Exemple II. — Considérons l'équation

• Pour s = o, réquation admet la racine simple m = 3 et deux racines égales à zéro. Afin de voir comment se comportent ces deux dernières racines dans le voisinage du point z = o, on posera u = vz^ ; l'équation devient

les deux valeurs finies de (^ sont monotropes dans le voisinage du point :; = o et ont pour valeurs approchées

les deux valeurs infiniment petites de u sont donc monotropes dans ce voisinage et ont pour valeurs approchées

Ainsi le point :; = o est neutre, relativement aux deux racines qui deviennent égales en ce point. Nous désignerons les trois racines par u^^ iii, u^t et nous les distinguerons par leurs valeurs approchées

llo ~~ 3, tli — -— » Wa — r:-

Pour chacune des six valeurs de z satisfaisant à Téquation z* = 4, l'équation admet une racine simple £^ -- — i et une racine double u = i.

Si Ton appelle «, Tune de ces valeurs de 2, et si l'on pose z = z^-h z', u = 2 + m', Téquation devient

les deux valeurs infiniment petites de u\ dont les valeurs approchées sont

se permutent, quand on tourne autour du point critique. Il y a donc six points critiques a^^ a^^ a^^ a^f a^^ ^5 {/^g* 2^)» situés aux sommets

d'un hexagone régulier dont le centre est Torigine. Imaginons ces points joints à l'origine par des lacets formés chacun d'un rayon et d'un petit cercle. Sur chaque rayon, les trois racines sont réelles, deux positives, une négative; chacune d'elles d'ailleurs conserve son signe; sur les rayons Oao> Oa2, Oa^^ la racine m, est positive, la racine Wj négative; sur les rayons Oa<, Oas, 0«5, au contraire, la racine W| est négative, la racine i^a positive. Quand on arrive près du point critique, les deux racines positives acquièrent des valeurs voisines de 2 et se permutent l'une dans l'autre. On en conclut que chacun des lacets (ao)« (^2)» (^4) unit les deux racines Uq et U^, et que chacun des lacets (aj, (a,), (a^) unit les deux racines Uq eti/,. Les deux lacets (ao)o» (^i)S forment un système de lacets fondamentaux.

Si l'on pose z = ~;i H = -» l'équation devient

iï*-\ z"— 3z'*n'—o.

Pour z' = o, les trois valeurs de u' sont égales à zéro. En posant

u' = vz'^^ on a

chacune des valeurs de v est holomorphe dans le voisinage du point z' = o. Ainsi, sur la sphère, le point 0' est pôle pour chacune des valeurs de u.

4-2. Exemple IIL — L'équation admet des racines égales pour les valeurs de z qui satisfont à Téquation

(z'— iy{z* — 2Z'-— l) = 0.

Pour J5 = ii= I, la racine double est m = i; si Ton pose z = :±\ -h z\ Il = I -f. m', Téquation devient

les deux valeurs infiniment petites de u' restent monotropes dans le voisinage du point z = i ou s = — i et ont pour valeurs approchées

ainsi les deux points 5 ==bi, que nous marquons c et c' [fig. 26), sont neutres. Il y a quatre points critiques donnés par l'équation 2* — 25'— I = o; deux de ces points a et a' sont situés sur Taxe des

Fig. 26.

X et correspondent aux solutions 2 = i y i H- ^2; les deux autres h et h* sont situés sur l'axe des y et correspondent aux solutions

62 LIVRE I. - CHAPITRE ni.

z = dz i y/y'a — I . En ces quatre points, la racine double est a = — i, la racine simple u = 2.

Dans le voisinage de Torigine, les valeurs approchées des racines sont

Wo = ^ -3', M, = — ^3 , M, — + ^3 .

Sur la droite finie bh-, les trois racines sont réelles, une positive, deux négatives; les deux racines négatives deviennent égales et se permutent autour du point b et autour du point b'; on en conclut que chacun des deux lacets [b) et {b') unit tes deux racines u^ et u,. Sur la droite finie aa\ les trois racines sont encore réelles; entre les points d et d\

qui correspondent ht z =± ^2^ deux racines sont positives et une négative; sur da et d'à', au contraire, deux racines sont négatives et une positive; ceci provient de ce qu'en d ou d' I*une des deux racines positives Uq eiUi s*annule et change de signe. Pour voir laquelle éprouve ce changement, considérons la dérivée

du 8z{i- z»)

(iz ~" 3(1 — u') '

et remarquons que u n'acquiert la valeur -+- 1 que pour z = ±1. Quand la variable z décrit ta droite Oc, la racine positive u^ reste comprise entre zéro et i; sa dérivée étant positive, elle croît de zéro à i; ayant

dans le voisinage du point c la valeur approchée Mo = 14- a i/^ (jc — i),

elle continue à croître et devient plus grande que i; la dérivée reste ainsi positive, et la racine i^o croit indéfiniment au delà du point c. On en conclut que c'est la racine 1^2 qui change de signe au point d; on peut d'ailleurs le voir directement; en eilet, quand la variable z décrit

la droite Oc, la racine 1^3 reste comprise entre v^ et 1; sa dérivée étant

négative, elle décroit de \/3 à i; ayant. dans le voisinage du pointe la

valeur approchée U2 = i — 2 i/| (s — 1), elle continue à décroître et

devient plus petite que r; la dérivée reste ainsi négative, et la racine u^ décroît de 1 à zéro, et de zéro à — i quand :; va de c en rf, et de d en a.

IjQ racine négative u^ décroit de — \/3 à — 2 quand z décrit Oc, puis

croît de — 2 à — I quand z décrit ca. Au point a les deux racines négatives M, et Ma deviennent égales et se permulent; au delà elles sont imaginaires. II résulte de ce qui précède que chacun des lacets [a) et (a') unit les deux racines u^ etMj- Les deux lacets (fc)J, [a)\ forment un système de lacets fondamentaux.

Sur la sphère, le point 0' est un point critique autour duquel se permutent tes trois racines. Si le lacet (0') passe entre les points b' et a, et est décrit dans le sens qui correspond au mouvement positif sur le circuit, il est l'assemblage des trois lacets binaires (0')2, (0')^, (0')^.

43. Exemple IV. — L'équation admet des racines égales pour les valeurs de z qui vérifient l'équation

[z* — iy{z^ — 1 — V^)(2^ — IH- V^j — o.

Les points Co, C|, Ca {/ig- 27) qui correspondent à l'équation 5' — i — o sont neutres, parce que les deux racines qui deviennent égales restent

monotropes autour de ces points. A l'équation s' = 1 -k \/2 correspondent trois points critiques Aq, ezi, as, situés aux sommets d'un triangle

équilatéral; a l'équation ;;• = — (y^a-— 1), trois autres points critiques 6ot ^o ^2f situés aux sommets d'un second triangle équilatéral.

Pour z = o, on a Wo= 55'f W| = — V3> "3 = V^. Sur la droite O&ot

les trois racines sont réelles, une positive, deux négatives; ce sont les deux racines négatives qui deviennent égales et se permutent autour du point bo; ainsi le lacet (&o) u^^it les deux racines Uo et u,. Les lacets {b^ ) et (^2) unissent ces deux mêmes racines. Sur les droites Oao» Oao Oa2f les trois racines sont aussi réelles. Marquons les points cIq, d^f d^ qui correspondent à i;^ = a. Sur O^o» ^^ux racines sont positives, une négative; sur ^o^o* ^^^ positive, deux négatives. On verra, comme dans Texemple précédent, que c'est la racine u^ qui change de signe au point d^\ on en conclut que le lacet [a^) unit les deux racines 1^, etua. Les lacets (ai), [a^ unissent ces deux mêmes racines. Les deux lacets (6o)ô' (^o)i forment un système de lacets fondamentaux. Sur la sphère, le point 0' est pôle pour chacune des racines.