OA

BfULTIPUCATlON DE L'ARGUMENT. 529

OU

et par suite

Grâce à cette relation, le coefficient du second terme, dans Téquation (3f), se simplifie, et l'équation devient

En remplaçant f r^j et y^ par leurs valeurs on arrive enfin à Téquation différentielle

On la simplifie un peu en remplaçant la variable k par là nouvelle variable a = i f A -+- i y, l'équation devient

(i - 2a:r' -h x^) — 4- 2(/i» - I )(aJ? - x") — (34) ( ,v

Les quatre fonctions V satisfont à cette même équation différentielle. 341. Supposons qu'au lieu de la variable x = -^ on prenne la va-

riable y —-^^ z=: i/pfx(z, A), la transformation de Téquation (3o)

s'opéfera de la même manière: il suffit, dans les calculs, de remplacer U| par u^ et x par y; on arrivera donc à l'équation

analogue à Téquation (3a}. Mais on a (n^ 159)

et réquation (35) devient

On peut encore effectuer la même transformation en se servant de la variable t — -- zi:^ -j^v[z^ k)\ on obtient Téquation

que l'on déduit de Téquation (32) en remplaçant x par /. Gomme on a

l'équation devient

83Î LIVRE Vn. - CHAPITRE Hl.

2menXf on obtient une relation linéaire

(2m -f- i)(im 4 2)a(""*''J -I- 4'w(/i'-- 2/n)aa^*^

4 (n*— 2m -f- i)(/i'— am -h 2)a("'~'>

entre trois coefficients consécutifs. Le premier coefficient a^^^ est égal à I ; en faisant m = o, on trouve a^'^ = o; en faisant m = i , on trouve

a^'^r= ^-:r-7 ^ï pUlS a^^^ = ^ T~fn\ ^ ^^ ^^°®* ^^ SUltC.

343. Nous allons maintenant distinguer deux cas, suivant que n est impair ou pair. Lorsque n est impair, d'après les équations ( i3), on a