OU
iO{z)
, , &)H-fi.)'\ - / 0)4-0/ C'a ( 2 H • J 6, I Z H
Nous nous servirons aussi, dans ce Chapitre, de quatre des relations du n*^ 309, savoir
j (j/z-\-a)OJz - a 0'{o) -^
1 0,{z -hàjO.iz - a,0'[o, : .
Oyz ■\ a)0, z — a)0'[oj --
-~0\{aj(j^{z'^-^0^{ajO][z), 0\{a)0^'{z)-fj\[a)(j\(z^, fj\{a)(j-^:z)~0\{a)0].z).
MULTIPUCATION DE L'ARGUMENT. 517
Multiplication par un nombre impair.
330. La fonction ô. [nz] admet les zéros zz=-. m- i- m' — > m et m'
, ^ ' un
étant des nombres entiers quelconques; elle satisfait aux relations
Bx{nz -f- /iw) =— Oi{nz)y Qx[nz \' n(,v)=z— e ** Bx[nz).
La fonction
forméo par le produit des n^ fonctions oAz -\- p- -F- y — ) > que Ton obtient en donnant n valeurs entières consécutives à chacun des nombres p et 9, admet les mêmes zéros et satisfait aux relations
y;(z + fo).::--/.(z),
Si Ton attribue à chacun des nombres p ^iq les n valeurs consécutives
les n^ valeurs de la quantité p- -^ g-^ étant égales deux à deux et
de signes contraires, leur somme est nulle, et la relation précédente se réduit a
De celte manière, le rapport 4k — -^ admettant les deux périodes w, w'
et restant holoinorphe pour toutes les valeurs de z, est une constante A, (n° 146), et l'on a
{nzi--.\,Jlû,{z-r-p^^-.-q^^
518 LIVRE VU. - CHAPITRE m.
Nous mettrons à part le facteur d| {z), qui correspond à/i = o, jr = o; puis nous combinerons» avec la valeur p = Of les valeurs positives
I , î2 , . . ., -^^^ de y, et avec les valeurs positives 1,2,.-., dep
les n valeurs o, ±: i, L. 2, . . =, ± ^^ ' dp q\ si Ton appelle a Tune
quelconque des "~ valeurs de la quantité p- -h g-- ainsi obtenues,
les autres valeurs étant respectivement égales aux précédentes et de signes contraires, on aura
e,{nz)-n$,{z) Il ^r^^^
Eq remplaçant le produit d| (z + a) 9| (z — a) par la valeur donnée par la seconde des relations (7), il vient
331. Les zéros de la fonction 0 (nz) sont compris dans la formule J8 = m -- -h (2m'-f- 1) — 9 que l'on peut mettre sous la forme
^ = — 4- m - -h m', — » puisque n est impair, m et m\ étant des nombres entiers quelconques; ils sont les mêmes que ceux de la fonction
formée par le produit des n^ fonctions 6 Iz ■+-/?- -^-q~h que Ton
obtient en donnant ta p et a q les mêmes valeurs que précédemment; d'ailleurs ces deux fonctions satisfont aux relations
0{nz -r- no)) f{z -f- m)
0(nz -^- n fW ) f(z -+- r»' ] - ;- ->/«*- 4- n- u*)
6 (HZ) f{z)
MULTIPUCATION DE L'ARGUMENT. 519
elles sont donc dans un rapport con^stant, et Ton a
En combinant les facteurs comme précédemment, il vient
Hnz)-Q{z)YY ^^
et, en vertu de la première des relations (7),
(9) Q [nz)Q'^^'^ (o) = ô (z) JI [0^ (z) - |f|^^ Q\ (z)].
On trouve, de la même manière,
(10) Q,{nz)B'^'-^{o)=Q,[z) \l ^Q^(z) - Iji^ Q] (z)J, (.1) ^4'ï-5)0"'-'(o)-^s(z)n[^M2)-|[||j^îw]-
332. Les formules précédentes, appliquées aux fonctions Al de M. Weierstrass, donnent
Al (««)= Al(z)JJ[Al'(i!)-/f'3l»(a)AI!(z)],
kUnz):r-.nkUz)W^kV(z) - ~- Ali C^)]'
kU{nz)== A],{z)YI[m' (z) - ^Mai;(z)J,
I A\,{nz) :- AU(z)JJ [aP(2)- A' ^^^ Al^ (z)l.
Les seconds membres sont homogènes et du degré n' par rapport aux quatre fonctions Al (2). On en déduit
Ar(z)
\ Al"" (5)
{$20 LIVRE Vn. - CHAPITRE m.
et Ton a
{i4) ^(nrjr- -^-> ^(/»3)^— p— > v(«^y--— jT--
Les lettres P désignent des polynômes entiers pajrs en X(z), et du degré n' — r .
Multiplication par un nombre pair.
333. Considérons d'abord la fonction 6, (nz), dont les zéros z = (2m -h I ) f- (am'-f- 1 ) — sont les mêmes que ceux de la fonction
où p etq reçoivent n valeurs entières consécutives. Si Ton attribue à 2/? -h I et à ay H-i les n valeurs impaires consécutives ±1, dz 3,. .,
di (n — i), les n'* quantités (a/14-1) h (^y-h i) — étant égales deux
à deux et de signes contraires» leur somme est nulle» et Ton a
9i{nz -f-nct)') f»(z-4- (ù') __ --*(«ii»«+ii«-o
e,(nz) f,(z)
La fonction holomorphe -]^-~7' admettant les deux périodes &>, w', est une constante, et l'on a
Si l'on combine avec les - valeurs positives de 2/> -i- i les n valeurs de iq f- r et si l'on désigne par a^ l'une quelconque des — quantités
( 2/? j- I ) f- ( 2 ^r 4- I ) - - ainsi obtenues, il vient
0jf«£) |-|- Q.(2H-<i,)Q,(^ — g.,) ■y,(o} "11 ôKflT,) ' '
et, en vertu de la seconde des relations (7),
334. Les zéros z := m — i- (2m' -h i) — de la fonction 0(nz) sont les mêmes que ceux de la fonction
où n valeurs entières consécutives de Tune des lettres p et q correspondent k chacune des n valeurs entières consécutives de l'autre. Nous attribuerons k ay-i-i les /i valeurs impaires consécutives ±1, ±3,..., dz (n — i), et à /? d'abord les /i — 1 valeurs consécutives o, it i , it 2, . . . ,
~ (a ""' 0' P^*^ '^ valeur - avec les valeurs positives de 2 jr -h i , et la
valeur avec les valeurs négatives de 2 jr 4- 1; de cette manière, les
n^ valeurs de la quantité p - -H (2 jr -+- 1) — seront encore égales deux à deux et de signes contraires, et Ton aura
0 (nz) = A JJe, f z 4- p ^ -f- (2g 4- i)^ j .
Si l'on combine avec les valeurs p = o et /i = - les - valeurs positives
de 2jr -h I, et avec les valeurs positives i, 2,..., i de/? les n va-
leurs de 29 4- i, et si l'on désigne par a les — valeurs correspon-
dantesde p~ + (2ûr -h i) — , il vient
6{nz) __ jj 0, [z 4- a) 0, (z — a)
et par suite
(«6) e(/iz)e'"-«(o) = jj[e'(3)-|ji^^jeî(z)]
522 UYRE Vn. ~ CHAPITRE m.
335. Les zéros de la fonction Q^ {nz) sont les mêmes que ceux de la fonction
OÙ nous attribuons k 2p -h i lesn valeurs consécutives ih i , ih 3, . . . , ±: (/i — i), et à q d'abord les /i — i valeurs consécutives o, ±: i,
dz 2, . . . , ± l I j » puis la valeur - avec les valeurs positives de
2/? ■+- 1 et la valeur — avec les valeurs négatives de 2/> -h i; on a, comme précédemment,
Si Ton combine avec les valeurs y = o et jr = - les - valeurs positives
de ay? H- I » et avec les valeurs positives i , :î, . . . , i de ^ les n valeurs
de 2/1 + 1 , et si l'on désigne par a^ les valeurs correspondantes de 21? -h i) h q—'i il vient
^ 'an * n
et par suite
336. Considérons enfin la fonction ôi{nz) dont les zéros sont les mêmes que ceux de la fonction
dans laquelle/? et q reçoivenl les ri* couples de valeurs entières coin-
et désignant par a^ les valeurs correspondantes dey? ~ -i- y~> on aura
et par suite 337. Ces formules, appliquées aux fonctions AU donnent
Al (nz) = IX [aP(z) - j[;j^, Alî(^)]
Al,(nz)=nAl(z)Al,(z)Al.(3)Al,(a)TTrAI'(«)-îî7^,Ai:(z)l, (•9) < ^ '^ -^
A1.(i»z) = ]][[a1'(z)-^^AIÎ(z)],
Les seconds membres sont homogènes et du degré n* par rapport aux quatre fonctions AI {z). On en déduit
K\{nz) -p^r X'(z)-| Ai"(«) ~11L X'(a)J~ '
Al Al
.(»')-TTr, ^•(^)'i p
et l'on a
Les lettres P désignent des polynômes entiers pairs enX(z); le poly' nôme P, est du degré n^ — 4> les trois autres du degré n*.
BIULTIPUCATION DE L'ARGUMENT. Îtt5
Méthode de calcul d'Abel.
338. Les quatre polynômes P renferment des systèmes de constantes telles que X(a), dont nous ne connaissons pas la valeur; mais on peut obtenir ces polynômes par un calcul de proche en proche, imaginé par Abel. De la première des relations du n^ 310, et des quatrième, huitième et douzième relations du n^ 309 on déduit, en remplaçant x et a par nz,
( M(2nz)=z:iAl(nz)A\{nz)AU(nz)AU(nz), A\{2nz) = AV{nz) — k'A]\(nz), ^^*' ^ AU{!inz) = A\\{nz) — k''Al\{nz),
AU{2nz) = A\l{nz) -h k'k''Al\[nz).
Des première, quatrième, huitième et douzième relations du n^ 309, on déduit de même, en remplaçant xeta par (/i + i)z et nz.
f Al[(2n-hi)z]Al(z) = A]][(n'hï)z]A\'(nz)-AV[{n-hi)z]Al]{nz), Al [(2n-f-i)z] Al {z) = AV [(n-f-ijz] AP (nzj- A-^AIJ [{n-hi)z]Al]{nz), AU[{2n-hi)z]Ah[z)=A\l[{n'hi)z']A\\[nz)-'k''A\\[(n^i)z]Al]{nz), A\,[(!in-hi)z]AU[z)=A\l[{n'hi)z]A\l(nz)-\-k'k''Al\[(n-\-i)z]A\](nz).
Faisons d'abord /i = i, les équations {22) donnent les quatre fonctions A\{2z); en les substituant dans les équations (23) et remarquant que les seconds membres sont divisibles respectivement par Alf (z), AP(z), . . . , on obtient, pour les quatre fonctions Al (3z}, des expressions entières contenant en facteur la fonction Al (z) correspondante. En faisant /i = 2, on obtiendra ensuite A\{^z) et Al(5z), et ainsi de suite. D'après ce mode de calcul, il est évident que les coefficients des polynômes, tels qu'ils se présentent, sont des fonctions entières de k^f ayant elles-mêmes pour coefficients des nombres entiers. Si l'on remplace AlJ{z) par Al*(z) - Al? (^) et A\l{z) par Al*(z) - A«Ai;(z), les coefficients conservent les mêmes propriétés. On pourrait aussi déduire de cette méthode de calcul les degrés des polynômes.
Une fois qu'on a trouvé de cette façon les expressions homogënes des quatre fonctions A\{nz), en les divisant par A1'''(js), on en déduit celles des quatre polynômes P. Ces polynômes entiers P, ordonnés par rapport aux puissances de ^'(^)» ont pour coefficients des fonctions entières de P, ayant elles-mêmes pour coefficients des nombres entiers. Si Ton remplace X'*(;z) par i — ii^{z) et que Ton ordonne les polynômes P par rapport aux puissances de fx^(^)» les coefficients jouiront
des mêmes propriétés; mais, si Ton remplace X*(js) par -^. -- et
que l'on ordonne les polynômes par rapport aux puissances de v^ {z), les coefficients cesseront d'être entiers en k^; chacun d'eux sera égal à une fonction entière de k^ divisée par une puissance de k^^ au plus égale à l'exposant de v*(js).
Voici quelques propriétés de ces polynômes; représentons-les par
\ P, = 2 A(,'"U2-(z) = IB^,"') |ut"-(z) riz 2C,'") v»"(z),
Concevons que l'on remplace k par t et 2 par ^js. D'après les relations
du n^ 234, la fonction X(js) se change en k\{z)f et les fonctions ii{z) et V {z) se permutent. En vertu des relations (9) du n^ 288, les expressions (i3) ou (20) des polynômes P au moyen des Al montrent que les polynômes P et P| ne changent pas, tandis que les polynômes P2 et P3 se permutent. D'après cela, les coefficients de ces polynômes doivent satisfaire aux relations
AC'")(fr) =: /r^-A^-) U\ , CC-Hk) r-. BC») ('^] , (9.5) j A["^(/r) = fr-A["^QV Cf"^(/r) = Bf'"^ (i
Ar\A')-A-Ar^(j)^ Cr^(/r)-B;-^(i), C:-^(yi-)..B^"^(i).
On en conclut que les coefficients Af"'^ A^^^ A^^\ A^^\ B^'"^ B^;'\ B^\ Ba'^ qui sont des polynômes entiers en k^, sont au plus du degré m par
528 LIVRE Vn. - CHAPITRE DI.
Considérons les quatre fonctions
AK(z)' '"'Al"'(z)' '""Al-'(z)' •""Al-'(«)'
que Ton obtient en divisant les quatre fonctions U par la même quantité Al''*(jz). Si Ton remplace Tune quelconque des fonctions U par sa valeur Yu"' dans Téquation (29 ), et si Ton tient compte de Féquation {^S)^ on a
,nj, <>logV ,, . , d'Iogu + an'kk"—-f w'(«'- 1) ^J =o,
et en mettaDt à la place de .*^f" sa valeur — **X* («) (n" 287),
(3o) ^21 + ^n'PLl2^ + k'zY^ +rtn'kk''^^ + n'{n'~i)k'ï.'{z)\ = o.
vZ \ (^Z J vZ an
340. Posons maintenant a; = — = y^X (z, A), et regardons V comme une fonction des deux variables indépendantes a? et ^; comme on a
D3 ~~ î)x D« ' Dz' """ 'bx* \^z ) bx ^z^ ' DV /m ^ Dx
Téquation (3o) devient
Les deux fonctions u et z^i satisfaisant à Téquation (128), on en déduit, par soustraction,
