Si l'on pose u = X(jz), on a

dz

du ^i(i-h /,« ) lû : - A » u'

Le second membre est développable suivant les puissances entières de Uy pour les valeurs ayant un module inférieur à i ou au module de t* On obtient ce développement à Taide d'une formule

établie au n^ 97. En remplaçant, dans cette formule, z par ku^ et posant a = - ( * H- ^ j » on en déduit

et, par suite, en intégrant, Nous représenterons cette série par

(2) 2 = M-i- rt,MM- «,«*-+-. . . .

Un coefficieni, quelconque

2/l-f-ll.2...W 'X 2 /

est un polynôme entier en k^ pair, réciproque et du degré 2n. Les premiers cociîicients sont

i5a^ — qa ,.

io5a«-90«'-i 9,, 9'''- 1.9.34 '

lia,— ^ ^-y-^ As

^ io395a*— i4i75a^ + 4725a*— 225 -^

En remplaçant ka par ^» on a

ôtti r- ,

^ S + aA-'-hSA-^

i5 -+- o/f' -h qh* 4- iSk*"

io5 -h 60/f» -f- 54^-^ -+- 6oÂr« -t- io5A" »^*- 2.476.8 '

945 + 525 /i ' 4- 45o /i^ -f- 4^Q /» " -^ 525/i*4-945fr'«

ï I a^ — •" 7~~r ii

Du développement |)récédent on déduit celui de :;", suivant les puissances de u. Si Ton pose

(4 ) z" ---^ f/" -I- flv;') M"-4-- } . a^n ) ,^«4-« ^ ^

on a, en efiet,

(5) „(•)...'.__ rnvff y 1 ,

- étant une fonction de u^ donnée par la série (a).

Déi^eloppement des /onctions elliptiques.

281. Les fonctions X(z), fJi(z), v{z), ayant les mêmes infinis, se développent en séries ordonnées suivant les puissances entières et croissantes de z, et convergentes dans un même cercle, qui a pour rayon la distance de l'origine au pôle le plus voisin. Lorsque le multiplicateur ^ est égal à Tunité et le module k réel, positif et plus petit que i, si Ton choisit les périodes comme nous l'avons expliqué aux n^' 228

et 229, le rayon du cercle de convergence est — .•

La fonction X(z) étant impaire, son développement est de la forme

De l'équation différentielle

on déduit

dz^ ^ dz

-7- = — (i -h k'—6k'ï?)-j- -}-i2A»X-|-, dz* dz^ dz

En faisant X = o, on obtient les valeurs des dérivées pour z = o et, par conséquent, les coefGcients de la série. Ces coefficients sont des polynômes entiers en k, pairs et à coefficients entiers. D'après sa définition par l'équation différentielle (n^ 221), la fonction X(z) se réduit à sinjz, lorsque le module k est nul et le multiplicateur ^égal à l'unité; il en résulte que les premiers termes de tous les polynômes, ordonnés par

rapport aux puissances croissantes de k^ sont égaux à runité» ce qui est d'ailleurs évident par le calcul lui-même. La relation

établie au n® 234, fait voir que le polynôme 9,n satisfait à la relation

(7) «.(A-l^Ar^^'a^^^),

et, par conséquent, qu'il est de degré !2n et réciproque. Nous remarquerons encore la propriété suivante : si Ton pose

a:rr:^/2A-X(z), Ç = « v^aA",

la série prend la forme

2/r 1.2.3 (2/rj' 1.2.3.4.5

et l'équation diflérentielle devient

( I := I — OtX^ H T JC'.

d'où

-~" — OLX -f- — X^,

/ Z \dx

les valeurs des dérivées successives, pour x =■. o, étant des fonctions

entières de a, à coefficients entiers, on en conclut que ^^ est égal au

produit de {2k)" par une fonction entière de a, à coefficients entiers.

Du développement précédent on déduit celui de X"(z), suivant les

puissances de z. Soit

~ étant une fonction de z^ donnée par la série (6).

La formule de Lagrange établit des relations entre les coefficients des séries (6) et (8) et ceux des séries inverses (a) et (4). D'une part, si l'on regarde u comme uiie fonction implicite de z^ définie par l'équation

Ur^ z - — - î

dans laquelle - désigne la fonction de u, donnée par la série (a), on a

(lo) «, = (-

lyVj)''' — î — 1 ,

[-{jrL

n-i)«rD'' — ~ — n •

D'autre part, si l'on regarde z comme une fonction implicite de i/, définie par Téquation

dans laquelle - désigne la fonction de z, donnée par la série (6), on a

(i2) aj,--^

iS6 UVRE VI. - CHAPHRB U.

282. Le développement de la fonction paire ii(z) est de la forme

(«4) fx(z) = i -». — + », — ^-. .•

De l'équation différentielle (n*^ 159)

^^Vri I - Ar' -h ( 2 A» - I ) |x» — A->^ on déduit

^=(2A-^-i)^-2A-v>, ^^.[,^(,^):^6*Vi-fx')]^-3(2^)v(gy,

en faisant /x = r, on obtient les valeurs des dérivées successives pou^ z = o et» par conséquent, les coefficients de la série. Ces coefficient^ sont des polynômes entiers en k^ pairs et à coefficients entiers. La fonc — tion |tJL(z) se réduisant à cosjs, lorsque le module k est nul, les premier^ termes de tous ces polynômes, ordonnés par rapport aux puissance^ croissantes de k, sont égaux à l'unité.

Remarquons que les valeurs des premières dérivées sont des fonc-^ tions entières de 2^, k coefficients entiers, et que la même propriété S9 continue, parce que la quantité i 4- {^ky — 6*^(1 — jx*), qui entr^ dans l'expression de la seconde dérivée, se réduit à i -h (2*)* et sa dé — rivée à 3(2/î)^, de sorte que, dans le calcul ultérieur, les coefficien de tous les termes^ à partir du second, seront des fonctions entière de 2^.

Le développement de la fonction paire v{z) est de la même forme

(i5) v(z)= 1 —S, hS, 5— r — • • • ;

l'équation différentielle

rôle que la quantité w dans celles de la fonction proposée ).(s). Déterminons la constante A, de manière que la fonction tp ait une valeur

égale à Tunité pour z -: — >— • De la relation

z^-——y{z)z=--^ (n»77), on déduit

d'où

on fera donc

A =^ A- - ik'.

De cette manière, la fonction ^(z) est une fonction X, admettant les périodes elliptiques (ù -4- o', o', au lieu de 20), o)'. Si Ton désigne par g^ et A| le multiplicateur et le module de cette nouvelle fonction X, on a

g^, = A = A* — ik\ kt= -^ = k — ik'^

et l'on obtient ainsi la formule

(,7) x[(/r-i70^, Jl±^|;]=(/r/^')

'U\ M^> k)v(Zy k)

li{z, k)

On en déduit

(.8) /.[(A-//.')^. /r3i7^J--('^--''^)-%-(7rA-r-'

et, en changeant le signe de i.

la combiaaison de ces deux relations donne

{k-^ih')f.^(k~ih')z, —%]

r k— ik' n

-h {k - ik')(i Uk -t- ik')z, /^r^rfp\ = **>(^» *')•

Si l'on pose k = cosy, cette dernière équation prend la forme

(21) cT'p.(-3C'-ï'*,c'7*) 4- c~ï'|jt(2eï*, e~^') = 2C0syfx(2, cosy).

£n remplaçant les fonctions /x par leurs développements en séries, on reconnaît que le polynôme f8„{k)9 pair et du degré 2n — 2, satisfait à la relation

(22) c<»"-')T'"5Bi,(«""*T') -f-e-("-')T'g3„(e-if')=i:2COsyg3,(cosy).

Soit

(23) a9«(A-)=:6o-+-6,(2A-)>-4-ft,(2/i)*-+-...-f-ft.-,(2A-)"-S

la relation précédente devient

(24) V 2^b^ cos ( 2/1 — 47 — I )y — V 2Vft^ cos^''+' y.

Si Ton remplace les puissances de cosy par leurs expressions en fonction des cosinus des multiples de Tare 7, expressions données par la formule

2Vcos''"*"'y ==cos(2p -+■ ijy h — ^ cos{2p — i)y

-I —J- '—^ cos{ip 3)y 4-. . .4- — ^- ^^- ' cosy,

Cl, si l'on ordonne le second membre par rapport à ces cosinus, on la transforme en la suivante :

(25) \ 2»î6yC0s(2/i - 4?— ')y "^A, \^P^ i ^f^'

Cette égalité devant avoir lieu, quel que soit y, les coefficients des mêmes cosinus dans les deux membres doivent être égaux entre eux. A une valeur donnée de p correspond pour q Tune des deux valeurs

^'~ P~ \ ? — £, suivant que le nombre a/» — 4^ — i est positif ou

négatif; on a donc

(26) TT'P-'bnj^ OU 1l'^-^Pb^^=bj,-h^^^ b

f-hi

En attribuant à /? les /i valeurs décroissantes n — i, /*— - 2, /i — 3, n — 4f • > Oy on obtient ainsi un système de n équations linéaires et homogènes

bo = bn-i,