La fonction paire
F(z) = ii{z + t)-^-li{z-t),
qui admet les périodes 2a), o) -f- (ù\ comme la fonction [i (z), et a les quatre infinis z = zt — zp / des deux fonctions |x (z h- /) , |x (z — /),
est aussi du quatrième ordre; les zéros sont ifc-etiii— -, les deux
premiers sont les zéros, les deux derniers les infinis de ii{z). Diaprés le même théorème, cette fonction paire est égale à une fraction rationnelle du second degré en [i{z). La fonction s*annulant quand fii(z) devient infini, le numérateur est du premier degré, le dénominateur du second degré; la fonction s'annulant avec fJi(z], le numéra-
5i0 UVRE VIÏ. - CHAPITRE U.
leur ne contient pas de terme constant; on a donc
En faisant :; = o, on détermine la constante Â'= 2[i{t). On obtieol ainsi
Considérons maintenant la fonction impaire
qui admet les quatre zéros o, w, di -' ^, dont les deux premiers sont
ceux de X(z), et les deux derniers ceux de v{z). La fonction paire
qui admet les périodes w, w' et les deux infinis z = ±1^ -i- A, esldn
second ordre par rapport à ces périodes; elle a un zéro double js == — •
Elle est donc égale h une fraction rationnelle du premier degré en X^ (s), et Ton a
d'où
Aa(2)v(2)
En prenant la dérivée et faisant z = o, on trouve
d'où
ADOmON DES ARGUMENTS. 51 1
et par suite
Des deux expressions précédentes, on déduit la formule
(.9) l^iz + l)- ^j^__^
On arrive, de la même manière, à la formule
(20) v{z-^t)^ i-A-a'(^)XMO
Ce mode de démonstration des trois formules relatives à l'addition est dû à M. Liouville.
Addition des arguments dans les intégrales elliptiques
de seconde espèce.
324. Nous avons trouvé (n° 273) l'expression de l'intégrale de seconde espèce par la fonction 9, savoir
ç(^)=jr^M^)rf^-^[^Ç(§^-Djog0C3)].
En remplaçant, dans cette formule, z successivement par z + ^ et par z — /, on a
.?(« + 0 = jJt [(' + oÇ^ - i).ioge(z + 0].
d'où Ton déduit
(2.) Ç(z4-0 + Ç(Z-/)-sÇ(2)--^D.Iog^i^±^^^l^-^^.
Pour transformer cette expression, nous nous servirons de la re-
312 UVRE VII. - CHAPITRK n.
lation
qui est Tune de celles du n^ 309, et qu'il est facile de trouver directement, en remarquant que la fonction
Ae'(z]-hBe]{z) e{Z'ht)e[z — i)
admet les deux périodes g) et (ô\ et disposant des coefficients A et B
de manière que le numérateur s*annule pour les valeurs z = ^ ± t
qui annulent le dénominateur; il suffît pour cela que ces coefficients satisfassent à U relation Aô^ (/) + Bd^(/) = o; la fonction est alors une constante; on détermine. ensuite le coefficient A de manière qu'elle se réduise k Tunité pour js=o, d'où A6^{o) = 6^{t) et, par suite,
B6^{o)= -^e;(0- Onaain^i
eHt)e^(z)--enne](z) 6(z-{-t)e{z-'t)e'{o) '
ce qui est la relation cherchée.
De cette relation, on déduit
en remplaçant dans l'équation (ai), on a
et, si Ton permute les lettres z et /, On en conclut
314 LIVRE Vn. - OIAPmE H.
On a ainsi la formule trouvée par Legendre
/ Q\ ¥T/ s \ -nt \ -n'ts X 'i 1 -^ k*'k(z)'k{i)'k(a)'k(z -^ t -ha) (a8) n(z + t,a)- U(z, a) - U(t. a) = ~\oe^ ^.^j^^j^j^^j^J;,;, ^ , „j-
326. L'équation (^3), dans laquelle on remplace js et / successivement par z -^ a, t-h b, et par a — a, / — 6, devient
on en déduit» en divisant membre à membre,
e(z^t — a'-b)e{Z'-t'-a'hb)e'{z-j-a)e'{t-hb) __ i ^ k*l^z — 0)1^1 - b)
et» en permutant les lettres a et 6»
En multipliant les deux dernières équations membre k membre, on a
/ e*{Z'ha)e*{z-\-b)e^t-ha)e^[t-^b)6'[Z'ht-'a — b) \ e*(z — a)e'(Z'-'b)6^t — a)6'(t-^b)e'{Z'hi-ha'hà)
^^^' ^ ^[i- k'IHz- fl)X»(/ -- ft)] [i - kn^z ~ 6)XM/ - g)]
~ [i — k'}?(z-h a)y?{t 4- fr)] [i — k^'k^(Z'\- b) y?(t 4- a)\
Si l'on fait 6 = o, cette équation se simplifie et devient
0^{z-\-a)B'(t-^a)B'(z-^-t-^a) [i^k'V(t)V(Z'-a)][\-k^V(z)'k^(t—a)] ^ ^^ e*{z-'a)e'{t'-a)e^z-^t+a) ~" [i — A^XH/)X'(«-f-a)][i — A'X*(z)X'{^-hrt)J*
On obtient ainsi Téquation
/o N Tw/ , X TT/ N n/, N 'i U ^k'}? (i)'k^Z'-'a)][i -k''k'(z)'k^t-a)]
327. Addition des paramètres. — En effectuant la permutation du paramètre et de l'argument, d'après l'équation (27) du n® 277, on a
n (2, a + i) - n(a-+- 6, z) = k'[{a -f- 6)^(2) - zZ {a -r- b)].
En remplaçaDt U{a-hb, z) et Ç(a-i-6) par leurs valeurs tirées des équations {a6) et (24), on arrive à l'équation
1 n (2, a -h 6} — n (z, a) — n {z, b) . (32) I xwi w . ix . ï, Ôf-84-fl)0(z4-&)0f2-a~6)
qui, à l'aide des relations (27) ou (3o), se met sous les deux formes
n(z, a-f-6) — n(z, a)— n(z, b) (33; \ \i \j \ y 2 ^i—/f»X(ajX(fcjX(z)X(a4-6 — 2)
328. Formules cÉrrÉRALEs. — Proposons-nous enfin de calculer la fonction II (z -1- /, a 4- b). Si, dans l'équation (32), on remplace z par s -I- /, qu'on substitue ensuite à II (2 4- /, a) et à II (z H- /, b) leurs valeurs tirées de l'équation (26), il vient
1^ 0(z + a)0fz4-6)gf/-f-fl)0f/4-6;Q(z-h/-a-&) ■^2^^Ô(z-.a;9(3-6)^(/~ajô(/-6)9(zH-/-+-a-h6)'
et, en vertu de la relation (129),
= ^h^{z^t)l{a)'k{b;l(a-^b) '' ' ^ , [i/f»X^(^-a)X^(/-&)][i-A-»X'(z-fr)X'f/-a)]
A l'aide de cette formule, le calcul de la fonction n(z, a), quand on attribue k l'argument et au paramètre des valeurs imaginaires quelconques, est ramené aux cas où ces deux quantités sont réelles, ou imaginaires et de la forme ai.
uvRB VU. - CHAPrraB m.
