Si on avait à calculer la fonction symétrique <p (a
désignant une fonction entière de a d'un degré quelconque,
on pourrçiit se servir du théorème suivant dû à M. Cauchy. Théorème. La fonction symétrique 2 9 (a) étendue à toutes
les racines de f (x) est égale au coefficient de x" dans le développement de — rpj — .
DÉMONSTRATION. En cfiFet de l'équation
on déduit, en supposant 9 (a?) = e (^) (a?- a) -j- 9 (ce)
(*] Quelques-uns rattribuent À M.' Transon {Nouvelles annales de Mathém, t. 9)\ mais bien auparavant, en 1826, M. Cauchy dans un magnifique Mémoire inséré dans Bes Exercices de Mathématique, Tavait donné comme cas particulier de ses formules générales du Calcul des résidus»
V (^) désignant une fonction entière de œ^ d'où résulte évidemment la proposition énoncée.
Observons en passant que si Ton pose
on aura encore d'après la formule [12]
29(a)=— 2&^^D log(ao + aiy+ . . . .)y=o
ou bien, en posant ib^=V*
2q>(a) = -log(ao + a, &' + «,&'» 4-a3&'»+ . . . )
en supposant toutefois qu'après les opérations, on change
les exposants en indices, c'est-à-dire b^ en W^,
Ce qui précède suffit pour calculer avec assez de facilité n'importe quelle fonction symétrique des racines. Et Meyerhirsch {V. Sammlung von Aufgdben aus den Théorie der algebraischen Oleichungen)^ avec moins encore de ressources avait déjà en 1809 calculé toutes les fonctions symétriques jusqu'au dixième ordre. Mais depuis quelques années, grftce aux travaux surtout de Cayley et Brioscbi , nous possédons des moyens plus prompts et plus sûrs pour arriver au résultat, moyens fondés sur des propriétés nouvelles des fonctions symétriques que nous nous proposons d'exposer.
Dériirées partielles des fonctions symétriqtaes par rapport aux racines et aux coefficients.
8. Les dérivées partielles d'une fonction symétrique prises par rapport aux racines ou par rapport aux coefficients ou par rapport aux sommes $ ont entr 'elles des relations remarquables , qui jouent un grand rôle dans leur étude, et constituent autant de propriétés des fonctions symétriques que nous allons successivement démontrer.
Quatrième propriété. La fonction <p envisagée succèssivement comme fonction des coefficients et comme fonction des sommes s satisfaite Véquation aux dérivées partielles,
DÉMONSTRATION. On a eflFectivement
r^-^l ^^ dOi.da^ ^\É2 f?E?4 • ^ ^n ,
l^j ^^ ^^^ ^^ -f-^^^ ^^ -t-^^ ds ^ "'^ da de'
ddi das /la, dtti An^ ddi da^
[34] i :— î îz* J î z^ 4- J .* ?
^ ds dai rf* ' rfttj ds ^^ ' ' ' ^^ da ds '
D'ailleurs,
da
car j- se réduit au coefficient de j:;» - « dans l'équation
da
multiplié par — 1, produit marqué par le second membre (*). Au moyen de cette dernière équation, il viendra
le signe "Z s'étendant à toutes les valeurs entières de h depuis 1 jusqu'à n; ou bien, en faisant les sommes indiquées,
dSf.
^dSi
de là on- tire évidemment
ds r
pour i> r
da
ds
pour f = r
(fa
ds
pour f < r.
En ayant égard à ces valeurs , la [33] deviendra précisément la [32], qu'il s'agissait de démontrer.
Remarque. De l'équation [35] on tire cette autre qui nous sera utile dans la suite :
, ddi j^ [36] 2, ^- o, = - (s^^...,-i- a, 5^^ ..,+ . . . + a,, s^ ).
(*) Les eoefflcients a étant linéaires par rapport aax racines.
da Ta
représente le coefficient a. priyé de la racine a ou la combinaison i — 1 àt— 1 des racines excepté la a^, c'est-à-dire, le coefficient de aj"""^"^»'"'^
mnltipllé par
^-r := — 1 dans léqaation =: G.
En effet on a en vertu de Téquation citée, en la multipliant par a^ et en sommant pour toutes les valeurs de l'indice l.
"2— a* = dai '
dont le second membre est identique avec celui de Téquation précédente.
O. Cinquième propriété. En désignant par p la somme des exposants des racines dans la fonction <p, on a:
[37] pfp^
3^3 . . . pOp
^'dsi
dSt
Ot ■ • ' %i
dSi
^^ dtp
Dbmonstbation. Par suite de réqaipoUence de la fonctioq <p, on a
et réquation [32], en y faisant successivement i(* = 1, 2, 3, . . . p, noos donne les équations suivantes
En éliminant -^^ -^ * • • ' ^ de ces équations et de
la [38], on obtiendra la formule [37].
Cette formule n'est que Téquation [21] sous une autre forme. Ainsi, elle n'est pas plus propre à faciliter les calculs des fonctions symétriques. Au contraire, la relation [32] et ses semblables, qu'on en déduira en faisant varier l'indice, peuvent utilement servir à déterminer les coefficients numériques de la fonction <p, une fois que sa forme nttérale aura été écrite d'après la quatrième propriété.* Nous empruntons à ce sujet un exemple au mémoire de M. BrioschiC*), à qui l'on doit les deux théorèmes ci-dessus.
Application. Soit à calculer la fonction <p = 2 a\ a'^ a, , en fonction des coefficients. La forme littérale sera:
9=Aai*aj-|-Ba|*ae+C«i*aîÛ4+D«i*«5*+Eaia7+Faja,a5+
Ga,a,a4+I«t« V4+Ha,ae-f-Ka*ta4+La3a5+Maja*3-f Na^+Pag .
L'expression en termes des sommes $ est d'abord
<P = SiS^S^ — 5*4 — ^3^5 — S^S^ -f- 2^3 ;
d'où
^ as, dSi ds-i dSi
C) AnnaUs de Tortolini - Rome 1854.
fonctions que nous supposons connues d'avance. Alors les équations que Ton déduira de la [32], à savoir :
dtp . d(p I rf<p , ^^ dqi , ^ dtp -.
^ + a,jL4-... + a, 4^ + 4^ = 0,
rfa? ' d<h dsn '
fourniront les équations de condition entre les coefficients indéterminés A, B, C, . . . propres à les déterminer. En profitant ainsi de ces relations et des tables, page 27 e 28, on aura les équations
d'où A=4, B = --9, C = — 1, D=— 2, E = 9, F = — 10,
MO. C'est à l'aide des diverses méthodes,que.nous avons exposées jusqu'ici que nous avons calculé, déjà en partie en 1856, les valeurs de quelques fonctions symétriques, que nous réunissons ici dans deux tables pour l'avantage des lecteurs.
Table des fonctions $ pour les dix premiers degrés
(on suppose Oq = 1).
5s = — a', + 3aj a, — 3a,
^4 = a\ — 4a*i a, + 4ûît «s — 4a4 + 2aV
5j = a*i + 5a'| a*, + 5a|a4 — Saaa'i — Saia*, -i-^a^a^ — Sa^;
5, = a*, — 6a\ a, -f ^'t ^a — ^^S ^4 — 12ai a, a, + 6a, a^ + 6a, a» — 6ae + 9a\ a\ — 2a% + 3a*8,
+ 21a*, a, a, — 7a*, a, — 7a, a*, 4* '^'t ^4 — l^i ^i «4 + 7a, a4 — 7a*, a^ + 7a, a^ + 7a, a^ — la^.
— 16a, a^a^ + 8a, aj — 8^*, ac-f-8a, ae + 8a,a7 — 8a,,
— 18a*, a*, — 27a, a, a*, — 3 a*, + 9 a*, a4 — 36a*, a, a4 + 27a,a*,a4 -|-27a*,a,a4 — 18a, a, a4-- 9a,a*4— 9a*,a5 + 27a*, a, a, — 9a*, a» — 18a, a, aj + ^^^4 a» -|- 9a*, a,
— 18 a,a,a, + 9a8ae — 9a*,a7 -{- 9 a,a7 + 9 «i^s — 9 a,, 5,^ = al" — 10a*, a, + 35a*, a*, — 50a*, a*, + 25a*, a*, — 2a*,
— 10a*, a4 -f- 15a*, a*4 — 10a, a*4 + 10a*, a, — 40a*, a, a, 4- 30a, a*, a, + 30a*, a, a^ — 20a, a, aj — 20a, a4 a, 4- Sa*^
— 10a*, a, 4- 30a*, a, a, — 10a*, a, — 20a, a, a, 4- 10a4 a, 4- 10a*, a7 — 20a, a, a7 4- lOa, a7 — 10a*, a, 4- 10a, a, 4- 10a, a, — 10a,o.
Table de quelques fonctions symétriques les plus simples
(on suppose Oq = 1).
2a*PT=aia3 — 4a4
2 a'P = a*i^, — ajag — 2a\ + 4a4 .
2 a'P* = — ûja*, + 2a%a8 + ««^^3 — 5a^a^ + Sa^ ,
2 a* p = — a%a, + a*ia^ + 3a|a% — Sa^a, — UiU^ + Sa^ ,
2 a' p* T = — ût,a8 + 3aia4 — Sa»,
2 a' Pt = — «*i«8 + 2a,a8 + a^a^ — Sa» ,
2a*pT6 = — û^iûi + Sas.
2 a* PT=a%a8--3aja,a8+3a*3+2a,a4— a4a%--6ae+aia5, 2 a^ p*=a*ia%-— 2a%-Ha|a,a8— 2a'4a3— 3a*3+2ata4+2a*,a4 — 6aja5 + 6ae,
2 a' p* T = <3Ji««Û8 — 3a%+^j^4 "" 3a*ja4 -f-'^i^s — 12 «e >
2 a' p^ == a\ — 3aja,a3+3a*ja4— 3aia5+3a% — 3a,a44-3ae .
2 a* p'^ = — a\ai~{-3a^a^a*i-{-asa\ — 3a4a\ — ^a^^ai -j-ia^a^af^
2 a' p* T*=— ûVi4-2«4ajai -2a5a*i-}-«4Ût3 -3a5a,+7aeai -^a^ , 2 a* P*T= — a8a,a*,+2a3a%-|-a*8ai+3a4a'j--8a4a,aj — 3a5a*|
2 a* P^=a*4a%— 2aS— 3a3a,a% +6a,a\aj+3a*3a*i+3a4a\
+8a*iae — 4a*44-7a3a5— 8a,ae— Sa'ai +8a3.
2a«p«T*&* = a%— 2a3a5+2aea, — 2a7ai--2a8.
II. Sixième propriété. La fonction <p considérée comme fonction des sommes s satisfait à Véquation aux dérivées partielles.
Multiplions en effet les équations [39] respectivement par Si^ s^y . . . S et ajoutons-les à Téquation [38], il viendra
et en ayant égard aux équations [7] et [38] on trouvera Téquation [40], qui prouverait TéquipoUence de la fonction par rapport aux fonctions s^ en partant de celle par rapport aux coefficients a, si on ne Tavait pas déjà démontrée directement N. 3.
t9* ScpClèBie propriété. La fonction <p considérée comme fonction des racines et des coefficients satisfait à Véquation aux dérivées partielles.
'«'SjS=-["-iïr+<-»°-ls+--+"'-&]-
DÉMONSTRATION. En effet puisque
^<p (ftp da\ , <fq> dat . d<p dOs , , dqt ^^n da^ ddi da^ ^ da^ daf ^ da^da^ t -* i ^^^^ ^ç^.i
en vertu de Téquation [35] on aura en général: Par suite et par les relations [7] en faisant varier i de o à n :
Corollaire. En posant comme avant
on aurait
=— pS^ p T.-. — ^2® P T...— r^/p't ... etc, Exemple. Comme vérification soit
<p = 2a» p = a*, a, — • ûi as — 2a*, + Aa^\
on aura dans ce cas n = 4, i> = 3, g = l
^-=2a,a,~a3, arfl; = -^"
2 a* p = — ai a, + Sos , 2 a' = — a^ + 3a, a, — Sa^ , et on trouvera:
mais en même temps le second membre deviendra
=— 3(— a\+2aia,)=3a%— 6a,a,.
Comme on voit ce théorème permettra de calculer une fonction symétrique donnée, lorsqu'on suppose connues les fonctions symétriques d'ordre moindre.
13. On peut arriver à la même équation [41] autrement. On trouve aisément en vertu de l'équation /lix)=0
OÙ r peut avoir toutes les valeurs, 1, 2, 3 . . . n.
Si on multipUe successivement toutes les équations qui proviennent de ces diverses valeurs de r par
il viendra Téquation [43]
Multiplions-la par -—-successivement en donnant à i les diverses valeurs ci-dessus, il viendra comme avant :C)
rfai ' ^ ' * éto, ' ' n-i rfa,» ' rfai
(•) On peat raisonner encore plus simplement ainsi. Si l'on change œ enx + h, et si on déyeloppe la fonction qp selon les poissances de ft, qp se change en
D*aQtr6 part les coefficients de Téquation proposée ai, <**> ^i
seront deyenus respectiyement
Al =: ai + nh
De sorte que si Ton déyeloppe la nouyelle fonction <p (Ai Ai* . . A,^ ) exprimée en fonction des coefficients de Téqaation proposée, on aura
En comparant les deux expressions de la transformée de 9 et en égalant les coefficients de h^ ou retrouyera Téquation [4]].
Si les coefficients ayaientla forme binomiale, alors Téquation 141] deviendrait :
Vi dm I dm ^ dm ^ dm d \
LjdOi \««i »«i * da^ ' • n—l da^ ]
14. Cette même équation [43] nous amène à une autre propriété intéressante des sommes des puissances semblables des racines.
Multiplions-la en effet par a|^' et faisons l'addition de toutes
les équations qui en résultent, il viendra:
relation élégante qui fera connaître immédiatement s d'après s^y (')
