De la formule (2^2) od déduit les suivantes
/ rx ^ rwf w'\ 6! (a) I, e,(a — Z)
^ j \ 2/ 6, (tfj 2 ^0, (an-z)
et celles-ci donnent
n (z,rt-f-- ) — n(;5,a)i=-s--i— ' -f- -log -^^ ^,
\ 2^ ^ ' ^ v(a) 2 ^ v(a-f-;îj
(,6). j n^z,a + -)-n(.,a):..Zj^-f-.Iog5A^^
Si, dans la formule (22), on permute les lettres z et a, il vient
«/ X 0'{z) I, 0fa-z) n {a, z)~a -^f-^ -4- - log -^-^ -S
d'où
Cette dernière relation effectue la permutation du paramètre et de Targument.
De la formule (22) on déduit encore la relation
que l'on met sous la forme
L'intégrale de troisième espèce n (z, a)» qui dépend des trois quantités kj a, z, s'exprime ainsi par une somme de fonctions dont chacune ne dépend que de deux quantités.
278. Dans l'intégrale (21), représentons le dénominateur pa I 4- n'k^{z)^ c'est-à-dire posons n = — k^X^ {a). Si la quantité donnée est réelle, le module k réel, positif, et moindre que l'unité, et qu'or» veuille calculer a, plusieurs cas se présentent : i^ si n est positive.*
on posera X^ {ai) = ^ j-^y a étant réelle et positive (n® 236), et Fin — tégrale sera représentée par TL{z,ai); 2^ si n est comprise entre (^ et — *', on posera X^(a) = — 7^, a étant réelle et positive, et l'intégrale sera n (z, a); 3** si n est comprise entre —P et — 1,' on posera X*-* (ai H- - jzz: — ^, a étant encore réelle et positive (n® 225), et
l'intégrale sera n Iz, ai h- -V, 4® si n est comprise entre — i et — x ,
on posera X^ f a -h — )= - tt,' a étant toujours réelle et positive, ce
qui donne l'intégrale ulzj a -h—V D'après les formules (aS), le troisième cas se ramène au premier, et le quatrième au second ; et, par conséquent, dans l'intégrale de troisième espèce, lorsque la quantité n est réelle, on peut supposer le paramètre a réel ou de la forme ai, a étant réelle.
Considérons le cas où la variable z est réelle. Si le paramètre a est réel, le second membre de l'équation {21) ne contient que des quantités réelles. Si le paramètre a est imaginaire et de la forme a'i, d'après la définition, la fonction II est imaginaire et de la forme Ai; les termes du second membre présentent la même forme, mais chacune des deux
LES INTEGRALES ELLIPTIQUES. 4i9
fonctions ô(a— z), 0 {a -h z) dépend de trois quantités réelles distinctes k, z et a'.
Considérons maintenant le cas où z est imaginaire et de la forme yi. Lorsque le paramètre a est réel, ce cas se ramène au précédent par la permutation du paramètre et de Targument. Lorsque le paramètre a est imaginaire et de la forme a'i, les deux fonctions 0 {a— z), Q{a-+- z) sont de la (orme Q{bi), & étant réel, et on les obtient sans difticulté.
Remarques sur les périodes.
279. Considérons deux périodes correspondantes quelconques Q et îli des intégrales elliptiques de première et de seconde espèces; ces périodes sont les intégrales déGnies
relatives à un même cycle partant de l'origine et y revenant; ce sont des fonctions du module k qui ont pour dérivées
dH , r xUlx ^ , r x^dx
De l'égalité
ùkX "" àx (i--/i»x') Aj: '
on déduit par l'intégration
(3o) ^=^jû i2.).
On a d'ailleurs
d'où
(3t) î§:-.^fi2-(2-A.)i2.],
450 LIVRE VI. - CHAPITRE l.
Des deux équations différentielles simultanées (3o) et (3i) on déduit les équations différentielles du second ordre
auxquelles satisfont séparément les périodes û et ûf .
Si l'on considère en particulier les cycles qui se rapportent à un couple de périodes elliptiques 2 w, w' de l'intégrale de première espèce, il résulte de ce qui précède que les premières périodes 2 gj^ 20)4 satisfont aux équations différentielles simultanées (3o) et (3i), ainsi qu'aux équations du second ordre (3a), et que les secondes périodes «', (ù\ satisfont aussi à ces mêmes équations. En remplaçant dans les équations
doy k . . d(xi' k . , ,.
(k)f et (ù\ par leurs valeurs données par les formules (i4)» on obtient les deux équations différentielles du premier ordre
^^^^ dk-kk'^\: JW)\'
auxquelles satisfont co, 0»'; on en déduit
