - - / sinhr, cos(:r H- ri) - cosx cosh> — / sin.r sinh>\ sinf.r -i- W)"— siux cosh r -h /cosjrsinh>\

65. Remarque, — La fonction u -- cosz donne naissance à un système

de lignes ortliogonales bien connu. Si l'on pose z = x-\-YÎf m = Xh-Yi, on a

d'où