Examinons maintenant le second mode. Nous avons posé
(i5j U — cV=C(i — ^)(i — A-o:), U-e/V=:D(i-f-ar)(i-+-A-ar).
Pour que les polynômes U — cV, U — rfV aient la forme voulue» il est nécessaire et il suffit qu'ils s'annulent, le premier pour x = i et a? = t>
le second pour jc = — i et a? = — t» ou, ce qui est la même chose, que
les valeurs correspondantes de y soient j = c et j = rf. Il en résulte^ d'après l'équation (iS), les quatre conditions
--6 B / yi^-Tf y B / n^A- — w y
On en déduit
n'-^kV
//i^fr-f-yiy / /i^-f-/i y /n^A-— ny / 11^— A- \ \/n'A--h/n/ ""* \/n'+ m/ V/n'A- — m/ '^\m' — mj
et par suite
ra
il faut prendre le signe — devant les deux seconds membres, sans quoi on aurait A= i, U — cV et U— rfV seraient carrés parfaits; mais déjà nous avons supposé que les deux polynômes U — aV, U — 6V sont carrés parfaits; or il est facile de s'assurer que les quatre polynômes ne peuvent être à la fois carrés parfaits. On a donc
d'où
Aucune des deux constantes m' et n! ne peut être nulle; on fera pour
simplifier m' = n = i ; on a ainsi n = — m, A = m* ; on prendra m = ^f
n = — )Jk. Si Ton remplace m et n par leurs valeurs, les relations (a3) deviennent
€-b Hfi — )/k\ d^b Bfi^s/^\ On en déduit
Si Ton pose, comme au n^ 262,
H = v^( a - (/) (.c - 6 j, H' = ^/Î^T- c) ( rf - 6 ), on a
L'une des équations (24) donne le rapport
On obtient les deux rapports ~ ^^ t' ^^ remarquant qu'aux valeurs
a; = — I , a? = I correspondent respectivement les valeurs j = c/, j = c et comparant les expressions (12) et (i 5); on trouve ainsi
(2) C^ d^c (i-sfîcy D^c-d (i-Hv^)',
^^'^ A cZ-aaln-A-)' A"" c — a 2(i-t-/r) '
LES INTËaRALES ELUPTIQDES. 427
La formule de transformation est
sfk){i+x^')y
— ft c — b ["(l 4-
et Ton a {Fundamenta de Jâcobi)
(20) ^r^4v^./ÂB dx
Transformations réelles.
265. Lorsque le polynôme Y a ses coefficients réels, et que y varie
entre des limites telles, que v/±iY soit réelle, ce qui a lieu dans les applications, on cherche à opérer la transformation à l'aide d'une formule réelle, et de manière que le module k soit inférieur à l'unité et que x varie entre — i et -f- 1. Il y a plusieurs cas à considérer, suivant que les quatre racines du polynôme Y sont réelles, deux réelles et deux imaginaires, ou les quatre imaginaires, et que le polynôme, sous le radical, est précédé du signe H- ou du signe — .
Considérons d'abord le cas où les quatre racines sont réelles. Nous les supposerons rangées par ordre de* grandeurs croissantes, savoir : a<Cb<Cc<id. Nous opérerons la transformation par une formule du second degré, et nous adopterons de préférence le premier mode, qui est plus simple que le second (n^ 263) :
I® Soit d'abord à transformer -=• Pour que le radical soit réel, il
faut que y varie de 6 à c, ou de c/ à -+- oo et de — oo à a.
Dans le premier cas, nous prendrons les formules telles qu'elles ont été établies
le module k et le multiplicateur g sont réels, et le module inférieur à
l'unité. La formule inverse
(c — a)(r — b) c — af b — a\
déduite de l'équation (17), montre que, quand y croît de 6 à c, a: croît de o a I.
Dans le second cas, nous prendrons les formules que Ton déduit des précédentes, en permutant a et c, 6 et d\ le module et le multiplicateur ne changent pas; la formule de transformation devient
(32) jr=-. ' '
(c — «) — (rf — a)x'
La formule inverse
montre que, quand y croît de rf à H- 00 , puis de — oo à a, a? croît
