On appelle quantité imaginaire une expression de la forme
X -{- ysj— I , dans laquelle œ et y sont des quantités réelles, positives ou négatives.. Pour simplifier Técrilure, irons représenterons le symbole V— I par la lettre i.
En désignant par r un nombre positif et par 0 un angle, on peut poser jc =. rcosS, j= rsinô, et la quantité imaginaire se met sous la forme r(cos5 -î- «sinô). Le nombre positif r est le module, Tangle 0 V argument de la quantité imaginaire. Le module d'une quantité imaginaire est parfaitement déterminé; mais l'argument admet une infinité de valeurs formant une progression arithmétique, dont la raison est 2n.
Si dans un plan on trace deux droites rectangulaires Ox et Oj {Jîg. i), on peut figurer la quantité imaginaire x ^- ji par le point js, dont les coordonnées sont x et j. Le module r est la longueur de la droite Oz qui joint l'origine au point r, l'argument 0 est Tanglc que fait cette
droite avec Taxe fixe Ox, angle positif ou négatif, suivant qu'une droite, partant de la position initiale Ox, le décrit en tournant de Occ vers Oj, ou en sens inverse.
On dit qu'une quantité imaginaire z = x -^-yi varie d'une manière continue, lorsque les deux quantités réelles x et y varient d'une manière continue. Cette variation est figurée par la courbe que décrit le
Fij. I
points. Le module varie d'une manière continue et aussi chacun des arguments. H y a exception toutefois lorsque la quantité s'annule, c'est-à-dire lorsque la courbe passe par l'origine; dans ce cas, l'argument éprouve une variation brusque égale à ti, si la branche de courbe décrite par le point z admet une tangente unique au point 0.
Fonctions d'une variable imaginaire.
2. Lorsque deux variables imaginaires zetu sont liées entre elles de telle sorte que la variation de l'une entraine celle de l'autre, on dit que les deux quantités sont /onctions l'une de l'autre. On dira, par exemple, que u est fonction de js, et l'on indiquera cette dépendance par la notation habituelle u = /{z).
Lorsque la quantité u varie d'une manière continue, quand le point z se meut dans une certaine partie du plan, on dit que la fonction est continue dans cette partie du plan. Si l'on représente la fonction, comme la variable, par un point u situé dans le même plan ou dans un plan différent, quand le point z décrit une ligne, le point u décrit une ligne correspondante.
DÉFINITTONS.
Dén\^ée.
3. Soient z et z' deux points voisins situés dans la partie du plan considérée; lorsque le rapport
tend vers une même limite, quand le point jz' se rapproche indéfiniment du point z, d'une manière quelconque, cette limite s'appelle la dérwée de la fonction; nous la représenterons, suivant l'usage, par la notation/'(;s).
Dans tout ce qui suit, nous ne nous occuperons que des fonctions qui admettent une dérivée. A cette propriété correspond une propriété géométrique remarquable.
Si l'on pose
/'(2)z=:fl(cosaH-i sina),
2'— z = p(cos0 -f-/sin0), on a
rzr^ ^ ^^^'Ijy^ =r{z) -f. e = (a + e') [cos(a -f- e") 4- 1 sin {« -f- e^^)],
la quantité imaginaire £ tendant vers zéro, ainsi que les deux quantités réelles e', e", quand le point z' se rapproche du point z. On en déduit
h' —u=p[a-V' e')[cos((?-f-a-f e") -♦- i sin(9 -f- a -h e")];
le module de u' — u est p(« H- e'), son argument 0 -^ a-h i". Supposons que le point z' décrive une courbe tz^ [fig* ^) ayant une tangente %a^ au point z\ quand le point z' se rapproche du point z, l'argument Q de z' — z tend vers une limite 9< qui est l'angle de la tangente za^ avec l'axe ox\ l'argument de u'— u tendant vers la limite 6, + a, on en conclut que le point u' décrit une courbe uu^ , ayant une tangente ub^ , dont la direction est définie par l'angle Q^ + a. Concevons maintenant que le point z^ décrive successivement denx
courbes zz^ , zz,» ayant des tangentes za^ » za,, dont les arguments sont d,
Ci 62; le point u' décrira deux courbes uut , UU2, ayant des tangentes ubt , wfta» dont les arguments sont 6< -H a, 02-+- oc] l'angle ft^wéa est égal k 62— Oi, et par conséquent à Tangle a< zaa. Ainsi, lorsqu'une fonction u =f[z\ admet une dérivée» les courbes décrites par le point u se
Fig. a.
coupent sous les mêmes angles que celles qui sont décrites par le point z. Ceci suppose toutefois qu'au point z la dérivée n'est pas nulle.
4. Il résulte de là qu'une fonction ayant une dérivée donne un mode de transformation des figures planes dans lequel les angles sont conservés. Pour en montrer un exemple bien simple» considérons la fonction u = -•
z Si l'on pose
z=: r(cos0-f- isinG),
on a
u TT. -(cosO — I sin9).
Quand le point z' décrit le prolongement zl {fig. 3) du rayon vecteur, le point u' décrit la droite uO, en se rapprochant de l'origine; à la courbe zz^ correspond la courbe ua^^ et l'angle h^uÇ^ est égal à a^ zl. Faisons tourner la seconde figure autour de Taxe Orr; le point u s'applique en m sur le rayon vecteur Oz, et la courbe ua^ prend la position
m/i; les tangentes za,» me aux courbes zz^, mn font des angles égaux avec le rayon vecteur; c'est la transformation par rayons vecteurs réciproques.
5. Concevons que le point z décrive deux séries de lignes orthogonales, par exemple deux séries de droites, parallèles, les unes à l'axe Oor,
Fig. 3.
les autres k l'axe O7; le point u décrira aussi deux séries de lignes orthogonales. Ainsi toute fonction qui admet une dérivée transforme un système de lignes orthogonales en un autre. Considérons, par exemple, la fonction a = 5'; si l'on pose
z:=r(cos9-+- 1 sinfl), wr=r'(cose'-f- 1 sinfl';, on a
aux droites
rsinfli^ft, rcos0 = a,
respectivement parallèles à Oj? et à 0^, correspondent les paraboles homofocales
I— cos6' 14-C0S6'
Autre méthode.
6. Nous allons envisager la question à un point de vue un peu différent. Posons
a = X-+-Yi,
X et Y étant des fonctions réelles de deux variables réelles et indépendantes X et y. Laissant y constant, faisons varier x; nous aurons
Az := Aar,
et
Aw AX .AY^
Az ~" àx àx'
si le rapport -r— tend vers une limite, les rapports -— > -r— tendent res-
pectivement vers des limites déterminées. On en conclut que les deux fonctions réelles X et Y admettent des dérivées partielles par rapport à X.
Laissant x constant, faisons maintenant varier j; nous aurons
Az = I Aj, et par suite
Aw£/AX ^.AY\ AY ^.AX,
on en conclut de môme que les fonctions réelles X et Y admettent des dérivées partielles par rapport à y.
Si le rapport ^ a dans les deux cas la même limite /'(z), on a la
relation
d\ ,dY âY .âX Ox ox Oy uy
qui équivaut aux deux suivantes
dH dY dy. dY
^ ' ox oy uy ox
Ces relations indiquent que les expressions
Yrfx-hXrfr, Hdx^Ydy
sont des différentielles exactes par rapport aux variables x et j.
7. Réciproquement, lorsque deux fonctions réelles et continues X et Y de deux variables indépendantes x eiy ont des dérivées partielles satisfaisant aux relations (i), l'expression u = X -f- Yi peut être considérée comme une fonction de la variable imaginaire z = x ~\- yi^ admettant une dérivée.
Considérons» en effet, un point quelconque jz, et par ce point faisons passer une courbe zz^ telle que les valeurs de z soient représentées le long de cette courbe par la formule
dans laquelle les fonctions réelles (p(/), ^[t) de la variable réelle / admettent des dérivées <p'(/), '^(0- On aura, le long de cette courbe»
rfX â\ dx d\ dy* 'dT "^ ~dx 'di '^ ~ôy 'ii^
dY âY dx ÔY dr al dx dt dy dt
d'où
du d\ .d\ l'dXdx ^ f/r\ l'^dx àY <Ix\ 1i~ dt "^' dt ~\dx dt "•■ dy dtj'^''\dx dt '^ dy dt)'
et, eu vertu des relations (i),
du(d\ .àY\/dx .dr\ Tt~ \^'^* dx)\dt ^^Ttj'
On en déduit
£ s'évanouissant avec Af. Gomme on a
£« étant aussi une quantité infiniment petite» il en résulte
Am /^ .âY\ i-f e
A 2 \0x Ox ) \ -\- ix
La fonction admet donc une dérivée -r— + i-r-^ indépendante de la
âx ax ^
direction de la tangente à la courbe zz^ au point z.
8. Nous démontrerons plus loin que la fonction /^(z) a aussi une dérivée; il en résulte que les fonctions réelles X et Y admettent des dérivées partielles du second ordre par rapport aux deux variables x et y\ d'après les relations (i), ces dérivées partielles satisfont aux
équations
dx^ dy^ * dx^ dy^
Ainsi toute fonction u = f[z), ayant une dérivée, fournit deux solutions particulières de l'équation aux dérivées partielles du second ordre
ox^ ay^
Il résulte de là que si l'on veut, à l'aide de deux fonctions réelles X et Y des deux variables réelles et indépendantes a? et j^, composer une fonction a = X -i- Yt de la variable imaginaire z = x-\- yi admettant une dérivée, on ne pourra prendre arbitrairement aucune de ces deux fonctions.
9. Nous avons figuré la variable imaginaire z par le mouvement dans un plan d'un point dont les coordonnées sont x t\.y. Concevons que, sur la perpendiculaire au plan en ce point, on porte des longueurs respectivement égales à X et à Y, nous aurons deux surfaces dont l'ensemble représentera la fonction u. Les relations (i) signifient que, si l'on fait tourner d'un angle droit l'une des surfaces autour d'une perpendiculaire au plan xQy^ les plans tangents aux deux surfaces aux points situés sur cette perpendiculaire deviennent parallèles. En effet, la normale à la surface X fait avec les axes des angles dont les cosinus sont proportionnels à
dx^ dy^ '
après la rotation d'un angle droit de Oo? vers Oj, cette normale fait avec
les axes des angles dont les cosinus sont proportionnels à
dX â\ __ djr^ dx '
ou, en vertu des relations (i), à
dY ô\
X dy
elle est alors parallèle à la normale à la seconde surface.
10. Voici quelques autres propriétés des surfaces X et Y qu'il est bon de remarquer :
Si l'on pose
"5Ï"""''' "5^"^^' dx ~^^' dxdy-^^' 'à^'^ '
— „' rJL — n' -— - — r' -- ■ ■ — «' — //
ou a
et par suite
Le rayon de courbure R d'une section normale à la surface X est donné par la formule
r cos'a 4- / cos^p -h 25 cosa cos(5 /'(cos^a — cos'(3) -f- 25 cosa oos^'
a, |B, 7 étant les angles que fait avec les axes des coordonnées la tangente à la section normale considérée. L'indicatrice de la surface X a pour projection sur le plan xOy Tbyperbole équilatëre
rapportée à son centre. L'indicatrice de la surface Y a de même pour projection l'hyperbole équilatère
OU
Si Ton fait tourner cette seconde hyperbole de 45 degrés autour de son centre, elle coïncide avec la première. Ainsi, les projections sur le plan xOy des indicatrices des deux surfaces conjuguées aux points homologues sont des hyperboles équilatères égales, et les asymptotes de Tune coïncident avec les axes de l'autre.
Les rayons de courbure principaux de la surface X sont donnés par l'équation du second degré
qui se réduit k
(rM 5»)R'— v/i 4-/;M-</^ [(/>'-- q^)r-\- '^pqs] R- (1 -h p*-\- </»)' o;
ceux de la surface Y par l'équation
(r»-f-5»)R»— )/'i~'^p^'^^^[(p^—q^)s— 2pqr]R — {i -h/?M qf')» = o.
On voit que le produit des rayons de courbure principaux est le même dans les deux surfaces, et par conséquent que les deux surfaces ont la même courbure aux points homologues.
Fonctions monotropes.
11. Supposons que le point z soit astreint à rester dans une partie du plan déterminée; si tous les chemins qui vont du point initial z^ à
Fig. .'|.
un point quelconque z [fig. l\) situé dans cette partie du plan conduisent à la même valeur de la fonction, nous dirons que la fonction est monotrope dans cette partie du plan.
DÉFINITIONS. a
Il est évident que, si le point mobile décrit une courbe fermée située dans la partie du plan considérée, la fonction reprend sa valeur primitive.
Réciproquement, lorsque la fonction jouit de cette propriété, elle est monotrope. Considérons, en effet, les deux chemins z^az^ z^bz, qui vont du point z^ au point z; soit Uo la valeur initiale de la fonction, u la valeur qu'elle acquiert quand on suit le chemin Zoaz; en continuant suivant zbz^, on ramène la valeur initiale i/o« si maintenant on rétrograde suivant z^bz, la fonction repassera par la même valeur en chaque point, et par conséquent elle acquerra en z la valeur u obtenue précédemment.
Une fonction entière, plus généralement une fonction rationnelle, n'ayant qu'une valeur pour chaque valeur de js, est monotrope dans une partie du plan limitée par une courbe quelconque. Nous dirons pour abréger que, dans ce cas, la fonction est monotrope dans toute l'étendue du plan.
Exemples de fonctions polytropes, 12. Considérons d'abord la fonction
u = ^(z — at)(z — «a). . .(s — a«) .
Marquons dans le plan les points a,, a^, . . . , a;, {Jig. 5) ; si l'on prend pour origine successivement chacun de ces points, en conservant la
Fig. 5.
direction des axes, le même point représentera, par rapport à ces différents systèmes d'axes, les binômes z — a,, s — a^, . . . , s — a„.
12 LÏVRE I. - CHAPITRE I.
Posons
z — a^ =r r, ( cos 9, -4- /sinô,), z — a, =:/',( cos 0,4- isinô,),
z — a„Tz= r„(cosO^-h i s\n9„);
on a
Lorsque le point z décrit une courbe fermée ne comprenant aucun des points a, , as, ... , a„, les arguments 9< , 62, . . . , 9« reprennent leurs valeurs primitives, et par conséquent la fonction u revient à la même valeur. On en conclut que la fonction est monotrope dans toute partie du plan ne comprenant aucun des points a,» as, ... , a„^ que nous appellerons j9om/^ critiques.
13. Supposons maintenant que le point z décrive une courbe fermée comprenant un point critique a, {Jig. 6), dans un sens tel (pour la disposition adoptée des axes) qu'un observateur, en décrivant le contour, ait constamment a sa gauche Taire enveloppée par la courbe, et doréna-
Fîg. 7.
vant nous appellerons le sens de ce mou\emont sens positif; les arguments C2, 5,, . . . , 5„ reprennent leurs valeurs primitives, mais 9, augmente de 27;; l'argument de u augmente donc de n, et par conséquent la fonction change de signe.
Considérons deux chemins jZo^^» z^bz {Jig. 7), allant du point Zq au point z et comprenant un seul point critique a|. Soit Uq la valeur ini-
DÉFINITIONS. rj
tiale de la fonctioD au point z^^, u la valeur que Ton obtient au points, quand on suit le chemin Zf^az\ si Ton continue suivant zbz^^ d'après ce que nous venons de dire, la fonction change de signe et acquiert en Zq la valeur — Uq. En rétrogradant suivant z^bz avec la valeur initiale — Uo» 1^ fonction repasse par les mêmes valeurs et reprend en z la valeur u obtenue précédemment. Si maintenant l'on décrit le chemin j3o hz avec la valeur initiale + u^^ le signe du radical étant changé, la fonction acquiert en z la valeur — u. Ainsi, les deux chemins z^az^ Zobz, décrits avec la même valeur initiale u^^ conduisent au point z à deux valeurs de la fonction égales et de signes contraires, et par conséquent la fonction cesse d'être monotrope.
