I -- rft
V dz
l'équation proposée (i) se change en une équation algébrique entre ç et V, du degré m par rapport à V, et l'intégrale définie devient
(9) z'=^Z~Z,r=j ^dv.
Le raisonnement précédent s'applique à la fonction v; on en conclut que le point z^ est un point ordinaire ou un point critique algébrique de cette fonction, et, par conséquent, un pôle ou un point critique algébrique de la fonction u.
240. Nous nous occuperons spécialement, dans ce qui suit, du cas où la fonction intégrale u est monotrope. Cherchons d'abord à quels
241 • Supposons maintenant que» la variable z allant de jSq ^ ^i » 1^ fonction u acquière une valeur u«, pour laquelle la fonction algébrique U devient nulle; la variable z restant finie» cette racine U est d'un degré inférieur à l'unité» et, par conséquent» elle appartient à un système
circulaire de p racines; la fonction ^,9 qui devient infinie» est représentée par la série (6)» et la fonction u' par la série (8); pour que la fonction intégrale u reste monotrope dans le voisinage du point jS|» il est nécessaire et il suffit que p' = i, c'est-à-dire que la racine nulle U
soit du degré i — -•
Il est aisé de reconnaître» a priori, que cette condition est nécessaire; car» si la fonction u est monotrope dans le voisinage du point jsi» elle se développe en une série de la forme
sa dérivée
(i3) li =: patz'f^^ -h ip -¥- 1) ai z't* -^. . .
s*annulant pour 2' = o» le nombre entier /^ est plus grand que un. De' la série (1:2)» on déduit
et» en portant dans la série (i3)»
la racine infiniment petite U appartient donc à un système circulaire
de p racines» et elle est du degré i
Il reste à examiner ce qui se passe lorsque la fonction u devient infinie pour une valeur finie s< de z. Nous nous servirons, pour cela, de l'équation transformée (11). Si, pour i' == o, les racines différentes de zéro sont monotropes par rapport à (^, et si chacune des racines
382 UVRE V. - CHAPITRE ÎV.
cycles soit nulle, et alors la période correspondante est nulle. Il importe donc de trouver des caractères auxquels on pourra reconnaître, sur Téquation difTérentielle elle-même, à laquelle des trois classes appartient la fonction intégrale. Pour voir si la fonction intégrale est monotrope, nous n'avons pas eu à nous occuper des racines nulles d'un degré égal ou supérieur à Tunité; c'est la considération de ces racines qui nous permettra de distinguer l'espèce de la fonction intégrale.
Examinons d'abord le cas où Féqualion (lo), pour toutes les valeurs de u qui annulent/„(u), et l'équation (ii) pour> = o, n'admettent aucune racine nulle d'un degré égal ou supérieur à un. Dans ce cas, l'intégrale définie (a) conserve une valeur finie (n^ 111). Imaginons que l'on représente la variation de u par le mouvement d'un point sur une sphère, et celle*de z par celui d'un point sur un plan; après avoir marqué sur la sphère les points critiques de la fonction algébrique U et formé un système de lacets fondamentaux ayant pour origine le point initial Uo, concevons que la variable u parte du point Uo» U ayant une valeur déterminée Uo, et aille en un point quelconque de la sphère par un arc de grand cercle, précédé des combinaisons des lacets fondamentaux qui font acquérir a U les m valeurs qu'elle peut avoir au point iio- Afin de distinguer ces chemins, nous regarderons chaque point de la sphère comme l'assemblage de m points caractérisés par les m valeurs de U; à chaque point (i/, U) de la sphère correspond un point z du plan, et a la sphère entière une portion finie du plan. Prenons un point M' en dehors de cette partie du plan; dans l'intégration directe, quand la variable z arrive en M' par un chemin quelconque, la fonction monotrope u acquiert en ce point une valeur déterminée i/«, et sa dérivée U une valeur aussi déterminée U«. Soit M le point situé dans la partie finie du plan et qui correspond au point (i/,, U«) de la sphère; quand la variable z décrit dans le plan une ligne quelconque allant du point M au point M', par exemple la droite MM', la variable u décritsur la sphère un cycle fournissant la période MM'; si l'on ajoute cette période à chacune des valeurs de z obtenues précédemment, la portion finie du plan se reproduira a côté une première fois, puis une seconde fois, et ainsi de suite; mais cette opération ne donne pas tout le plan. Prenons un point M"" en dehors, et soit M le point homologue situé dans la partie finie du plan; nous obtiendrons de la même manière
et, en faisant if = vz\
si Ton pose ensuite 9^= f — 4 ^o)^» «^ = ^o -*- ^» ^"^ arrive à une équation de la forme
où Zo, Z|, Z^... . désignent des séries convergentes ordonnées suivant les puissances entières et croissantes de z\ et dont les p premières renferment en outre chacune un terme tel que Az'^logz^ qui s*annule pour js' = o. Concevons que la variable z' soit comprise dans un cercle décrit du point z'=: o comme centre avec un rayoti très-petit /9, cercle dans lequel on a pratiqué une coupure suivant un rayon; une valeur du logarithme étant adoptée en un point, la fonction z'^^logjs' aura une valeur déterminée et très-petite. en chaque point. Nous pouvons répéter ici le raisonnement du n^ 28 ; la première série Zo s'annulant pour z'= o, et la seconde Z| contenant un terme p'i^"^ indépendant de z\ on en conclut que l'équation (i6) admet une racine très-petite v^. Si Ton adoptait une autre détermination du logarithme, les coefficients de l'équation ayant d'autres valeurs, l'équation adnxettrait une autre racine très-petite, et ainsi de suite. Il en résulte qu'à chaque valeur de z' correspondraient une infinité de valeurs de (/, ce qui est impossible, puisque la fonction intégrale u est monotrope.
Le coefficient 6^ étant nul, l'équation (i6) définit une fonction (»' monotrope par rapport à z'; puisque la fonction u est monotrope par rapport à js, on a en outre p' = i. La fonction u, différant très-peu d'une quantité constante Ut pour toutes les valeurs de z' inférieures à un certain module et, par conséquent, pour toutes les valeurs de z supérieures à un certain module, est rationnelle; car, pour js = qo , les fonctions périodiques sont indéterminées. On arrive à la même conclusion lorsque, pour i^ = o, Téquation (ii) admet une racine nulle d'un degré supérieur a l'unité.
244. Il est aisé de voir, a priori, que ces conditions sont nécessaires.
Lorsque le nuniérateur de la fraction rationnelle est d'un degré plus élevé que le dénominateur, u devient infinie avec z; mais ç s'annule, et la racine infiniment petite V jouit des mêmes propriétés.
Il est impossible que l'équation proposée, lorsqu'elle est irréductible, et sa transformée pour (^ = o, présentent deux racines nulles d'un degré plus grand que un ; car, lorsqu'il y a une racine de cette sorte, la fonction £^ est rationnelle , et, par conséquent, diffère très-peu d'une quantité déterminée pour les valeurs très-grandes de z.
245. Supposons maintenant que, pour u= Ut, l'équation proposée admette une racine du degré un et appartenant a un système circulaire dep racines. Si l'on pose u = u« + u\ la branche correspondante de la
fonction -^ sera représentée par
( ï2) ^ = «'- (b, + b, u'^-rb^u'P-i-...),
d'où
z --: b, logu' -h C -i- pbiU'P -h " biU'l" ■+■
L'intégrale définie a ici la période polaire tù =:= nph^nix on en conclut que la fonction u est simplement périodique.
anzi
En posant u! = u!'^^ 1 = 6"" , on déduit de l'équation précédente
le point u=Ui est donc un point critique algébrique, ou un point ordinaire si /? ^ I , de la fonction / de u.
Supposons que, pour u = 1/3, Téquation admette une autre racine du degré un; si Ton pose a = ^3+ u\ la branche correspondante de la
fonction -^ sera représentée par une série de la forme (^22); on en déduit pour z une expression de la forme (23); si la période polaire est égale à la précédente et de signe contraire , il en résulte pour t une expression telle que
le poiot II = 112 est un point critique algébrique ou un point ordinaire
de la fonction -» et, par conséquent , un point critique algébrique ou
un pôle de la fonction t. Ainsi la fonction t de u n'a, sur toute la sphère, que des points singuliers algébriques; d'ailleurs, à une valeur de II correspond un nombre fini de valeurs de /; on en conclut, d'après le théorème du n^ 135, que les deux quantités / et u sont liées par une équation algébrique. Puisqu'à chaque valeur de / ne correspond qu'une valeur de 11, cette équation est du premier degré par rapport à Uf et, par conséquent, u est égale à une fraction rationnelle de t.
Remarquons actuellement qu'une fraction rationnelle de t prend des valeurs déterminées ii| et n, pour / = 0 et / = qo ; en posant 11=11,+ u\
ou u = Us + u', on obtient pour ^ des expressions de la forme (a^).
Il en résulte que, si l'équation proposée, ou sa transformée pour ç = o^ admet une racine nulle du degré un, elles en admettent une autre, et ces deux racines fournissent, dans l'intégrale définie , des périodes égales et de signes contraires. Il peut arriver que ces deux racines nulles correspondent à une même valeur de u. De ce qui précède, on conclut :
Théorème II. — Les conditions qui rendent la fonction intégrale monotrope étant remplies : i^ la fonction intégrale est doublement périodique^ lorsque l'équation proposée pour aucune valeur finie de u, ou la transformée pour (^ = o, n admet de racine nulle d'un degré égal ou supérieur à l'unité; 2° elle est rationnelle, lorsque l'équation proposée pour une valeur finie de u, ou la transformée pour (^ = o, admet une racine nulle d'un degré plus grand que un; 3^ elle est simplement périodique, lorsque l'équation proposée pour une valeur finie de u, ou la transformée pour i' = o, admet une racine nulle du degré un.
Quand on a reconnu la nature de la fonction intégrale, on peut se proposer de la déterminer au moyen des éléments connus. Si elle est rationnelle, elle sera égale au quotient de deux polynômes entiers. Si elle est simplement périodique, elle sera égale à une fraction ration-
XHSI
nelle de l'exponentielle t = e "" . Enfin, si elle est doublement périodique, on l'exprimera rationnellement a l'aide de la fonction elliptique X(js), aux mêmes périodes, et de sa dérivée (n® 161).
Équations différentielles binômes.
246. Appliquons les principes que nous venons d'établir à Tétude de l*équation binôme
(a5) (îë)"-'" ^ ("'^- ^ (" " «)-(ii- 6)-', . .,
dîins laquelle F(u) désigne un polynôme entier en u du degré ^m au plus. Par une transformation du premier degré, on peut toujours ramener le cas où le degré du polynôme est plus petit que am à celui où il est
égal à am; il suffit pour cela de poser u = i/q + -^ i/o étant une quantité arbitraire qui n'annule pas F(i/); nous supposerons donc que le polynôme est du degré 2m, ce qui revient à dire que, sur la sphère, le
point II = 00 est un point ordinaire pour la fonction ^ (n^239f). L'équation proposée se met sous la forme
(16) ^l^g(,,^ar(u^bY .,.x
nous supposons chaque exposant réduit à sa plus simple expression; leur somme est égale à deux. Pour que la fonction intégrale soit monotrope, il est nécessaire et il suffît que les exposants inférieurs à
Tunité soient de la forme 1 [xV^ 241): chacun de ces exposants sera
égal ou supérieur à -• La fonction intégrale est doublement périodique
si tous les exposants sont inférieurs à l'unité, rationnelle s'il y en a un supérieur à Tunité, simplement périodique s*il y en a un égal à Tunité.
Le second membre de l'équation ^[26) peut être formé d'un seul fac-
leur affecté de l'exposant 2 ou i -^ -; dans ce cas, l'intégrale est rationnelle. S'il renferme un premier facteur affecté d'un exposant plus grand que I, mais plus petit que 2, il est formé de deux facteurs; le second
Supposons ces trois nombres rangés par ordre de grandeur croissante. Nous remarquons d*abord que le plus petit p ne peut être plus grand que 3; on ne pourra donc lui attribuer que les deux valeurs 3 et 2. Soit/7 = 3; la relation (3o) devient
il faudra faire aussi p ^ p"^3; on obtient ainsi Téquation différentielle
du » 1 »
(3l) • ±.:=:g^u-ar{u-^by{u-cy.
Soit maintenant p= 2; la relation {3o) devient — -f--^ = -; le
nombre/'' ne peut être plus grand que 4; comme il est d'ailleurs plus grand que 2, on ne pourra lui atribuer que les deux valeurs 4 et 3. Si p' = 4^ on dip"= 4» ce qui donne l'équation différentielle
du -'■ ^ i
(3?.) ^^=^gi^u^aY(u-bY(u--cY.
Si p'= 3, on dip" = 6, et Ton obtient l'équation différentielle
(du\ 111
—^ = giu^ay{u-by{u-cy.
247. Ainsi, outre les quatre équations (27) et (28) que l'on sait intégrer, et dont les intégrales sont rationnelles ou simplement périodiques, il existe quatre autres équations, (29), (3i), (32) et (33), dont les intégrales sont des fonctions doublement périodiques. Ces équations présentent les quatre types suivants :
(II) V' ^ G{u - aYiu - by{u - c)\
(III) U*zr.G(M — «)'(« — *)=»(« — c)\
(IV) u« — ri(w-/i)»(w — ft)*(M-c^
Les fonctions intégrales sont respectivement du second, du troisième» du quatrième et du sixième ordre.
La fonction algébrique U de u, définie par l'équation (I) du second degré, admet sur la sphère quatre points critiques a, 6, c, d^ autour de chacun desquels se permutent les deux racines. La fonction algébrique définie par Téquation (II) du troisième degré admet trois points critiques a, 6, c, autour de chacun desquels se permutent les trois racines. La fonction algébrique définie par l'équation (III) du quatrième degré a aussi trois points critiques a, h, c; les quatre racines se permutent circulairement autour de chacun des deux derniers; autour du pointa, les quatre racines se divisent en deux systèmes circulaires, comprenant chacun deux racines. L'équation (lY), qui est du sixième degré, présente également trois points critiques; les six racines forment autour du point a trois systèmes circulaires de deux racines, autour du point h deux systèmes circulaires de trois, et enfin autour du point c un seul système de six. Nous dirons qu'un point critique a autour duquel se permute un système circulaire At p racines est de l'ordre z^, et nous le désignerons par le symbole a^^^ ; nous regarderons le point a, dans Téquation (lY), comme la réunion de trois points critiques du second ordre, et le point b comme la réunion de deux points critiques du troisième ordre. De cette manière; la distribution des points critiques, pour les quatre équations précédentes, sera figurée par
Nous avons vu (n^ 111) que le nombre des périodes de l'intégrale définie est au plus i(/? — i) — 2(m — i); en appliquant cette règle aux cas actuels, on trouve effectivement que le nombre des périodes ne surpasse pas deux.
Si Ton fait coïncider l'un des points critiques avec le point 0' de la sphère, à l'aide d'une transformation du premier degré, telle que
£1 ~ a + -> on déduit des quatre types principaux les sept formes
dérivées
G(ii G(u
248. Proposons-nous maintenant d'intégrer ces équations différentielles au moyen des fonctions elliptiques. L'équation (III) et ses deux formes dérivées (36) rentrant les unes dans les autres, il suffit de considérer la première des équations (36),
^g(u-af(u-bf;
en posant u = b -hv*, on ramène celle-ci à l'équation
dv g ,—n 7\
qui est de la forme (34)f dérivée du premier type. De même, l'équation (IV) et ses trois formes dérivées (37) rentrant les unes dans les autres, il suQit de considérer la première des équations (37),
en posant u = 6 -i- i^', on la ramène à l'équation
qui est aussi de la forme (34). L'équation (U) se ramène à sa forme dérivée (35); pour intégrer cette dernière, nous poserons
d'où
(38) {u--a){u-b)=:Gv\ V = Gv\
et, par suite.
On déduit de l'équation (38), par la diiïérentiation,
3Gc*-^ - 2 I W I L =: 7.GcM W ;-T— J
d'où
Gv^
Cette dernière équation est aussi de la forme (34)f et définit une fonction doublement périodique du second ordre. La fonction Uy qui est du troisième ordre, est donnée par l'équation (Sg), qui se réduit à
Nous avons ainsi ramené à Téquation (34) les quatre types d'équations différentielles binômes et leurs sept formes dérivées; nous avons vu (n®219) comment on ramène l'équation (34) ^ la forme particulière qui convient à la fonction elliptique X(j3).
Équations du troisième degré.
249. Proposons-nous de rechercher, parnTi les équations différentielles du troisième degré, celles qui admettent des intégrales monotropes et doublement périodiques. Nous avons vu (n*^ 181) que le coefficient de la première puissance de U doit être nul; ces équauons rentrent donc dans la forme trinôme
(4^.) U'"-h/.(M)U'— -f-/,(tt)=:0.
391 LIVRE V. - CHAFITRB Vf.
Nous pouvons supposer que les polynômes entiers /« et/^ sont, le premier du second degré, le second du degré ^m, et que pour i^ = o Téquation transformée n*a que des racines simples. Ck)nsidérons d*abord les racines nulles d*un degré inférieur à Tunité. Soit {u — a)* un facteur du dernier terme donnant une racine de cette sorte; posons Il = a + Il^ Si la quantité /« (a) est différente de zéro, le premier groupe dans Téquation est formé des deux termes
il y a 171 — I racines infiniment petites du degré '^ ; il faut que ce degré soit de la forme i — -» d*ou Ton déduit
le nombre entier/?, plus grand que i, doit être un diviseur de m — i* Si Ton a/« (a) = o, le premier groupe est formé des deux termes
les m racines sont infiniment petites et du degré — *, il faut que ce degré
soit aussi de la forme i > d'où
(44) n=iP^',
le nombre entier p doit être un diviseur de m.
Considérons maintenant les racines multiples différentes de zéro* EUll satisfont a l'équation
U— -4-(m-i)/,U--»==mU— (ji^^!!L—Lj\=o.
Posons
(45) u.^-^/, U=U.-hU',
.(46) ?(^)::=/. + (-ir-'^^~y""7. ;
TéquatioD proposée devient
(47) 9{U)-- î-/Ur-^D'V...-(/W-2)/U'---|-U"":r=0.
Soit z/| une valeur de u qui annule 9 sans annuler /« et par suite /;,; désignons par q le degré du facteur binôme u — u^ dans le polynôme 9; si Ton pose u = m, -H a', le premier groupe dans Téquation est formé des deux termes
il faut que les deux racines infiniment petites U' restent monotropes; pour cela» il est nécessaire et il suffit que l'exposant q soit pair; il en résulte que, si dans 9(1/) on met à part les facteurs binômes qui entrent dans/i, le polynôme restant doit être carré parfait. Quand toutes ces conditions sont remplies Ja fonction intégrale est monotrope; s'il n'y a pas de racine nulle d'un degré égal ou supérieur à l'unité, la fonction est en outre doublement périodique.
250. Appliquons ces considérations à l'équation du troisième degré
(48) U>4-/.(tt)U»-h/,(tt)=o.
Les exposants delà première espèce sont égaux a i, ceux de la seconde
espèce à a; le polynôme/, est donc formé, soit de six facteurs simples,
soit d'un facteur double et de quatre simples, soit de deux facteurs
doubles et de deux simples; il ne peut y avoir plus de deux exposants
de la seconde espèce, puisque le polynôme/« est du second degré. On
a ainsi les trois équations
(49) U»-^A(tt-a)(M-6)U'-f-C(tt-a') (M-6')(a— c'J(w-rf')(«-0(w-/') = o, (5i) U»h-A(m— rt)(M-.fr)U'^-C(M-a)«(M--&)'(M~c')(ï^-rf') = o.
Dans le premier cas, les polynômes /« et/, n*ont pas de racine commune; le polynôme du sixième degré
doit être le carré d'un polynôme P, du troisième degré, ce qui exige trois équations de condition entre les dix coefficients de/i et/,; il en reste donc sept arbitraires» de sorte qu'on peut regarder/ et P, comme des polynômes quelconques du second et du troisième degré, et l'équation se met sous la forme
(V) U»4-/UM Pj-I^/.-^o.
Dans le second cas, les deux parties qui composent le polynôme f admettent le facteur commun (z/ — a)^; le second facteur, qui est du quatrième degré, doit être le carré d'un polynôme P, du second degré, ce qui exige deux équations de condition entre les huit coefficients de/ et/; il en reste six arbitraires, de sorte qu'on peut regarder/, et P2 comme deux polynômes quelconques du second degré; le polynôme 9 est encore le carré d'un polynôme (m — a)P2 du troisième degré. Il en est de même dans le troisième cas : les deux parties du polynôme 9 renferment le facteur commun {u — a)* {u — b)^ ; le second facteur, qui est du second degré, doit être le carré d'un polynôme P, du premier degré, ce qui exige une équation de condition entre les six coefficients de/ et/; il en reste cinq arbitraires, de sorte qu'on peut regarder/ et P, comme deux polynômes quelconques du second et du premier degré; le polynôme 9 est encore le carré d'un polynôme (m — a) {u — b) P| du troisième degré. Ainsi les trois cas rentrent dans le type général (V). Dans le premier cas, les deux polynômes/ et P, sont premiers entre eux; dans le second cas, ils admettent un diviseur
commun w — a du premier degré; dans le troisième cas, un diviseur commun [u — a) {u — b) du second degré non-carré parfait.
251. Pour intégrer l'équation (Y), nous la ramènerons d'abord à la forme
(52) u'^y;u'^ + Pj^o,
en posant U = — |/< -f U' (n" 249). Concevons le polynôme P, du
troisième degré décomposé en un produit de deux facteurs, l'un u — a du premier degré, l'autre P^ du second degré, et posons U' = Pa^^; l'équation précédente devient
(53) i;^(P,i; -/ ) -f- (m - ay '-. o.
U' La quantité (^= -^-9 étant le quotient de deux fonctions monotropes
doublement périodiques, aux mêmes périodes, est elle-même une fonction monotrope doublement périodique; comme elle est liée à la fonction u par une équation algébrique du troisième degré en ^ et du second degré en i^, on conclut, d'après le théorème du n^ 177, qu'elle est du second ordre. La détermination de la fonction u du troisième ordre est ainsi ramenée à celle d'une fonction {^ du second ordre.
Le calcul n'offre aucune difficulté; si Ton désigne par F(u) le premier membre de l'équation (53), et si Ton différentie, on a
et, en remplaçant ^ ou U par sa valeur ^2^ — 5/1»
La fonction F' (a) étant du premier degré, on déduira de cette der-r nière équation l'expression rationnelle de u au moyen de (^ et de sa dérivée (n"" 161). 11 suffit maintenant d'éliminer u entre les équations
(53) et (54). Tout polynôme du deuxième degré
F(M) = La'4-aMin-N
satisfaisant à la relation
[F'(m)P --= 4LF (u) -♦- 4 (M'- LN),
i*équation (53) donne
(55) [F(w)Jz.-4(M'-LN).
Soient
/ =zAu^ -h 2A,M 4- Aj, Vi — BM'-f-aBiM-f-Ba;
L = Bt^— A(/»H-i, Mr-B,c'» — A.c''— a, N = B,i^— A,c»-+- a»,
M«- LN = c'[(^(B.c — A.)»— (/HB(/-A)(B,(/ — A,)
- 2a(B.i/ - A,) - «'(Bi/ — A) - (B,(/ - A,)],
et Ton arrive à Téquation
(56) ~ = |v^i;»(B,c^~A,)»-2a(B,c^-A,)-aMBi'-A)-(B,i/-A0(Bi'=»-Ai^+r),
dont rintégrale est efTectivement une fonction doublement périodique du second ordre.
La quantité a, dont on se sert dans ce calcul, est Tune des racines de réquation du troisième degré P3 = o; dans le second et le troisième cas» on prendra a = a.
252. Nous avons trouvé toutes les équations du troisième degré qui admettentdesintégralesmonotropesetdoublementpériodiques; il existe aussi des équations du ti*oisième degré, de la forme (48), admettant des intégrales monotropes simplement périodiques ou rationnelles. Cherchons d'abord celles dont les intégrales sont simplement périodiques. Supposons que le polynùme/3 contienne un facteur double {u — a,)' n'entrant pas dans/i; dans le voisinage de ai, Téquation admet deux racines infiniment petites du degré un et monotropes par rapport à u;
si doDc rintégrale est moDotrope, elle sera simplement périodique (d^ 245j. On obtient ainsi les trois équations
(58) \]^^A{u-a){u^b)\}^-hC(u-a,Y{u-ay{n—b'){ii-^c') = o, (69) l]»-f-A(K— a)(ii— 6)U»4-C(ii — a,)»(M — a)»(a — 6)» = o,
qui rentrent dans un même type
(VI) U^ 4-/.U^ -h (« - a,)*Q4 -= o,
Q4 désignant un polynôme du quatrième degré, et/, n'étant pas divisible par II — a,. Pour que l'intégrale soit monotrope» il faudra, comme précédemment, que le polynôme 9 soit le carré d*un polynôme P, du troisième degré, ce qui exige trois équations de condition entre les neuf constantes que renferme l'équation (VI); il en restera donc six arbitraires, et, par conséquent, il existera une relation entre les sept coefficients des polynômes/, et P, qui entrent dans l'équation (5:2). Puisque l'intégrale est simplement périodique, cette relation signifie que le polynôme du quatrième degré,. placé sous le radical dans l'équation (56), admet un facteur double.
Pour le vérifier aisément, nous réduirons l'équation (VI) à la forme dérivée
qui ne renferme plus que huit constantes; il n'en restera donc que cinq arbitraires, savoir : les trois coefficients de/ et deux de P,. A cause de l'égalité
(a — a)»(Ba» -f- aB.M 4- B,)»= |ï(Aii^ -h aA.a 4- A,)* + Q4,
on a
(61) ®' = 5î^^ B(2B.~B«Jz3:|Ja'A.;
les cinq arbitraires sont A, A,, A^, B,, a. Si Ton pose, pour simplifier»
A = 3AS d'où B = 2A\ B, =: A,A -+-aA»,
400 UVRE V. - CHAPrnUS lY.
le polynôme da quatrième degré en v contient le facteur [hç — t )*, et l'équation (56) se réduit à
Si le polynôme/a contenait un facteur triple (u — ai)* entrant dans/|, l'équation admettrait trois racines infiniment petites du degré un; mais alors, les deux parties du polynôme f renfermant le facteur commun (tf — ai)*, le second facteur, qui est du troisième degré, ne serait pas carré parfait.
253. Supposons maintenant que le polynôme/, contienne un facteur triple (il — aj* n'entrant pas dans/; Téquation admettra un système
circulaire de deux racines infiniment petites du degré -: si Tintégrale
est monotrope, elle sera rationnelle (n^ 243). On obtient ainsi les deux équations
(63) U> H- A (il - a)(a- 6) U» 4- C(a-ai)»(tt -«')(«"-*')(« — c') = o,
qui rentrent dans un même type
(VII) u>4-/.U'-h(ii-a.)'Q. = o,
Q, étant un polynôme du troisième degré, et/ n'étant pas divisible par u — a^. Pour que l'intégrale soit monotrope, il faut que le polynôme (p soit le carré d'un polynôme P, du troisième degré, ce qui exige toujours trois conditions entre les huit constantes que renferme Vétfn^tion (VII); il en restera donc cinq arbitraires, et, par conséquent, il existera deux relations entre les sept constantes des polynômes/ et Pf Puisque l'intégrale est rationnelle, ces deux relations signifient que le polynôme du quatrième degré, placé sous le radical dans l'équation (56), admet un facteur triple.
Pour le vérifier, nous réduirons l'équation (VII) à la forme dérivée
qui ne renferme plus que sept constantes; il n'en restera que quatre arbitraires» savoir: les trois coefiicienls (le/< et un de P,. A cause de l'égalilé
il faut aux deux relations (6i) du numéro précédent ajouter la troisième relation
(66) B'«' -I- 4B; - 8BB.a + a BB. = J A ( AA, 4- 4 AJ),
d'où Ton déduit
B, = A,A-f-aA,aA-;-:^ -r^ 4-2a»/i>;
3 il
les quatre arbitraires sont h, A|, A,, a, et Téquation {62) devient (67) ^ r.|(Ai'--i)y^(Ac;-i)r^c.-2A.«(Ai'4-i)~3a'A»(Ai'4-i)-A.(2Ai/-hi)|
L'intégrale est aussi rationnelle, lorsque le polynôme/, contient un facteur quadruple {u — a, )* et que le polynôme/ est égal à A (« — a, )* ; on a ainsi l'équation
(68) U»-»-A(a-fl.)'U'4- C(u - a^Yiu - a')(u — b') =0,
qui, dans le voisinage du point a^^ admet un système circulaire de trois racines infiniment petites du degré |- L'expression de <p est ici
<pr=.(M — fi.)- Te («-«')(«— fr') 4 -AMM-a.)^-,
il faut que le polynôme du second degré placé entre parenthèses soit le carré d'un polynôme P, du premier degré; l'équation, dont le type est
(VIII) U»-+- A(w -«O'U' -+- {u-a^Y fpî - || A»(« -a,)»l =0,
402 UVRE V. - CHAPmΠIV.
renferme quatre constantes arbitraires. L'équation (5ii) détient
(69) U'» - A( tt — a^yU' -f- ( M — a. )^P; = o.
Pour rintégrer» on posera U' = (u — a<) F, i', d'où
(70) P,v»— -A(m — a,)v'4-(ii— <Zi) = o;
cette relation étant du premier degré par rapport à u, on en conclut que {^ est une fraction rationnelle du premier degré; et en effet, si Ton pose P| = Bu + B|, on arrive à l'équation différentielle du premier
degré par rapport à ^
(70 3^ = (Ba.-hB.)i'%
dont l'intégrale est
VZ-^
Bai -^ Bt z
Le polynôme, placé sous le radical dans l'équation (56), devient ici une puissance quatrième parfaite.
254. Remarque. — Nous avons épuisé toutes les combinaisons qui admettent des intégrales monotropes, si l'équation est irréductible. Les autres équations du troisième degré de la forme (4^)> qui satisfont aux conditions de la monotropie, sont décomposables. Il résulte en effet, de ce que nous avons dit dans les n°' 243 et 245, qu'une équation irréductible, dont l'intégrale est monotrope, ne peut offrir plus d'un système circulaire de racines nulles d'un degré supérieur à l'unité, ni plus' de deux systèmes circulaires de racines nulles d'un degré égal à Tunité, ni à la fois une racine nulle d'un degré supérieur à l'unité et une racine nulle d'un degré égal à l'unité.
D'après cela, on peut affirmer a priori que, si le polynôme y est carré parfait, l'équation
(72) U'-+- A(w-a)(M— 6)U»-+-C(£«-fl,)MM~a')(w— 6')zzro,
qui, dans le voisinage du point a^ , admet deux racines infiniment petites, monotropes par rapport à u et du degré deux , est décomposable en
deux équations» Tune du premier degré, Tautre du second degré, ayant toutes deux des intégrales rationnelles. L'équation
qui» dans le voisinage du point a^ admet trois racines infiniment petites» monotropes et du degré deux, est évidemment décomposable en trois équations du premier degré, ayant des intégrales rationnelles. De même, l'équation
(74) U»-»-A(ii-a)(M-6)U»-»-C(M-fl,)»(«-6.)»(ii — fl')(ii-ft') = o,
qui, pour chacune des deux valeurs a^ et &i, admet deux racines nulles, monotropes et du degré un, est décomposable en deux équations ayant des intégrales simplement périodiques. L'équation
(75) U=»-f-A{M — fl) (11 — 6) U» -h C (m — «,)»(«—*.)'(" — ^i)'=o,
qui, pour chacune des trois valeurs a^ 61,^4, admet deux racines nulles, monotropes et du degré un, est décomposable en trois équations du premier degré, ayant des intégrales simplement périodiques.
Il est facile d'opérer cette décomposition. Commençons par l'équation (7a); si on la réduit à la forme dérivée
(76) U*-f- ii(M-+- a) U' -h (Ba' -4- B, M 4- B0 = o,
les conditions pour que le polynôme f soit earré parfait sont
et l'équation devient
ou
La décomposition est évidente.
AOi LIVRE V. - CHAPITRE IV.
Considérons maintenant Téquation (75), et désignons par QJ son dernier terme. On doit avoir
d'où
les deux facteurs du premier membre de cette dernière égalité étant premiers entre eux, il faut que l'on ait
B étant une constante; on en déduit
et l'équation devient
(77) U' + A(«-«)(«-6)U'+rB'(«-a)'-3J^(«-*)*T=o. Posons, pour abréger,
Téquation est décomposable en trois équations du premier degré
a étant l'une quelconque des trois racines de l'équation a' = i . Si Ton réduit l'équation (74) à la forme dérivée
(78) U>-t- (m^ -4- A.M 4- A,)U^ -f- M^Btt» -h B,M -h B,) = o, les conditions, pour que le polynôme 9 soit carré parfait, sont
(79) F^-SÂÎ" — A..___- ..-^(A.-^^A.j\
Si le premier membre de l'équation (78) est décomposable en un produit de deux fadeurs rationnels
U -G, U^^-HUh H., G, H, H| seront des polynômes entiers en u, et Ton aura identiquement
H, =r-GH, G-j-H--a' hA,i/4-A„ G^H - m^(Bii' + B.// -hB,).
La dernière égalité exige que G soit de la forme gu^ g étant une constante; la seconde devient alors
gu ;(Ba'-t- B,« H-B2)r=i/' 4- A|M-h A,;
comme elle doit être vérifiée, quel que soit u, on doit avoir
B Bi . ^ A
Télimination de ^conduit à deux équations de condition qui sont satisfaites, grâce aux relations (79).
Équations trinômes.
