IV. ThIeorèmb de Borchardt. La fonction symétrique

^5 qu'ici'* tt?s «'♦»

où ai,cts,a3,...,a^

sont les racines de Véquation

est le coefficient du terme

dans le développement^ suivant les puissances décroissantes, de V expression

oà par TT (t|, t„ tj, . . . , tû) on entend fe produit de toutes les différences des quantités t.

Ce théorème est la conséquence d'un autre que nous allons démontrer.

■S. Théorème. Si Ton pose

(«i-ûil» (<.-«.)' (<i-a»)»

«t-aO« (<,-a,)* «,-08)*

(^-aj* (fe-o,)* (^3-"-^'

(^n-Oi)* (^n-o,)» (^•-aa)^

#1 — Œ4 ^i — Oi ^1^^

^f— «i ^1— «it ^— Os

fc— Œf ^y— «k ^r-Œs

(^«-On)*

(^8-Ch.)*

^1—- an

^— an

fe—an

^n-On

on aara

[q D = TA.

DÉMONSTBATiON. Il est d'abord évident qne le dénominateur commun des deux membres de cette équation est

Ensuite il est aisé de remarquer que les deux déterminants D et A sont tous deux divisibles par les produits

n (o,, a,, a,, . . . , aj = (a.- a,) (a,^ a,) . . . (a^^- a^).

Car par Tune quelconque des hypothèses

les deux déterminants s'annulent.

C'est-ce qui se voit aussi directement; car on a

1 1 (ci — Cl) (2^i — ai— Oj)

JL 1 — ^a a\ ^

<i- a, ^i-o, - ^ * ^Uti- ai) (t, - a.)

(^i-aj* (^- Oi)» — ^'* '«^ (^1- aO* (^- a.)« '

Ainsi , comme, d'après un théorème connu, le déterminant ne change pas quand une colonne ou une ligne devient égale à la somme ou à la difiérence de deux colonnes ou de deux lignes, il s'ensuit que les différences quelconques, a— a,, ^^— tj entreront en facteur dans les deux déterminants. Ainsi D sera généralement de la forme

D = ^„ M=n(^,<„t„...,<jn(ana„....,aJM',

M' désignant une fonction des t et des a à déterminer.

Pour se rendre compte de la forme de M^ considérons le cas spécial de n = 3.(*)

(*) La démonstration qui suit est due à M. Cayley.

On aura alors

en posant

Évidemment M est une fonction rationnelle et entière de degré 12 de ^^ '«, ^si ^«P^T prises ensemble, et de degré 4 par rapport à chacune de ces quantités séparément. Mais M s'éyanouit pour <, = <, et a = p, t, . .. . , et par conséquent elle est, comme nous avons déjà remarqué, de la forme

où M^ désigne une fonction du 6« degré par rapport à toutes les quantités prises ensemble, et du 2® degré par rapîport à chacune d'elles.

Pourtant la fonction M', considérée successivement comme forme du 2* degré par rapport à t^^ t,, ^a, peut être considéré successivement comme fonction linéaire des produits

(par rapport à ^), (<rP)(^-T)=a?i,(^-a)(<,.T)=a?„(<,-a)(f,.p)=a?„

(par rapporta ^), (^-P)(VT)=y„ (<ra)(^-T)=î/„ (Va)(*rP)=y8, (par rapport à g, (tMh'f^^z,, (<3-«)(<,-T)=;2:„ (Va)(^-p)==;ï„

produits que nous appelons, pour abréger, â!?i,û?„û7„î/i,i/„etc.; car cette fonction ne doit pas changer par réchange des racines (a, p), (a,T), (P, ï), entr'elles.

On en conclut que M' sera représenté par le produit

X, jyi, V, etc. désignant des coefficients numériques indéterminés. Mais ces coefficients indéterminés, doivent être égaux en passant d'une fonction à l'autre : car la fonction M ne change pas par réchange de ^i, t^^ t^ entr 'elles deux à deux, ce qui revient à dire, par l'échange entr'eux des systèmes

Donc M' sera de la forme (\x^ + M^, + va?,) (Xy* + W, + V1/3) (\z, + }iz^ + yz^; mais M' ne peut pas contenir de termes de la forme

^1 Vi ^1 1 ^i Vt ^1 ï ^1 y t ? • • • ?

parce qu'alors elle serait d'un ordre supérieur à 2 par rapport à quelques-unes des quantités a, p, t; donc les seuls termes admissibles sont les termes en X)iv. Donc, en posant X)iv=E, et

^1 (y«^8 + î/8^«) + yi('2^t^8 + ^8^«) + ^i(^«y8 + ^8Î/t) = Q J

ou

en convenant toutefois de changer dans ce déterminant les signes — en +» il viendra M' = K 9.

On aura ainsi

T, (ti-h) «.-fe) (<.-<,) (g-p) (tt-T) t(»-f) KQ . KQ

en posant, comme toujours,

Mais observons que, en vertu de la valeur susdite de Q, on a

en désignant ainsi, pour un moment, une fonction formée comme un déterminant, à cela près que Ton changera toujours les signes — en +.

Or ce déterminant ainsi formé n'est autre chose que

'^"^Ij ih-a) (^,-p) (fe-T) •

D'ailleurs, par la comparaison d'un seul terme des deux membres de Téquation, on trouve aisément E = l. Par conséquent, D=:AT. C.Q.F.D.

En raisonnant de la même manière généralement, on trouve que réquation susdite a toujours lieu.

■•• On peut passer maintenant à la démonstration du théorème de Borchardt. Observons, en effet, qu'on a

Tm^ yy / T \ 1.8 TT (^j, /j» <s» ' ' « < tn) TT (Ci, Ctj, a8,...,an)

n II Boffit, pour le Toir, de diTiser le déterminant ligne par ligne soccestiTement par

[tt-a) «.-W {«.-T) , [h-a] {tr-») (/,-T) , (/.-a) (<j-W «r-T), on bi«n d» le diviser tout à la fois par N.

Il suffit effectivement de se rappeller que la fonction A est divisible par toutes les différences^^ — <., a. — a., et qu'en réduisant ensemble tous les termes du déterminant au même dénominateur, on trouve, pour celui-ci,

nti) fit.) nu) .... f(tj.

Convenons nlaintenant de soustraire dans TT toujours t. de ^, si j<i^ ce qui équivaut à soustraire dans A une ligne inférieure de la supérieure. Alors, pour chaque combinaison le déterminant acquerra le facteur — 1 , c'est-à-dire que le déterminant acquerra le facteur (— 1)""?"» ^ étant le degré de réquation.

Maintenant observons que le déterminant D peut être considéré comme le résultat de la différentiation de A par rapport à toutes les variables t|, <«, ^at - . . , '^ , ou que

car par ces différentiations successives on introduit le facteur Donc

^-<~^' n («..<.,<, u ) ^ti ^'. ^'. •••^<. lAmt»):Atn )}

Maintenant, si on développe la fonction

suivant les puissances descendantes de t|, ^„ t^^...^t^, évidemment la fonction

2 af 'oj^a^ • . • a,

-Posera asBOoiée au signe près avec le terme

i}rijrw ■ ■ ih)

car il suflSra, pour obtenir ce développement, de poser en général

Mais, comme le second membre de Téquation [9] est exprimé en fonction des coefficients (a) de Téquation proposée, il en résulte qu'on pourra obtenir de cette façon n'importe quelle fonction symétrique à Taide du coefficient du même terme eu t du second membre.

Par cette raison cette foûction a pris le nom de génératrice.

Son développement direct donnerait

an

Ati)At^.. .Atn)

OÙ Ton a généralement

et Ton trouverait une fonction de cette forme

, ^w<r*Q"^>.c^+i^(<i-2)g,i^*^r^cv...+2(f!-i)a;"»^

A^i)Ah) . . . yio

où (0=1. 2.3... î.

Nous ne donnons que les premiers et les derniers termes; car Texpression générale d'un terme quelconque offirirait des complications de calcul insurmontables.

90. Mais nous pouvons maintenant, d'après le désir exprimé par M. CayleyO, donner à cette fonction génératrice une autre forme plus propre aux calculs, lesquels, même par la formule [9], seraient tout à fait inabordables en opérant par des différentiations successives.

A cet effet, observons que puisque, en vertu d'un théorème connu et en adoptant la convention ci-dessus pour TT, on a

s w • • • • va

la fonction entre parenthèses pourra s'écrire ainsi qu'il suit

ti /,»

ti'

Ati) Ati) Ait) • * • Ati)

Ah) /(W /(W ■ ■ • /(«

et par conséquent, en différentiant successivement par rapport à <„ <„ ..., t , il viendra

n<im«i)' n*»)*

A'i) A<i)-«y(«i) 2«/(*.)-<'in*i) . • • («-i)<r'M*.)-<i""V(«i)

f(tt) /t«.)-«ir(y 2«,A«j-*v(«i)...(«-i)«i /i«i)-«. TCi)

/■(*• ) nu )-<« /•(«« ) itnntn]-fi»f(tn). .{n-i)trntn )-c TC» )

(*) Catlbt, a memoir on th« symmetrie functions. — Loadon,l^l.

et partant la formule [9] deviendra

(if-l) (n+ti

A«J-../ïgn(^,...,g

r(tn) fitnhtn A^ ) (*-1)CT(^ )-C'T(«n)

et Ton remarquera aisément que le déterminant du second membre est divisible par

et qu^ainsi, dans ce qui suit, le diviseur TT n'existe qu'en

apparence.

fit) p

SI. En po8ant^=^ = 2--^, on pourrait encore écrire la

formule de Borcbardt ainsi qu'il suit:

(-ir'n(^...gT=

pi

Pï

ti

Pt

Quoique cette forme soit loin d'être aussi convenable pour les calculs que la précédente [12] exprimée directement en fonction des coefficients, elle fournit néanmoins une métbode pour développer cette fonction suivant les puissances descendantes de 'il • • • 1 *nï ^^^^ 1®^ coefficients sont exprimés en fonction des s. De là on peut conclure que la fonction génératrice de

Borchardt, qui en elle-même est une magrnifîque transformation analytique, ne saurait en pratique conduire à des résultats différents de la formuleJ20], plus ancienne, et qui donne de suite la fonction symétrique exprimée en fonction des s. 99. Application. Soient les équations

Posons <4 = a7, 'i = y> *3 = ^; on trouvera directement , dans le premier cas,