Exemple V. — Considérons l'équation

a' 4- SzUi* — (z» — i)' — 42« — o.

La dérivée du premier membre par rapport a u est 3w(u-h22'); elle 8*annule pour u = — az^ et u = o. La première solution donne

[z^ — iy= o; mais les points a et rf' {/ig. 28), qui correspondent à j5 = ±:i, sont neutres, parce que, autour de chacun d'eux, les racines restent monotropes.

Pour tt r= o, on a (s^ — i)^ -h 4^* = o, d'où

il en résulte six points critiques autour de chacun desquels deux racines se permutent : deux, c et c', sont situés sur l'axe des j; les quatre autres, a, a\ b, h\ symétriques deux à deux par rapport à l'origine, aux sommets d'un rectangle.

Pour 5 = o, l'équation proposée se réduit a /^' — i = o, et admet les trois racines Mo = i. w, =y, Mo =^j^^j désignant l'une des racines imaginaires de l'équation y ' — i = o. Sur la droite finie ce', l'équation a une racine réelle u^^ et deux racines imaginaires conjuguées u^ et u^'j ce sont celles-ci qui deviennent égales en c et c\ et se permutent autour de ces points; ainsi chacun des lacets (c), (c') unit les deux racines u^ et u^. Le lacet (a') unit les mêmes racines que (a), le lacet [h') les mêmes que (6). La fonction algébrique devant acquérir au point z = o les trois valeurs i^o» ^m ^2» il ^st nécessaire que l'un au moins des deux lacets (a), [b) unisse la racine u^ à l'une des deux racines u^ et u^* Nous remarquons d'ailleurs que si, sur le lacet (a), on a 2 = a? -h yi, on a s = a? —yi sur le lacet (6), et par conséquent les trois valeurs de u sur le lacet [b) sont respectivement conjuguées de celles que l'on obtient sur le lacet (a); on en conclut que chacun d'eux unit la racine u^ à l'une des racines u^ et u^. Si le lacet (a) unit Uq et 1^1, le lacet [b) unira u^ et u^. On formera un système de lacets fondamentaux en prenant soit (a)J et (6)J, soit (a)J et (c)J, soit {b)l et (c)?.

Le point 0^ sur la sphère, est pôle pour chacune des racines.