Revenons à Téquation trinôme
U'"-f./,(«)U--4-/«(ii)=^o, .
dont nous avons déjà dit quelques mots (n^ 249), et cherchons les équations de cette forme qui admettent des intégrales monotropes et doublement périodiques; les formules (43) et (44) représentent les exposants de la première et de la seconde espèce. Nous avons traité le cas où l'équation est du troisième degré. Supposons maintenant que l'équation soit du quatrième degré; les exposants de la première espèce sont égaux à 2, ceux de la seconde espèce à ti ou k 3. On a ainsi les
400 LIVRE V. -• GHAPmiE IV.
quatre combinaisons
U» -f- A (m — /i) (M — b) U» -f- C(« — a'y{u — 6')»(ii - c'y{u - (f)» = o, U* -hA(a — a)(M— 6)D*H-C(fi— «)»(« — A' )*(m- C)«{a — rf7 = o, U* 4- A (m - a)(ii - 6)U* -4- C (m - rt)»(ii ~ i)»(ii ~ c')»(i« - rf7 = o, U*4- A(ii-a)(a~6)U»-f-C(a— a)»(a— by{u-^cy = o,
out plus simplement,
U*-f-A(ii-a)(ii-6)U»-hQ:-^o, U*-^A(a-ii)(i/-6)U»-h(«-a)»Q;r.ro,
U* -h A (w — a) (m — 6) U» -f- (m - a)' (ii - 6)»QJ r=r o,
U--+-A(M-rt)(M — 6)U«H-(ii— «)»(«— 6)»Q; = o,
Qi< Q2» Qi« Q4 désignant des polynômes du premier» second, troisième ou quatrième degré.
Dans le premier cas, le polynôme
devant être le carré d*un polynôme P4 du quatrième degré, oq a
Les deux facteurs du second membre, étant premiers entre eux, sont divisibles, Tun par (a— a)*, l'autre par {u — b)*; d'où
Q,-^P,:--:tB(u-aY, Q, - P, rr. |! ^(,^ 6)s
B étant une constante. On a, de même, dans le troisième et le quatrième cas,
La seconde combinaison est inadmissible, car on aurait
et Tun des facteurs du second membre, qui sont du troisième degré, devrait être divisible par {u ~ b)\ On conclut de là qu'il existe trois équations du quatrième degré
(80) U*4-A(a-a)(»-6)U«4-[B(«-«)*4.|^^j(u-fc)*J^o,
(81) U*4-A(a~a)(a-6)U«4-(M~a)*(i«~6)'rB(tt-a)»+~j^{M-6)n'^o,
admettant des intégrales monotropes et doublement périodiques.
256. Lorsque Téquation est du cinquième degré, les exposants de la première espèce sont égaux à 21 ou à 3, ceux de la seconde espèce à 4» ce qui donne les cinq combinaisons
lJ*-h A(u - a)(u - b)V* -i- C(u -- afy(u — bj{u -c'y (u-d'Yiu-- c'y = 0,
D»4.A(M-a)(M-6)U*H-C(M-aO'("-"*')*(«-^)M« — rf')'=Of U»-f-A(M-a)(M-6)U--i-C(w--fl)*(tt — 6')»{a-c')>(a-^rf')» = o,
U» -f- A(a — a)(w — b) V* -f- C{u — ay{u — 6')»(a — c')»=: o,
U»-f.A(M — a)(M — 6)U*-f-C(M— aY(u— bY{u-^c'y = o,
OU, plus simplement,
U»-f-A(M-a)(a — 6)U*-f-Qî = o, U» -f- A(a - a) (u — b) U* -h Q^RJ = o,
U»-hA(a-a)(w-6)U^H-(M-a)*QJ=o, U»-hA(a-a)(M-&)U*4-(ii — flVQ; = o, U» 4- A ( w - a) (££ — 6)U* 4- (m - a)M " - by Q] = o,
les lettres Q et R désignant des polynômes entiers dont les degrés sont marqués par les indices.
i08 LIVRE V. - CHAPITRE IV.
En raisonnant conime pré^'édemment, on verra que Ton a» dans le premier et le dernier cas,
et que le troisième cas est inadmissible. Le second et le quatrième cas sont aussi inadmissibles. Considérons en effet la quatrième équation réduite à la forme dérivée
U»-f-A(a-&)U-4-Qî=:o;
le polynôme du sixième degré
pour être carré parfait, devrait avoir un plus grand commun diviseur, du troisième degré au moins, avec sa dérivée
et, par conséquent, avec le polynôme
5?-(a-&)9'-Q![50,-3(w-/^)Çr,],
ce qui est impossible, puisque le polynôme Q^ est premier avec 9, et que le polynôme placé entre parenthèses est du second degré.
Considérons de même la seconde équation réduite k la forme dérivée
le polynôme du dixième degré
\j pour être carré parfait, devrait avoir un plus grand commun diviseur.
nombre est donc égal ou inférieur à — — » ou à 4 H ^ — » ®t, par
conséquent à 4» quand m est plus grand que 5; ainsi, dans ce cas, fe polynôme/» se compose de trois x)u de quatre facteurs. Concevons Téquation réduite à la forme dérivée
Si tous les exposants sont de la première espèce, le polynôme
du degré nm^ pour être carré parfait, devrait avoir un plus grand commun diviseur, du degré m au moins, avec sa dérivée
ou avec le polynôme
qui est du troisième ou du quatrième degré, suivant queyi^ se compose de trois ou de quatre facteurs différents, ce qui est impossible, dès que m surpasse quatre. S'il y avait un facteur [u — a)" de la seconde espèce, disparaissant dans la forme dérivée, le polynôme f , qui est du degré nm — /i, devrait avoir avec le polynôme
un plus grand commun diviseur d'un degré égal ou supérieur à — ^^^—^
et, par conséquent, à » puisque n est égal ou inférieur à m — i ;
ce dernier polynôme étant du second ou du troisième degré» il y a impossibilité, dès que m surpasse cinq. Avec deux facteurs (a — a)*, [u — hy de la seconde espèce, on peut combiner un ou deux facteurs
INTÉGRATION PAR LES FONCTIONS ELLIFnQDES. 41 1
de la première espèce; dans ie premier cas» le polynôme
qui est du degré n'\ devrait avoir, avec sa dérivée ou avec le polynôme du premier degré
(m- n')(a — c') — n'^iw — ft),
un plus grand commun diviseur d'un degré égal ou supérieur à
par suite à 7 ? ce qui est impossible dès que m surpasse cinq. Dans
le second cas, le polynôme 9,, qui est du degré /i"-h n!"^ devrait avoir, avec un polynôme du second degré, un plus grand commun diviseur
d*un degré égal ou supérieur à » et par suite à ^i ce qui est
impossible.
258. Nous avons recbercbé spécialement les intégrales monotropes et doublement périodiques; il est aisé de voir qu'au delà du troisième degré il n'existe pas d'équation admettant une intégrale monotrope et simplement périodique ou rationnelle. Au delà du troisième degré, on ne trouve ainsi que cinq équations trinômes de la forme considérée, qui admettent des intégrales monotropes, savoir : les trois équations du quatrième degré (80), (81), (8:2) et les deux équations du cinquième degré (83) et (84). Ces équations rentrent dans le type général
IU--4- A (a — a) ( a — 6)11*-'
qui renferme quatre constantes arbitraires. Si Ton pose
= u', d ou U = i i— D',
cette équation se réduit à
(85) U'"4-A(a-i)aT''--•4-(a-i)"^t'--"I^Ba'»-f-(-Ir^■^^^-^^^
si Ton pose ensuite a'" = m", elle devient
Ba''+(-i)-i^-l^ ==0,
et se ramène ainsi au cas o\x n r= i. Nous avons donc à intégrer une équation de la forme
(87) U--HAaU— ' 4- Bit-' (il -f-H)*=o,
dans laquelle H désigne la quantité constante (— i)"^ — — ;r — Tn* Posons pour cela V = iw; nous obtenons la relation
(88) Mt^-'(c/ + A)-hB(iiH-H)« = o,
qui est du degré m par rapport k i^^ et du second degré par rapport à u; puisque u est une fonction doublement périodique de l'ordre m, il en résulte que v est une fonction doublement périodique du second ordre. En appelant F(ii) le premier membre de cette équation, et difierenliant, on en déduit
(89) ,nt;«-.^,-^'^^A)^j-^F'(«) = o;
mais on a
[F' {u)y = c— ' ( V 4- A) fr- 4- Ai^-' -4- (~ i)* ^^""j[^"' A"l
=:i^-'[v H- A) [(^4- — — Aj (i^-'-h Bii^-'-h.. .-+-B«-,);
on arrive ainsi à Téquation du second degré
(90) ^ = -v^(/»— (i/-hA)(i^»-hB,i/"-*-h...-hB«-,).
Lorsque m est égal à 4 ou à 5, la fonction (^^ définie par cette équation, est monotrope et doublement périodique.
Lorsque m = 4f d*aprës les résultats trouvés au n^255, Téquation générale (IX) admet une intégrale monotrope, quand on attribue à n les valeurs i, 2, 4» ce qui donne les trois équations (82), (81), (80),
et Dous avons ramené les deux derniers cas au premier, en posant soit ilzzL sfijï'y soita'= yiu"\ rintégraledeTéquation (8:1) jouit donc de cette propriété que sa racine quatrième est monotrope. Si Ton attribuait ^ n la valeur 3, on aurait une équation du quatrième degré, dont Tintégrale s'exprimerait rationnellement à l'aide de la racine cubique d'une fonction monotrope et doublement périodique; ce serait donc une fonction doublement périodique, admettant trois valeurs pour chaque valeur de js; on pourrait la regarder comme la racine d'une équation du troisième degré, ayant pour coefficients des fonctions monotropes et doublement périodiques. Lorsque m = 5, l'équation (IX) admet une intégrale monotrope, quand on attribue à n les valeurs i et 5, ce qui donne les deux équations (84) et (83), et celle-ci se ramène à la précédente, dont l'intégrale a sa racine cinquième monotrope. Si Ton attribuait à n les valeurs 2, 3, 4* les intégrales cesseraient d'être monotropes; mais elles s'exprimeraient rationnellement à l'aide de la racine carrée, cubique ou quatrième d'une fonction monotrope et doublement périodique; ce seraient des fonctions doublement périodiques, ayant 2, 3 ou 4 valeurs pour chaque valeur de z.
Méthode générale d'intégration.
259. Nous avons effectué jusqu'à présent l'intégration par des procédés appropriés à la forme même des équations. Une fois qu'on a reconnu qu'une équation différentielle donnée admet une intégrale monotrope, et qu'on en a déterminé l'espèce, à l'aide des caractères que nous avons indiqués, la méthode générale d'intégration consiste à chercher l'expression rationnelle de la fonction intégrale au moyen, soit de la
variable z, soit de la fonction e ** , soit de la fonction elliptique \{z) et de sa dérivée, et à calculer les coefficients qui entrent dans cette expression. Supposons, par exemple, que l'intégrale soit doublement périodique et admette les deux périodes 2^, co'; si l'on appelle X (js, g^ k) la fonction elliptique qui a les mêmes périodes, l'expression de la fonction cherchée sera de la forme
il 4 UVRB V. - CHAPITRE IV.
L, M, N étant des polynômes entiers en X, les deux premiers d*un degré égal ou inférieur au degré m de Téquation, le dernier du degré m — 2 au plus; ces trois polynômes renferment 3m coefficients» ce qui, avec le multiplicateur g et Je module k de la fonction elliptique, fait 3i7t + a constantes» que Ton déterminera en substituant rexpression de la fonction u dans Téquation difierentielle proposée. Nous allons appliquer cette méthode a l'équation du troisième degré
(91) U»-i-3tt'U«— (a»— i)' — 4a«=o,
qui rentre dans le type (Y) étudié au n° 250, et qui admet une intégrale monotrope et doublement périodique. Afin de déterminer complètement la fonction, nous supposerons que» pour s = o» elle a la valeur initiale u = o^ et sa dérivée la valeur U = 1 . La fonction étant impaire et s* annulant pour 2 = 0» son expression est de la forme
(9') "= — rin^^ —
On peut choisir les périodes de manière que les trois zéros simples soient o» o)» — L* équation transformée ayant pour v-^o ses racines
différentes de zéro» l'intégrale a aussi trois infinis simples» dont l'un est G> H — -, nous désignerons les deux autres par d=ff» en posant
h= ^J-T' Il s'agit de déterminer les six constantes A» B»G»A» g^k.
Pour a = o, l'équation différentielle se réduisant à U' — i = o, les trois racines sont ^fj\j^* La première correspond à -s = o; en se bornant aux deux premiers termes» on a» pour les valeurs infiniment petites de z»
on a d'ailleurs
Hz) = gz^l^g*z\ W{z) = g-'-±^g^z^',
en substituant ces valeurs dans l'équation (93) et égalant les coefRcients
des mêmes puissances de z, on obtient les deux relations
(93) Bg-^Cg'=i,
(94) A.^'-B— g— ff»-C-^-^^ ^fi^ = -g-*'ff'-
Si nous faisons correspondre à z = o la seconde racine U =j\ et si nous posons z = co + z% nous aurons u =jz\ d'où
(95) Bgr-Cff» = -y.
La troisième racine U =y * correspond à z = — ; en posant z= — -f- «', on a u:=j^z\ et Ton obtient les deux autres relations
(96) Cgk = A,
(97) 'Bgk-^kg'-^=--h^j\
La transformée
pour (^ = 0» admet la racine simple — i et la racine double 2;^ la première se rapporte a TinBni j5 = a)-{ — 9 la seconde aux deux in-
finis -+■ a. Si Ton pose 2 = w h — -h 5', on a
et Ton obtient la sixième relation
(98) A-f-CgA- = - gkh\
Des équations (qS), (qS), (96) et (98), on déduit
(99) Bff=i^, Cgr» = -A Ag^ = -/r:^, A'ff'=7\
En substituant ces valeurs dans les relations (94) et (97), et posant, pour abréger,
on obtient deux équations du premier degré en /i et q, d'où Ton déduit
(,oi) ;, = ^— ÎL, , = ^UL.
Les valeurs depeiq étant connues, les équations (loo) donnent g et if et les précédentes A, A, B, C.
Cette dernière méthode est celle dont nous nous sommes servis exclusivement dans nos premières recherches sur Tintégration des équations difTérentielIes {Journal de r École Polytechnique^ i856); tous les exemples que nous avons traités rentrent dans la catégorie des équations trinômes que nous venons d'étudier. Dans son Cours d'Analyse à l'École Polytechnique, en 1873, M. Hermite a observé que, lorsque Ton a reconnu qu'une équation différentielle de la forme (i) admet une intégrale monotrope, on peut effectuer l'intégration en exprimant U et i^ rationnellement k l'aide d'une variable auxiliaire, si l'intégrale est algébrique ou simplement périodique, et par des formules qui ne renferment pas d'autres quantités irrationnelles que la racine carrée d'un polynôme du quatrième degré, lorsque l'intégrale est doublement périodique.
■ ■' 9 mnm I
