X ->t- a=^a^ X — a:=b, y -{- zz^Cy jr-^ z = d
on aura
jr-ha = b', jr—a = a', z -h x = rf', z — x =z^ (/.
Dans chaque équation, les quatre facteurs du premier terme porteront sur a, b, c, d les quatre facteurs du second terme sur b\ a\ d\ — c'; afin de conserver Tordre alphabétique des lettres, on permutera dans le second terme les deux premiers facteurs enlre eux, ainsi que les deux derniers, en ayant soin, avant la permutation, de changer le signe de la quantité qui entre dans le dernier facteur. Dans le troisième terme entrent les quantités
que nous désignerons para", b% c'\ d\ De cette manière, dans chacune des équations, les quatre fonctions qui forment le premier terme por-
 cause de la symétrie des formules, il est clair que Ton peut permuter à volonté deux termes de Tune des lignes A, pourvu que Ton permute aussi les termes correspondants de l'autre ligne. Les relations ne changent pas.
313. En égalant de même les valeurs de (6262036,)" et celles de ( 6 6 Oi 6i )", on obtient les relations
(9) \ ^e^OtO 0 -{-{9,o,e,e,Y=^ 0,0,020, -^{OtO,oô)\
( 0 0 OrO,-h 0,0,00 =z{o 0 o,o,y-h{o,o,o OYy
analogues aux relations (3), par rapport aux deux suites de quantités
^ i (0,0,0,0,)', (0 0 0,0,)', {o,o,o,o,y, [0,0,0 oy.
On en déduit les formules
En égalant les valeurs de {O^O.OOy et celles de [OiO^OiOtY, on obtient les relations
. 0 0 oX -^{0,0, 0, o,y-z 0, 0, 0, 0, -r- [0 0 0, o,f (il) y-^ 0,0,0 0 -\- [0,0,0,0,]' ^ o,o,ojj, -^[o,o,ooy,
' 0 0 0, 0, -:- 0, 0, 0 0 :^^{o 0 0, o,y -}- [0, 0, 0 oy, .
analogues aux relations (3), par rapport aux deux suites de quantités
^^^ 1(0,0,0,0,/, (ooo,o,y, (0,0,0, o,y, (0,0,0 oy.
En égalant les valeurs de {0-^0.^0 0)" et celles de (62626,61)*, on
obtient lés relations
/ e e e,o,-h{e^o,o,o,y= 0,0,0,0, -h{ooo,o,y (i2) } =0,0,0 e -h {0,0,0, o,y= 0,0,0,0, -h{o,o,ooy,
L 0 0 0,0,-^ 0,0,0 0 ^.{0 0 0,0,)'-^ {0,0,0 oy,
analogues aux relations (3), par rapport aux deux suites de quantités
^ ^ 1 {0,0,0,0:/, (ooo,o,y, (o,o,o,o,y, {0,0,0 oy.
Dans les trois groupes de relations caractérisés par les dispositions (B), (C), (D), on peut, a cause de la symétrie des relations, permuter deux termes de Tune des lignes et les deux termes correspondants de la seconde ligne. La symétrie des formules (i) et (2) permet aussi de permuter deux quelconques des lettres a, b, c, d; ceci revient a changer Tordre des facteurs dans les relations précédentes. Nous avons ainsi toutes les relations où la même fonction forme deux facteurs d'un terme, et une autre les deux autres facteurs.
314. En égalant les valeurs de (SjSa^i^T ^^ celles de {OOtdzO^Y, on obtient aussi les relations
{ 0 o,o,o,-\'{o o,o,o,y= 0,0,0,0 'h{o,o,o,oy (i3) \-.:--o,o,o o,-h{o,o,o o,y=: 0,0 0,0, -h{o,o o,o,y,
\ 0 0,0, 0, H- 0, 0,0 0, -= {0, 0, 0, oy ~h{o,o 0, o,y,
analogues aux relations (3), par rapport aux deux suites de quantités
^^ ^ \ {0 0,0,0,/, {0,0,0, oy, {0,0,0 o,y, {o,oo,o,y.
On en déduit les formules
^{0,0,0,0 )'-- ^ 00,0,0,— 0,0,0,0 -h 0,0,00, -hO, 00,0,,
i{o,o, 0, oy-- 0 0, 0, Oi-h 0, o,OtO — 0, 0, 0 o,-h 0, 0 0, o„ \ ^(0,0 0, o,y -- 0 0, 0, 0, 4- 0, 0, 0, 0 4- 0, 0^0 0,— 0x0 0, 0,.
800 LIVRE VIÏ. - CHAPITRE I.
Chaque terme est formé des quatre fonctions 6. On obtient toutes les relations de cette sorte, en permutant de la même manière les facteurs dans tous les termes.
315. Si, dans les équations générales, on fait a: = y ^o, les douze fonctions d, qui entrent dans chacune d'elles, portent sur les quantités
Les équations de la troisième classe qui contiennent l'un des termes
6666, ôeSsÔs, 65 02 02, donnent
En divisant membre à membre les équations précédentes et celles que Ton obtient en remplaçant z par — z, on a
eia-^-z^eib-hz) __ eià) 0{b) 0[z)Q[a-\~b-\-z)-^Q, (a) 0. (b) 0, [z] g. fg -+- fr h- z) e\a - z) Q[b - z) ~~~ 6{a) 6{b) B[z) B[a-hb-Z) — Q,{a) 6,{b) e\z) e,{a-hb-z)
e{a) Q[b) e,[z) e,{a -f- & -f- z) -4- Q,{a)e,[b) Q,(z) 9,{a-hb^z) ~ ela) 0{b) 6,{z) 0,[a-^b — z) — 6,{a) e,{h) e,[z) e,{a-hb-z)
^ 0[a) Q{b) B,[z) e,{a-^b -f- z) -h OJa) e,{b) B,{z) Q,{a-^b-\-z) ~ Q{a) Q[b) d,{z) 6,(a-\-b — z) — e,{a) Q,[b) 0,(z) 0,(a -f- & — z)
Si l'on désigne le premier membre par N, on en déduit •
-if \\(k\^ } ^{^) N0 (a -f- i^ -- z) — g fg -f- 6 -f- z) ^^^ ^^"/r ^.(zj N0.(fl-h&-zj-f-0,(fl-h6-4-z)'
f ^. , , N /L^ __ ^•' ^3 (2) ^Qz{a-\-b — z) — 0,(a-^b-hz)
(i5j y^'''^^^>-^J^^^)^e^{a^b^z)r^O.{a-^b-^zy
f y(a)y(b) - k' ^^ N0,(g -f- 6 - z) - 0,(a -4- fr-4- z) l ^^"^n*';- /f ^^^^^ N0,(a-h6-z;^6,(a-h6-4-z)'
316. Ces dernières relations permettent de résoudre une question de Calcul intégral, intéressante par son analogie avec les fonctions abéliennes {Académie des Sciences; Savants étrangers^ i85i; Mémoire de Rosenhain). Les deux équations différentielles simultanées
/ du dv j
^' j r e'^a) ^ k^l(a)V{a)nn du ^ F e'ja) k'Kan'jdjvn dv
auxquelles on joint les conditions initiales u = Of v = q, Au= i, Ap = f pour x= o et j = o, Am et Ar désignant les deux radicaux
\/(f — tt*) (i — A'^M^j, v^(i — v'^) (i — A^r-}, définissent deux fonctions i^ et V des deux variables indépendantes x et y. On peut les mettre sous la forme
r"[6^ k'l{a)V{a)undu r''r^ k''kia)l'(a)vndv
Jo L 6(a)"^i-A^'V(a)«'jAa'^X L O(a)'^ i-kn* {a) v'JA^- ^'
Si l'on pose
^r"du f rdv
'^~Jo A"' ~Jo A»*'
d*oii u = X(z), ç = X(/), ces équations deviennent, en vertu de la formule (21) du n^275,
IZ-h t = x,
(•9) I e{z-^a)e{t-ha) ,.
En remplaçant a, 6, jz par z, ^ a dans les équations (i5), et remar-
on trouve X (a 4- 6). On obtient ainsi les formules
..^ . ^,'kia)iJi(b)v(b)-^l{b)fjL{a)v(a)
(i) ln,(a~hb) =
(a)V(b) fi{a)iilb)'-'k{a)'k{b)v(a)v{h)
/^ , ^,y{a)y{b)-hma)Mb)iJL{a)iJL{b)
relatives k l'addition des arguments dans les fonctions elliptiques. Quand on connaît les valeurs des fonctions elliptiques pour les arguments a et b^ elles donnent leurs valeurs pour un argument a-hb égal à la somme des deux premiers.
A l'aide de ces formules et de celles du n^ 235, on peut, lorsque le module k est réel, positif et inférieur k Tunité, calculer les valeurs des fonctions elliptiques Xf^), ii{z)^ v{z) pour une valeur imaginaire z =x -^ yi attribuée à l'argument.
Les relations de seconde espèce conduisent encore plus rapidement à ces formules. Considérons, en effet, les trois équations (n^ 310) •
e,[x -h a) Q{x — a)e^{o) 0,(o) == 0,(a) e,{a) 6 (x) 6t{x) -h Oiia) 0 (a) e,(jr)e,(*J, 6t{x -{-a)e[x — a) e,{o) 6 (o) = e (â) 0,(a) e^{x) 9 (x) — 0,(û) Q,(a) 03( jt) ô, (x), ei(x-ha)0{x — a)Oi(o)e {o) = 9 (a)9,(a)et(x)0 (jt) — 0,(a) e,(a)e,(x)0,(j?),
et divisons chacune d'elles membre à membre par la quatrième équation du n° 309
nous obtiendrons immédiatement les formules (i).
319. Les formules précédentes, dans lesquelles on remplace 6 par — i, deviennent
.... ix{a)tx{b)-^l(a)l(b)v(a)v,{h) {,) { i^[a-b)-- .^___^^^-. ^--^^ ,
. .. v(a)v(b)^hn[a)l[b)ij.(a)a(b) V (a — b) =:
On en déduit un grand nombre de relations, parmi lesquelles nous citerons les suivantes :
(fl-t-
-^-X (a — 6) — -4-|tx(a — &) =
2X(fl)jui(6)v(6)
:kix{a)ix(b)
2X(6)|Ul(g)v(fl)
i-A-»V(a)XMft) k'ii'{a)lj.'{b)-h/f'\
v(a — fr) -hfx(a — i)v(a -f- 6) = v(a — i) — /uifa — 6)v(a -h 6) = v(a — fr) 4- X(a — 6)v(fl-f-6) = v(a— 6) — X(a — 6)v(a-+- i) = fx(fl — 6)-+-X(a — 6)|:ji{a + 6) = li(a — b) — l {a ^ b) ij.{a -h'b) =
2fx(tf)v(a)fx(&)v(6)
2X(fl) V(fl)/x(6)
2X(a)/x(fl)v (6)
i-A-'X^iajXMft)'
2X(6)fx(6)v(a)
i-A-«XMû)XM*)'
Le groupe (5) résulte immédiatement des relations du n''309.
506 LIVRE VII. - CHAPITRB U;
La première des équations (4) peut être mise sous la forme
^a + b)-Ma-b) = jDAog-^^.^^^^^^^^;
on a aussi
X»(«4.6)-XMa-i)z=:-±D:;,log[i-/-V(«)X'(6)].
Jacobi s'est servi de ces dernières formules pour trouver les développemenls des n^» 285 et 286.
320. Si, dans les relations (3), on ajoute à a Tune des quantités—»
9 on obtient les neuf relations
lia-hà) X(a — 6)
li(a-hb) ik(a — b)
|ui(a -f- b) v[a -\- b)
lia
yyu -\- b)
li{a
lj.(a
__%l{a)ix(b)v[b) - V(a)--V(b) '
^ 2A'fti(a)/x(6) v^[a)v^[b)-'k'^'
iy{a)v[b)
~~ k''-hk'^'(a)ix'(by
:ïli(a)ix{b)v{a)v(b)
zk^lx{a)iJL(b)v{a)v(b)' v>(a)v'(&) — A^»
' nn)-rHb) '
/7' ^l?'i/}la)ij.\b) '
Les équations (4) donneraient, de la môme manière, neuf relations analogues aux précédentes.
321. Remarque. — Nous avons dit (n^ 260) que le problème de In
ADOmON DES ARGUMENTS. 507
transformation est de trouver une fonction y de a?, telle que l'expression différentielle -p» où Y désigne un polynôme entier du troisième
ou du quatrième degré en y, se transforme en un autre de même forme -^9 X étant aussi un polynôme entier du troisième ou du qua-
trièrae degré-en x. La formule X(z + /) =. liil^'^^hJ^li^l^jMl,
dans laquelle on regarde z comme une variable et t comme une constante, opère la transformation la plus simple. Si Ton pose, en effet, x = \ (z), ^ = X (z 4- /), et que Ton représente par a la constante X (/), cette formule devient
mais on a
dz=: J^ ., d(z-ht) = dz^ ''^'
dx dx
(II
Ainsi, quand on remplace 7 par sa valeur donnée par l'équation (10), la première expression différentielle se transforme en une autre tout à fait semblable. Cetle fonction y Aq x est Tintégrale de Téquation différentielle (11), à laquelle on joint la condition initiale y = a pour a: = o.
La découverte d'Euler, à laquelle nous avons fait allusion au n^ 270, et qui a été le premier pas dans Tétude des fonctions elliptiques, consiste dans rintégration , sous forme algébrique, de l'équation différentielle
, , dx dy
sj(\-rx^)[i'-k^x^) \J{\ — y'^)(y — k^r^)
La formule de l'addition donne immédiatement cette intégrale; car, si l'on pose a? ~X(z, A), j = X (/, A), l'équation précédente se réduil
à dz -h di = o; l'intégrale générale est z -h / = C, ou bien
C' et C étant des constantes arbitraires. En développant X(jz + <)y d'après la formule (3), on obtient l'intégrale trouvée par Euler
( 1 3 ) xy/ji — x^)(i—'k\r^ ) -h r s/(T^^* ) ( I — k^x^) __ ç/^
Autre méthode.
322. On peut obtenir directement les formules de l'addition sans recourir aux propriétés des fonctions 0. La fonction
dans laquelle on regarde t comme une constante et z comme la variable, est impaire et admet les périodes 2 g), ci>% comme la fonction X {z). Elle est du quatrième ordre; car elle a quatre infinis dans chacun des parallélogrammes^ du réseau construit sur les périodes» savoir les deux
infinis z = /, jz = w H t de \(z -h t) et les deux infinis
:; = - -h /, 2 = w H- — h / de X(z — /). Les quatre zéros sont o, w, — j
0) -h ~5 les deux premiers sont les zéros, les deux derniers les infinis
(leX(z). On a d'ailleurs /(w — :;) —/(z). D'après le théorème du n" 160, celte fonction est égale à une fraction rationnelle du second degré en X(:;). La fonction s'annulant quand X(z) devient infinie, le numérateur est du premier degré, le dénominateur du second degré; la fonction étant impaire, le numérateur est impair, le dénominateur pair. Le dénominateur, devant s'annuler pour les quatre valeurs de z, qui rendent /(5) infinie, est do la forme
00 a donc
On déterminera la constante A en prenant la dérivée et faisant :; = o, ce qui donne
d'où
On obtient ainsi
En permutant les lettres z et t^ on en déduit
En ajoutant ces deux expressions membre à membre» on arrive à la formule
/.fix ./, . ,^X(z)fx(/)v(/)-^X(/)fx(z)v(z) (15} l(z-^t)- ,-)^«V(^)V(/)
