Considérons en second lieu la fonction

P* P} Pz

dans laquelle les exposants sont des fractions irréductibles. En adoptant les mêmes notations que précédemment, on a

Lorsque le point z décrit une courbe fermée ne comprenant aucun des points ai, a,, ... , a^, la fonction revient à sa valeur primitive. Elle est donc monotrope dans toute partie du plan ne comprenant aucun des points critiques a,, a^, . . . » a^,.

Supposons maintenant que le point z parte du point x^o* 1^ fonction ayant la valeur initiale u^, et décrive, dans le sens indiqué, une courbe fermée comprenant le point critique a, ; les arguments S^, 5», . . . reprenant leurs valeurs primitives et Q^ augmentant de 27;, il en résulte que

l'argument de u augmente de -^^-^] la valeur de la fonction est donc multipliée par la quantité

I, — cos "^ h I sm -^ — »

qui est une racine primitive de l'équation binôme ar^i = i. Un second

U LIVRE I. — CHAPTTRE I.

lour donnera Wo/i x j\ = UqJ\\ un troisième u^j], etc. La fonction prend donc au même point Zq les q^ valeurs

un nouveau tour ramènerait la valeur initiale u^^.

Si Ton tourne ensuite autour du second point critique a, avec Tune des Çt valeurs précédentes prise comme valeur initiale, on obtiendra q^ valeurs différentes. La forme des valeurs ainsi obtenues est

•m. «Wj

si les nombres q^ et q^ sont premiers entre eux, la fonction acquiert de la sorte qi ^2 valeurs, et ainsi de suite.

Lorsqu'une fonction, qui a une valeur initiale bien déterminée, acquiert ainsi plusieurs valeurs pour une même valeur de s, suivant les chemins décrits par cette variable, nous dirons que la fonction est polytrope.

La définition que nous venons de donner de la fonction u= z" s'étend au cas où l'exposant a est un nombre incommensurable, positif ou négatif. Si l'on pose

z=z r{cos0-+- isinô),

on a

a =zr z' = r"(cos<29 -\- sinad).

Mais ici, lorsque la variable z tourne autour du point critique x; = o, la fonction acquiert une infinité de valeurs différentes ayant même module et dont les arguments forment une progression arithmétique dont la raison est 2 an.

Fondions holomorpkes .

15. Lorsqu'une fonction est continue, monotrope, et a une dérivée, quand la variable se meut dans une certaine partie du plan, nous dirons qu'elle est holomorpke dans cette partie du plan. Nous indiquons par cette dénomination qu'elle est semblable aux fonctions entières qui jouissent de ces propriétés dans toute l'étendue du plan.

Les valeurs de la variable pour lesquelles la fonction devient nulle sont les racines ou les zéros de la fonction.

inctre 00', et nous conviendrons de compter les angles positifs dans un sens tel, qu'un observateur placé sur l'un ou l'autre plan, les pieds en 0 ou en 0', et la tête en dehors de la sphère, voie le rayon vecteur tourner

de droite à gauche. De cette manière, les deux droites Oz, O's', qui sont contenues dans un même plan méridien, ont des arguments o^Ow, x'O'z' dont la somme est égale à 21:. D'ailleurs le produit des rayons vecteurs Os, O'z' est égal à l'unité; on a donc

zz' .- - I .

A une courbe décrite par la variable z dans le premier plan tangent correspond une courbe décrite par la variable z' dans le second plan tangent; mais ces deux courbes peuvent être remplacées par une seule, celle que décrit le point Z sur la sphère. Quand le point z décrit dans le premier plan, et dans le sens positif (n" 13), une courbe fermée ne comprenant pas l'origine 0, le point z' décrit dans le second plan, et aussi dans le sens positif, une courbe fermée ne comprenant pas l'origine 0'; a la partie du premier plan intérieure k la première courbe correspond la partie du second plan intérieure à la seconde courbe. Mais lorsque la première courbe, que nous supposons toujours décrite dans le sens positif, comprend l'origine 0, la seconde, qui comprend aussi l'origine 0', est décrite dans le sens négatif par un observateur dont la tête

est tournée vers N'; à la partie du premier plan extérieure à la première courbe correspond la partie du second plan intérieure à la seconde courbe, et vice versa. Si le rayon vecteur de chacun des points de la première courbe augmente indéfiniment, celui de la seconde tend vers zéro; de sorte que l'étude de la fonction pour les valeurs trèsgrandes de z est ramenée à celle de la même fonction dans la partie de la surface de la sphère voisine du point 0'.