X -- cosj: cosh/, Y ■-- — sin j: sinhj

En éliminant successivement jc et y, on obtient les courbes

rosh'^' sinh^r

qui correspondent, les premières aux droites parallèles k l'axe des x, les secondes aux droites parallèles à Taxe des j; ce sont des ellipses et des hyperboles homofocales.

La fonction u — tangz donne naissance à un autre système de lignes orthogonales. On a, en eflet, dans ce cas,

-, sin^j- ^ sinhar

cosa.r -i- coshar * ~ cos^^r -h coshav

En éliminant successivement y et a?, on obtient les deux séries de lignes orthogonales

\' Y* -:- 2X COlaar — I :: O,

\2 .. Y- - - aY roih2)'-i i : o.

Les premières sont des cercles passant par deux points fixes, les secondes des cercles ayant pour axe radical commun la perpendiculaire a la droite qui joint les deux points fixes en son milieu. Chacun de ces seconds cercles est le lieu du point dont le rapport des distances aux deux points fixes est constant et égal à une quantité dépendant de la valeur de v.

106 LIVRE n. — CHAPîrKE m.

gente. Ainsi, lorsque la partie réelle a! de la constante a est négative, la série Qst convergente quelle que soit z\ cette série définit donc une fonction de z finie et monotrope dans toute l'étendue du plan. Nous la désignerons par 6(2), et nous écrirons

Séries à double entrée.

67. Pour démontrer que la fonction 0(2) est continue et admet une dérivée» nous nous servirons d'une propriété générale des séries k doDbte entrée. On dit qu'une série h double entrée est convergente lorsque la somme des termes enveloppés par une courbe de forme quelconque tend vers une limite déterminée, quand cette courbe s'étend à l'infini dans tous les sens.

Lemme I. — Lorsqu'une série à double entrée, à termes réels et positifs^ est convergente pour une première suite de courbes qui s* étendent à V infini dans tous les sens, elle l'est aussi pour une autre suite de courbes, ei la limite est la même.

Une série à double entrée est représentée par \^ fig^ 38. Soient Cot C|, C2,... une première suite de courbes fermées s'étendant^à l'infini dans tous les sens, c'est-à-dire telles que l'on puisse prendre n asftez grand pour que la courbe C^ et chacune des suivantes C„^.|, C,r+2,... soient extérieures à un cercle décrit de l'origine comme centre avec un rayon donné; appelons S^ la somme des termes enveloppés par la courbe G;,; nous supposons que, lorsque n augmente indéfiniment, la somme S;, tend vers une limite S. Soient Cq , G'^ , G, * • . • une seconda suite de courbes fermées s'étendant aussi à l'infini dans tous les sens, et désignons par S'„. la somme des termes enveloppés par la courbe C^. Une courbe G;, de la première suite étant donnée, traçons une courbe G^ de la seconde suite enveloppant la courbe C;,, puis une nouvelle courbe G^,+,, de la première suite enveloppant G^.; on a

la seconde C fermée. Nous supposons d'abord que la somme des termes enveloppés par la courbe G^t 6t des arcs arbitraires tend vers une limite S;,, quand ces arcs s'éloignent à l'infini; nous supposons ensuite que la*somme S^ tend vers une limite S, quand n augmente à l'infini. Une courbe C^. étant donnée, traçons une ligne C^ extérieure à cette courbe; la somme S^., étant plus petite que S;„ et par conséquent que S, tend vers une limite S' quand n' augmente à l'infini. D'après ce que nous avons dit dans le cas précédent, les deux limites S et S' sont les mêmes.

Enfin, si la courbe C était ouverte comme la courbe G, on prendrait une courbe fermée auxiliaire C'\ En vertu de ce qui précède, la somme S',, tend vers la même limite que la somme S,„, et la somme S^. vers la même limite que la somme S^.. Donc la somme S^. tend vers la même limite que S;„.

GoROLLAiRE. — On évaluc ordinairement la somme des termes du tableau, soit par lignes horizontales, soit par colonnes verticales. Supposons que chaque ligne horizontale forme une série convergente; désignons par Sq, Si, S29 . . . , 5,, 5.j, ... les sommes de ces séries linéaires; supposons de plus que la série

formée avec ces différentes sommes, soit convergente; en vertu du théorème précédent, le tableau sera convergent, et l'on obtiendra la même somme si on l'évalue par colonnes verticales. Chaque colonne verticale formera d'abord une série convergente, et si l'on appelle s'^^ ,5^,5!,,..., v ,5 si^, ... les sommes de ces nouvelles séries linéaires, la série

{2) ... -1- s',-\- -si,-!- *'• -f *'i ^- *2 -r-- • •

sera aussi convergente et aura même somme que la série (i).

68. Lemmë II. — LorsqiCune série à double entrée a tous ses termes positifs et inférieurs ou égaux à ceux d'une autre série à termes positifs que l'on sait être convergente^ la série proposée est aussi convergente.

Soient S^ la somme des termes du premier tableau enveloppés par une courbe G;,, S), celle des termes enveloppés par la même courbe dans le second tableau; la somme S„ est plus petite que la somme S'„ , et par

dans lesquelles la quantité^ a un module inférieur k i, représentant un même tableau» évalué par lignes horizontales ou par colonnes veriicalas» ont la même somme.

On a de même

Q afl' 3<ï* g q^ Q* '

- — 0; — ^^ — r:-i it/ r» arclangv'^ arclang^^M arcUngvV— • •

69. Théorème II. -- La fonction Q{z) est holomorphe dans ioute V étendue du plan.

Nous avons défini la fonction 8(j;;) par la série

Si Ton remplace chaque exponentielle e^^ par la séria linéaire qu'elle représente, on a une série à double entrée

25 ,, îi-J» ,

ft I .3