De la relation

dOr ' dOr-t-l dOr^i n-r da^ ' dSr

on peut encore déduire d'autres propriétés intéressantes de

la fonction 9. Ainsi on obtient, en la multipliant par s^ et puis

en échangeant r et ^ en r + 1, {-{-l et en ajoutant

les équations jusqu'à i-\-n—r [45]

éftr%

Si on y suppose ^ = au moyen des équations [7] il viendra :

(*) Il BufiSrait du reste de faire 9 =s^y. dans Téquation [41].

De réquation [45] en posant i =: r = 1 on déduit encore [47]

ce qui exprime TéquipoUence de la fonction par rapport aux coefficients et par rapport aux fonctions s^ comme nous avons déjà appris (N. 11).

Posons r = l dans Téquation [46]; il viendra

dai ' ' f^i dan L dSi ' * ds^ ^ ' n-i(^»J •

Lorsque q> = s^^ tous le termes du second membre dispa-

ds raissent, excepté ^^^^i^i et on retombe sur l'équation [44].

i&. HaitièBie propriété. La fonction q> satisfait adéquation aiuc dérivées partielles

oà\. désigne généralement la fonction

DÉMONSTRATION. On a, cu effet,

dok dax dau da% , dau dan i

itoi aa* ' da^ dcLM dan dak

dak da% . rfa* efgj , , dau dan ^

SôT ^«< ÂS7 ^«< n~ • • • T" ^^^ ^^^ —

Donnons à Tindice l toutes les valeurs 1, 2, 3, . . ., n dans cette dernière équation, en la multipliant successivement par

FaX db Bbumo — Théorie dêt forme$ btnatrts. 3

a| , Og , «3 , . . . , a^ , et sommons. Alors, en ayant égard à la première de ces équations, il viendra

dai dat "« ^da^ -^rfa^ ' ' ' don dat ' »

Mais généralement

comme on peut le voir par Téquation [36] En substituant, on aura

équation importante trouvée par Raabe C).

Multiplions maintenant cette équation par -^ ^ et sommons toutes les équations que Ton obtient en faisant varier l'indice de t = l à k = n; il viendra l'équation susdite [49], en observant seulement que

dtp ddk d?<p

doLk ddi ddi

Lorsque ^ = 1, on aura, en supposant que p soit le poids de la fonction <p,

et conmle

il viendra

ce que Ton savait déjà.

(*) Journal de CrelU, Tome 48.

Pour <=0, on a

^et ron retrouve Téquation

Pour <=2, il vient car

Exemple. En posant q) = 2 «*?=—«!«« + 3a8, on aura

par la [52]

(-a\+2a.)^+(-a,a,+3a3)g+(-«t«3+4a,)g =2 (a\a,— a,a,— 2a%+4aJ +2 (a\ — 2a,a8+2a^ ),

et les valeurs entre parenthèses sont précisément les valeurs de 2 o^Pi 2 a«p*.

En posant i = dans Téquation [51], on retrouve Téquation [43]

et, si Ton pose a. = — — + i|i, il vient

Mais cette équation, en vertu de [40], revient à celle-ci:

doDC i|i sera une fonction des difiërences des racines. De là résulte cette propriété élégante» que toute racine d'une équation exprimée en fonction des coefficients aura la forme

^ + une fonction des différences des racines.

16. Après avoir exposé les principales propriétés dont jouissent les fonctions symétriques, nous dirons encore quelques mots sur une méthode donnée en peu de lignes par Gauss dans les Annales de Gôttingue^ i8î6, et à laquelle on peut avoir encore recours pour calculer les fonctions symétriques, méthode que nous avons été invités à faire connaître. Si à rheure qu'il est elle n'est plus aussi utile que les autres que nous avons exposées au point de vue de la rapidité des calculs, elle servira du moins pour l'histoire de la science.

Observons d' après lui que, eu supposant, ce qui est toujours possible, p > g > r >. . . , on pourra de la fonction So^'P^t'^. . . soustraire un produit des coefficients de l'équation proposée tel que dans la différence les racines n'existent plus à la puissance p. Il suffira à cet effet de prendre le produit a^'^a^'^^a^'*.,.

En effet on a, au signe près,

«r 4"<Ç • • • = (Zaf'U oP)^(2aPTr . . . ;

et par coiiséquent, comme dans ce produit, une fois développé, se trouvera évidemment comprise la fonction proposée Sa^pY—, il s'ensuit qu'on aura réduit cette fonction à une autre d'ordre moindre. En opérant sur la différence comme avant, on réduira encore celle-ci à un ordre moindre. On finira ainsi par tomber sur des fonctions symétriques linéaires par rapport à chaque racine, qui seront les coefficients mêmes ai, a„ a,,...; et alors il sera facile de trouver la valeur de 2 a'P^/. • . Exemple. Soit^ci'PT 1& fonction proposée. Le produit

cherché sera a^ a^ a^ =. a^a^\ et on aura aisément et successivement les équations suivantes

X à^prb — Z a Z oPt^ = — 5aPT^€ , ZoVt — I ap Z opT = — (3 Za»PT^ + 10 o»^ht).

De ces équations on tire tout à la fois

2 o^pri = — «,«4 + Sa» , 2 ct'P^T = — «1^8+ 3ai«4 — S^s» et enfin

(*) Noos bornons les calculs à af^h€, puisque nous savons maintenant, ce qu'on ignorait au temps de Qauss, que le poids est 5.

S in.

Fonction génératrice de Borchardt.