V ■^^ CL
de O à 1/^3-» puis de cette quantité à i.
2® Soit maintenant à transform*er ^ - Pour que le radical soit réel,
il faut que y varie de a à ft ou de c à rf. Dans le premier cas, nous prendrons les formules que Ton déduit de po) et (3i) par une permutation circulaire des quatre lettres a, è, c, d en sens rétrograde, en ayant soin
toutefois de multiplier g par sj— i ,
(33^ ^'=\/\c-a)\d^b)' ''■--'y\c-a)\dJ)' S=-J{c-and-.b),
Quand/ croît de a à 6, a; croît de o à i.
On obtient les formules relatives au second cas en permutant dans les formules précédentes a et c, h et d\ le module et le multiplicateur
ne changent pas; la formule de transformation devient
Quand y croît de c à rf, a? croît de o à i .
266. On déduit facilement de ce qui précède les formules de transformation relatives au cas où le polynôme placé sous le radical est du troisième degré; car l'expression
Y/^-\/HF(r-«)(r-6)(r-<^)(i-5)
se réduit à
v/=p(r~a)(jr-6,Ur~^) = V=FV,
quand d augmente indéfiniment. Il suffira d'introduire cette hypothèse
dans les formules, en ayant soin de diviser g par \[d.
Supposons les trois racines réelles et rangées par ordre de grandeurs
croissantes, a<ih <^c. i° Soit d'abord à transformer *^ ; pour que
le radical soit réel, il faut que j^ varie de 6 à c ou de — qo à a. Dans le premier cas, on emploiera les formules (3o) et (3i), qui se réduisent à
fr..^£zi*, k'-.:Jt=^. ^-i^F^,
Quandy croît de 6 à c, a? croît de o à i . Dans le second cas, on emploiera les formules (3o) et (32) ; le module et le multiplicateur sont les mêmes que dans le cas précédent; la formule de transformation se réduit à
.oov c — a ^ c — a
X* c — jr
Quand y croît de — 00 a a, o: croît de o à i .
2® Soit maintenant à transformer -^- Pour que le radical soit réel.
430 LIVRE VI. - CHAPiTRE I.
il faut que y varie de a à 6 ou de c à + oo . Dans le premier cas, on prendra les formules (33) et (34)* qui se réduisent k
1^1 *=V7=I' "^VBi' »=j^^«-
(4o) rz=:a-h{b — a)x\ ^'=^3^'
Quand ^ croît dea^b^x croit de o k i . Dans le second cas, on prendra les formules (33) et (35). Le module et le multiplicateur senties mêmes que dans le cas précédent; la formule de transformation devient
Quand y croit de c à + 00 » â; croit de o à i .
267. Considérons actuellement le cas où le polynôme du quatrième degré Y a deux racines réelles et deux imaginaires. Soient a et 6 les deux racines réelles, a étant plus grand que 6, c=a + ]3i, d=a — fii les deux racines imaginaires, j3 étant un nombre positif. Nous commencerons par opérer la transformation du premier degré la plus simple, celle qui consiste à faire disparaître les termes du premier
degré dans le polynôme X (n*' 261). On a posé, pour cela, y= ;
on détermine les deux constantes m et ii à l'aide des formules (i) et (2), qui deviennent ici
a-k- b — na
Pour effectuer le calcul, nous emploierons deux angles auxiliaires fi et <p2» définis par les formules
43) langç, = — — , iang9, = --g— ,
LES INTÉGRALES ELUPTIQUES. 431
et nous poserons
I ii\ / 9« "+■ 9> iy 9« ~~9>
Des formules (43) on déduit
a -h 6 a — b sinacp'
^ (a — 6)cos(pi cos<p, a — 6 cosay^ + cosi(^''
Les équations (4^) deviennent
tx / ., n- cosa©' COS29" ^ ' ^ ' sin2<p' sinaf''
•^ ' smatp'sinaf
d'où
, ,^. a-hb a — b , ,, a -v-b a — b . „
(46) m = langç langç' , n == C019' C019 ,
On en déduit
a — b cosot €L — b cosQi 2 cos 9' cos 9 2 sin 9' sin 9*^
, a — b COS91 , a—b COS91
2 COS 9' cos 9' 2 sin9'sin9
, ,, sin9' cos9i cos9j , . , cos 9' cos 91 cos9j
^ ' sin2 9''cos9' ^ '• sin29'^sin9'
, ., ,. (a — by COS9, COS9,
^ ' \ 2 / cos'9'cos'9*^
/ \f k\ (^^^V C0S9, COS9,
'^ ' \ 7. J sin'9'sm'9''
/ \/ ^\ I \7 /at / iNï COS'9, COS'9,
^ ' ' ^ / r \ / Sin'29 COS'9'
/ w ^v / X, o, / JL\, cos*9iCOs'9,
% /\ / \ / r \ / sin»29^sin'9'
La formule de transformation y = — — — devient
. , . a-h b a — 6 tang9' tang(p" -+- x 0019' 0019"
et l'on a
,,0% f^y 2 coiç'coscp" dx
^±:Y a — b y/ipcos<p, cos<pa v/(i — a:'cot*(p'cot^9'')(i 4- jc'coi'ç')
On effectuera une seconde transformation en posant (49) ^ = tang9' tangcp'' COS9,
ce qui donne
. g 4- fe a — b tang9'tang9" -f- COS9
^ ' "^ "^ a 2 1 4- tang9'lang9f COS9'
,- . rfr __..j \/ipcos9, COS9» rfj ^
V^±:Y P v^i — sin'9''sin'9
Si Ton pose enfin
(52) A- = sin9% g~ -— '^ — i A = tang9' langç*',
yzpcos9iCOS9,
on a
,^^, a 4- ^ a — 6 A-f-cos9
^ "^ 2 2 i-hAcos9
dr ifc ^9
\/±:Y g^i — /i^sin'9
et l'expression différentielle est ramenée à la forme simple des intégrales elliptiques (n** 230).
1° Proposons-nous d'abord de transformer l'expression » Le
radical n'est réel que si y varie de h à a. Appelons vj;, et 63 les angles
définis par les formules (43), et compris entre et h — ^ dans le cas
actuel, nous prendrons 9, = tj;^, (p^ = tj/j; de cette manière, cospi et
cosç)2 sont positifs, et le multiplicateur g réel; |3 étant positif et a
plus grand que ft, l'angle ç)"r=2iIlÎ3 est positif; puisque ^^^ = ^^^%
la constante h est comprise entre —i et -M. La formule de transformation (53) pouvant être mise sous la forme
iH- A ^ © . COS9, -9
I H r cor - I H ^ COt' -
I — A 2 COSCpi 2
on voit que, quand y croît de o à->y croît de 6 à a. On mettra donc le signe 4- devant le second membre de l'équation (54).
af^ Soit maintenant à transformer-^- Le radical.est réel quand j^
varie de a à -4- qo et de — qo à 6. Nous prendrons ici 92 = ^2 et (f^ = ij;^ h-tt; de cette manière, cosça étant positif, cosç), négatif, le multiplicateur g est réel ; la constante h est plus grande que i en valeur
absolue. L'angle 9" = - -4- ^'"~ est compris entre - et n. La formule (55) montre que, quand 9 croit de o à l'angle dont le cosinus est —T'y décroit de 6 à — qo , et que, quand ç croît de cet angle à tt,
y décroît de 4- qo à a. Il faudra mettre le signe — devant le second membre de l'équation (54).
268. Le cas oii le polynôme est du troisième degré et n'a qu'une racine réelle se déduit du précédent; car l'expression
se réduit à
quand a augmente indéfiniment. Il faudra diviser^ par v^ : on a alors tj;, = -, A = I, et, en prenant Ça = ^2»
,56) * = =ln(|±Ç), ,= y/j^.
434 UVRE VI. - CHAPITRB I.
La formule de transformation (5o) peut être mise sous la forme
a cos 9i sin' - -f- 6 cos çj cos' cos 91 sin* 2 -f- cosçi cos* -
si l'on remarque que a cos^f tend vers la limite + |3, elle se réduit à
ô CD
(Si) r=bqz ^ tang'--
269. Il nous reste à examiner le cas où le polynôme du quatrième degré Y a ses quatre racines imaginaires a = a -h ^if b = a — ]3i, c = y-h&i9 d = y — &i, |3 et î étant supposés positifs et a — 7 positif. Nous commencerons encore par effectuer la transformation du premier
degré en posant y = > de manière à faire disparaître les termes
du premier degré (n^ 261). On a
Posons
(58) iang<p.-^^, lang<p,=.^^, <p' = î^:tl!, <p- = îiZllS ^ ' ^ a — y ^ a — y ^22
nous aurons
«0082©'' ~hy COS29' a— y
m H- /l = ^^ > /W — /l rz; i ,
COSÇiCOSCp, COSÇiCOSCpa
a cos'co" — y sin'cp' ^ , , sincp' cos©'
C0S<piC0S<pa *^ " C0S(piC0S<p,
^ — asin'9"-i- y COS*©' ^ , , sin©''coso''
/i~ ^i^ '- ^5 d=^ioc — y) —9
COSCp, C0S(p2 ^ ' COSÇiCOSCp,
sin'©' ros'©'
(/n-«)*4-(3* = (a-yr f ^ , > (a- a)*-+ |3*:=i(a- y)' — , ^ • . ,
ros'©" sîn*©*'
' ' ' COS'cp, COS'cp, ^ '^ V '-^ cos' <p, COS' 9)3
dy COS 9' dx •
^Y "~ (^ COS 9" v/(i-t-x'coiY KT^TiÛângV ) '
Pour achever la transformation, on posera a; = — tangç' tang^, d'où
dy sin<p^ dcp
V^ Y ~" P COS9" I COS9.CÔS9, . , *
V cos'(p' cos*9" ^ Si Ton pose ensuite
/ft^\ #î * , /. , // COS9, COSQi ÔCOS9"
°^ ®^ cos*<p'cos*<p'^ ° sin9'
on a finalement
dy d(^
/Y g^v'i — A-'sin^ç
On prendra pour 9, et Ça des angles compris entre — - et H- -1 de
manière que cos^i et COS92 soient positifs. Le module k est moindre que I . La formule de transformation est
i-\-x sin2(p' 1 — tangf'tangf
Quand ff croît de à ç)', y croît de n à H- 00 ; ç croissant ensuite
de - — 9' à -9 y croît de — 00 a /i.
Remarquons que, dans les deux cas traités aux n^* 267 et 269, si Ton pose sin<p = / pour ramener l'intégrale elliptique à la forme canonique, les formules de transformation (5o) et (61) sont irrationnelles par rapport à /.
Les trois intégrales eU^tiques.
270. Après l'intégration des expressions rationnelles, les géomètres se sont occupés des expressions irrationnelles, et d'abord de celles qui renferment un radical carré. Lorsque le polynôme placé sous le radical est du premier ou du second degré, Tintégrale s'exprime par des quantités algébriques ou logarithmiques; mais il n'en est plus de même lorsque le polynôme est d'un degré plus élevé. Le cas où le polynôme est du troisième ou du quatrième degré donne naissance à une classe d'intégrales définies, que l'on a appelées intégrales elliptiques, parce qu'elles servent à l'évaluation des arcs des sections coniques. Le célèbre
théorème d'Euler, dont nous parlerons plus tard, a été le point de départ des recherches sur ce sujet. Legendre a découvert ensuite un grand nombre de propriétés de ces nouvelles transcendantes {Mémoire sur les transcendantes elliptiques, 1794); son Traité des /onctions eUiptiques contient l'exposé de ses propres découvertes et de celles de ses devanciers. Considérons l'intégrale définie
(!) J'F(r,^)rfr,
où Y désigne un polynôme entier du troisième ou du quatrième degré,
et F (y, y/Y) une fonction rationnelle eu y et v^. Cette fonction peut être mise sous la forme
M -f- M' y/Y (M + M' VY)(N-N'v^) P + PVY N-hN'^~ N'-N"Y - Q '
M, M', N, N', P, P', Q désignant des polynômes entiers en^; on en déduit
Jf (r, ^) dr ==fl dr +/^ ^r-
La première intégrale du second membre, portant sur une fraction
rationnelle, s'exprime par une fraction rationnelle et des termes de la
forme log(j — a). 11 reste à considérer la seconde intégrale, que l'on
écrit
F Y dr
Nous avons vu comment, par une substitution du premier ou du
second degré, on transforme l'expression -^ en une autre -=> où X
est un polynôme du quatrième degré en x de la forme canonique (i — ir^)(i — k^cc^). L'intégrale précédente se ramène ainsi à l'intégrale
f{x) désignant une fraction rationnelle en œ. Cette fraction rationnelle peut se mettre sous la forme
M.-f-M> __ (M. -hM>)(N. — 1S>) P. + y, a: N,-t-N>~ Nî-N^'o:» "" Q, '
M|, M',, N4, N'^, P,, F,, Qi désignant des polynômes entiers en x^. On a ainsi
r^. dx fP, dx rV\x dx
On obtient la seconde intégrale en posant x^ — x'\ car alors le radical ne porte plus que sur un polynôme du second degré. Il reste à étudier l'intégrale
/P, dx tir
271. La fraction rationnelle ^ peut être décomposée en termes de la forme Aa?*", n étant un nombre entier positif ou négatif, et en termes de la forme T^^nrjçn?» P étant un nombre entier positif. Considérons d'abord les termes de la première sorte. Soit X = A 4- Bo?^ 4- Ca?*. On a
(ara H- i)Aa?"-t- (an + 3)83?"+' + (a« + 3)Cx'»+' ^ It '
et, en intégrant,
-+-(an-4-3)C fî!!^^.
Quand n est positif ou nul, cette équation ramène l'intégrale
aux deux précédentes'
/a:2"+' dx r a:'" dx "7^' J 1^'
En opérant ainsi plusieurs fois successivement » on arrive aux deux intégrales
,^, Cx^dx rdx
Quand n est négatif, cette même équation ramène l'intégrale
x^ dx
aux deux autres
jt'"-*-' dx r ar*"-^* dx
/x^'^' dx r "7^' J
et, après plusieurs opérations successives, on arrive encore aux deux intégrales (5).
272. Considérons maintenant les termes de la seconde sorte, on a
^ X)/\ v^ x{Bx -^ 9.Cx*) 2(/? — i)a:' v^X
' (x"-^h'y-' "" {x'—h')P-' "^ (x'-'h^y-'s/iî (a;'- A' y
__ {A-^iiBx'-h3Cx*){x'—h') — 2(p—i){Ax'-hBx'-^Cx')
Posons
A -f- 2Bx' -4- 3Cx'~ A, -4- aB, (jr^— /«') + 3C{x' — //»)',
les deux constantes A| et B, ayant les valeurs
A,— A H-2BA'-i- 3Ch\ B, = B-{-3Ch\
Si Ton multiplie les deux membres de cette égalité par 2xdx^ et si Ton intègre, on obtient
A:r'4- Bx'-^-Cx' = E-{- A, (x'— h') -f- B,(^=— /i')=^ -4- C(ar'— A')S
LES INTÉGRALES ELUPTIQDES. 439
en posant E = h' (A 4- BA* + CA*). Il en résulte
f2/> — 4)B, (ap — 5)C^
et par suite
:^ TTT = (2W— 2)E I :i 4-(2p— 3)A, j - --
Si la constante E n'est pas nulle, de cette équation on déduira la première intégrale en fonction des trois suivantes, et, comme l'opération peut être continuée jusqu'à ce que l'on ait /> = 2, on arrivera à l'intégrale
et à d'autres de la première sorte, se ramenant, par conséquent» aux deux intégrales (5). Si l'on avait E == o, l'équation se réduirait à
'^"-^'-'isr^ - (V- ^'^/iï^vr
Nous remarquons que la constante A| ne peut être nulle en même temps que E; car on aurait alors B^— 4AC = o, et le polynôme X serait carré parfait. La relation précédente ramène l'intégrale cherchée aux deux intégrales (5).
En résumé, l'intégrale
jF(r,VY)d>'
est ainsi ramenée aux trois intégrales
/dx rx^dx r dx ^X J 'W' J {x^-h^)^x'
A la place de la seconde, Legendre considérait l'intégrale
I ^X dxy
qui s'exprime aisément à l'aide des deux premières. V intégrale de première espèce
(lO)
r^ dx
""Jo v^(i — ar>)(i— k*x^)
est l'inverse de la fonction elliptique x '^\[z^k). A chaque valeur de X correspondent deux séries de valeurs de z de la forme
Intégrale elliptique de seconde espèce.
