2ay-(a+p)(a?+y) + 2qg
ou
rn 2a^ûpy—àb(x+y)+2ae .
"" {ax*+ hx + e) (ay«+ hy+c)''
et, par la formule de Borcbardt, ou bien, par notre formule [12],
ix-yl/lxl/Xy)
A^hAafhx/'ix)
f{y).f(y)'yf{y)
[f{ai)fi!y)'Mf(y) + («'y)f(cfy'\
~ (x-y) fKx) f(y)
2a^xy-Vdb{x+y)+ae
Dans le second cas, notre formule donne,
flx) /(xya^fix) 2x/(x]-aflf(x)
ix-y) (X'Z) {y'Z)f{x)f{y)f(z)
ou
/'(y) /(y) -y/ (y) ^yAy)'t/'f[y)
f(z) Azhzf(z) 2zAz)'^f(z)
-(^-y) ix-z) [y-z)Ax)Ay)/iz) t =
3aafl+2bse+c 2asci^+bûBl^'-d aoo^—c(x^—7dx 3fly*+2Jy+c 2ay»+^y*.— ^ ay*— cy»— 2(fy 3a^+2J«+c 2a^ + &^— rf az^ — cz^-Uz
Posons A = (a?— y) (a?— 4^) (y— ;?) = —
et généralement, poar abréger,
on aura f(x) f{y) f(z) AT =
= 6a»a?*f/f;j* | 1 a?i»* | — 12a'da;î/z | 1 xx* \ -{-Sa^d | la?*a?*| +6ad* I la?a?* I -f4a*&|l^*a?'l+4a&ca:2/;2;|li»a?* | '^2ab*xyz\lxod^\ +2aM I 1 a?û7* I — 2&c(« \lxx* \ +2ac« | la?*a?» | -f4acd 1 1 a?a;«| -j-odc 1 107*0?* 1 +2&cd \lxx*\;
et, en observant que
|la? a;* I = — A(o7 + î/4-^)»
I la?*o?' I = — A(o?*-f-î/ + ^'2: + î/'2^),
|1 o?'a?* I = — A.(o?*rl-y*4-:î*+a;i/4-^^+y^)î
I I o:* a;* I = — A (or*i/*+î/*;5*4"^*'2* + 2^*^-2: + o;*î/^+'^*o?2/),
on trouvera cette expression égale à une fraction dont le numérateur est
+4acd
+ 2aM
+ 2(aM"fac«)
+{ahc-\-3a*d)
oc*y2 + î/'^ojz -{-z^xy
oîV+^v+y*^*
et le dénominateur est f(x) f(y) f(z).
FaX db Bbomo — Théorie dêt formes tinairat.
On trouverait aussi, en retranchant une ligne de l'autre dans le déterminant du second membre de [14], que ce second membre se réduit à
3a(x-\-z)+2I), 2a{œ*+z*'^xz)-{^(s>^z), a(x^+z^+x*z-^xz^)
— c(x-{'Z) — zd
2az^+bz^-d ,
az^^cz* — 2dz
et on retomberait ainsi, après des calculs faciles, sur la valeur ci-dessus de T.
€k>iuitmction des tables des fonctions symétriques.
*4L Les premières tables ont été publiées par Meier Hirsch en 1819 H; Fauteur y donne toutes les fonctions symétriques jusqu'à celles d'ordre 10. 11 les a calculées au moyen des fonctions des puissances semblables des racines. Comme il ignorait toutes les autres propriétés découvertes dans ces dernières années, on peut concevoir quels immenses calculs il lui aura fallu exécuter pour arriver à la détermination de ces fonctions. Aujourd'hui, grâce aux propriétés de Téqui- X)ollence de ces fonctions et aux équations aux dérivées partielles auxquelles elles satisfont, on peut de suite en écrire directement la forme littérale, et puis calculer successivement et contrôler les coefficients par les diverses méthodes que nous avons exposées.
M. Cayley qui a reproduit ces tables dans le Philosophical Transactions^ 1857, a remarqué d'autres propriétés qui facilitent beaucoup la construction de ces tables et permettraient même de les étendre très-aisément. C'est ce que nous allons exposer, en y joignant quelques autres remarques qui peuvent aider beaucoup à la recherche des coefficients nujnériques.
(*) Cette page était déjà prête pour rimpression lorsque j'ai appris et j'ai en effet constaté que Vandermonde dès 1771 était déjà en possession de la formule deWaring, et avait construit des tables des fonctions symétriques, sans pourtant faire connaître la marche des calculs qu'il a BuiTie. C'est donc à lui que revient la gloire des premiôi*es tables. Mais il faut avouer que celles de Meier Hirsch, plus claires et surtout accompagnées des démonstrations nécessaires, ont été plus employées.
Nous appellerons d'abord combinaison des coefficients le produit quelconque
In 8 /» 3
mi
qui figure dans l'expression d'une fonction symétrique. Si cette fonction est de degré l et de poids p, on aura
Cela posé, nous appellerons combinaison associée des racines le produit
et, en supposant m^> m^>m^>. . .^ par ordre décroissant de grandeur, combinaison conjuguée le produit
Iîlj-+-lll2"*- W*o-+- . • . -♦-Wl^ *Wj-+-Bio-*- .
Exemples :
Coibinaisons les eoefleients
Conkinaisons associées
Conliiiiusois conjurées
(li(h(h
a^i ct'j a*3
I a^j a'i ag
a*i a\ — di di tti di
à^i (h'=(^idiai(h
a8j Qj 03 04
Z a*i Os as
I a»i Oj 03
Comme on voit, les combinaisons associées résultent des combinaisons des coefficients en changeant les indices en exposants, tandis que, pour les combinaisons conjuguées, la loi est moins simple O. Pour la retrouver facilement, remplaçons
(*) Voici une méthode pour former facilement les coi^'agaées. On remplace chaque indice de la combinaison par une ligpie d'unités ; puis on somme les colonnes : les sommes serqiit les exposants des racines.
chaque lettre Oi par sa valeur en fonction des racines, que nous appellerons pour le moment a,p,T, ^ . . . , on aura
«iOta,=(— Sa) (+2«P) (-SaPT) a%a\ = (2ap)*(2a)%
«•|a8=(-2a)' (-2«Pt), aV8=(2ap)«(-2aPT),
d'où il résulte que parmi les fonctions symétriques dans les, seconds membres il y aura certainement celles qui proviennent des produits des lettres même a, p, t, . . . qui figurent sous les signes ^; à savoir
2a'p*T pour «,«,«3, 2a*P* pour a\a*^^
2a*PT pour a\a3, 2a«P*T pour a*,a3.
Il est aisé de voir que les combinaisons associées ou conjuguées seront de même poids que la combinaison des coefficients.
Cela posé, observons d'abord que:
*5. Théoremb. Une fonction symétrique 2 o** p' / . . . contient la combinaison des coefficients conjuguée avec le signe -{-ou — selon que le poids est pair ou impair.
Pour fixer les idées, supposons qu'il s'agisse de 2 a*PT, dont
Exemples:
o^Pt '
a3,a«ia8
o'iOias o^Pt •
Gela revient évidemment à écrire autant de fois chaque racine a, P^T-* qu'il peut y avoir d'unités dans les coefiScients de la combinaison. Réciproquement, en déduisant des conjuguées les combinaisons, en écrivant les exposants en colonnes et puis en sommant les lignes, les sommes seront les indices.
la combinaison conjuguée est a^^ a^. Je dis qu'en posant [3] 2a*PT = Arf Ba%a3C),
on aura B=l.
En effet, a',a^z=z(—^af (— 2apT)=+l. 2a*PT+. • . , et
[4] 2a*PT=A+l.B2a*PT+
Si Ton répète cette opération pour tous les termes de A, réquation [4] doit être une identité: or il n'est pas possible que la fçnction 2«*Pt soit contenue autre part que dans a^^a^\ car tous les autres termes de poids 6 et de degré 4,
ne peuvent reproduire 2<»*Pt, puisqu'ils fourniraient des fonctions ne contenant que trop ou pas assez des lettres a, p, T, . . . Il faudra donc que B;=l.
En général, on verra qu'il n'y a qu'une conjuguée unique pour une combinaison donnée, et qu'ainsi tout terme dans A, différant de celui qu'on considère au moins par une lettre, fournira des lignes différentes de traits et par conséquent une autre fonction conjuguée.
D'ailleurs, d'après les valeurs des coefflcyents ap-a,, Og, .... en fonction des racines, le coefficient sera + ou — selon qu'on aura, pour la combinaison ot^ <x!^ ci^ • • • )
(-im'i)Vir- . .=±1,
ou selon que
( i)P(- !)««( 1)^.. = ( if^^^r^ •• =(-1)^°^= + 1,
ce qui achève de démontrer le théorème.
î86. En second lieu, M.Cayley observe qu'en disposant les fonctions symétriques appartenant au même poids sous forme
(*) On Yen*a aisément que les combinaisons conjuguées sont précisément celles qui, d'après la méthode de Qauss, servent à réduire la fonction donnée des racines à un ordre moindre.
de tableaux synoptiques, le coefficient numérique appartenant à une ligne a et à une colonne b^ est égal au coefficient numérique de la colonne a et de la ligne b. On peut voir dans les Annales de Tortolini^ 1858, une élégante démonstration donnée par M. Betti de cette propriété. Nous ajouterons seulement cette remarque, que, si le premier coefficient affecte une certaine combinaison C appartenant au développement de la fonction symétrique S, le second appartient assurément à une combinaison associée de S dans le développement de la
fonction symétriqua associée de C. C'est cette observation qui nous a suggéré Tidée d'un autre arrangement des tables, qui a paru pour la première fois dans les Comptes rendus de V Académie des Sciences de Paris ^ 1873.
Les séries des coefficients numériques qui figurent dans les tables jouissent encore d'une propriété singulière, à savoir: si on les multiplie successivement terme à terme par les coefficients numériques polynomiaux correspondants au poids p, et qu'on additionne les produits, on aura autant de sommes égales à 0.
Cela se déduit immédiatement de l'équation
En prenant par exemple la table d'ordre IV on aura
Siue 1
Cette propriété pourra être très-utile pour contrôler les calculs.
99. Construction d'uixe table (Tordre p. — On écrira, par exemple, à gauche toutes les fonctions symétriques de poids j?, en commençant par 2 a** et en descendant jusqu'à 2 aPT ... X, en supposant que les racines sP^T» •••» ^ soient en nombre p.
Ou bien sur le haut du tableau on placera toutes les combinaisons associées des coeflBcients qui seront d'ordre p. Pour y arriver d'une manière plus prompte et plus sûre, on observera que ces combinaisons peuvent se partager en deux groupes, dont l'un est composé de combinaisons conjuguées de celles qui sont dans l'autre groupe ; quelques-unes sont conjuguées à elles mêmes, et celles-là nous les avons écrites avec des caractères plus gras. Ainsi les combinaisons a*3 «r,, a^a^n*^ sont de ce genre, car elles se transforment toujours
en elles-mêmes, soit qu'on lise les traits 111 1111
verticalement ou horizontalement. D'ailleurs, on verra comme,
par exemple, la combinaison des groupes de droite (tableau VIII)
/llllllv
«a^^t est la conjuguée de la combinaison a^a}^ ( 1 j placée
dans le groupe de gauche. C'est par cette raison que dans nos tableaux les combinaisons conjuguées sont placées symétriquement à droite et à gauche des combinaisons neutres. On conçoit alors qu'il suflOit d'écrire la moitié des combinaisons pour en déduire immédiatement les autres, sans crainte d'en
oublier aucune.
Reportons-nous, pour fixer les idées, à la table II des fonctions symétriques des racines de poids 10.
Si, à partir de ajo, on écrit les combinaisons des coefficients «9 a,, a^a^^ etc., et qu'on les change dans leurs conjuguées, on retrouvera les combinaisons à droite des deux combinaisons
m^m^m^m^j m^a^a^^ lesquelles se changent en elles-mêmes,
comme on voit par les traits i i i i ^ i i i i i
Ces combinaisons conjuguées sont placées à droite et à gauche à la même distance. Ainsi, au 9* rang, la combinaison a^^a^a^ est la conjuguée de a^a^a^. De cette façon, il ne sera pas possible d'en oublier aucune. Cela fait, on écrira à gauche les combinaisons associées des racines, et tout sera prêt pour les calculs.
Pois on remarquera :
V Que les coeflOicients sur la diagonale sont ( — l)** ;
2* Que les degrés des combinaisons ne peuvent pas dépasser le plus grand exposant de la fonction;
3' Qu'il suffit, par la propriété [26J, de calculer la moitié des coefficients, puisqu'ils sont symétriques par rapport à la diagonale;
4* Qu'au moyen des formules [4] et [25] du 8 1* , on peut calculer de suite les fonctions s et les fonctions de la
forme 2a'p T ... ;
S"" Qu'on peut, à l'aide d'une méthode que nous allons expliquer, déterminer d'un seul coup 4 lignes ou 4 colonnes par des calculs très-simples. Cela seul suffirait pour écrire de suite les 7 premiers tableaux.
A l'aide de ces remarques, de toutes les propriétés démontrées sur les fonctions symétriques et des contrôles que fournissent les sommes N. 4 (remarque 4) et N. 26, le calcul des tables ne sera maintenant ni trop long, ni trop pénible.
98. Voici actuellement les formules qui servent à trouver les 4 séries de coefficients dont nous avons parlé. Dans le tableau renfermant les valeurs des fonctions symétriques de
poids Py figurent en premier lieu les combinaisons a , a ^ a,, a ^aj, «p.i«*i» que fournit la table suivante :
FORMU LES
Vi ^1
-(-i)'[pru)-r,(i>.i)r(i-i)
- ('l)\pr{iyr, (rrl)(P'2) r(«-2)-2r,{i).2) r(M)]
(- l)'lP r (l) -r Jp-1) r (M) - r, (p-2) T (M)
Dans ces formules,
p est le poids de la fonction ,
r^, Tj indiquent le nombre des racines contenues dans la fonction
au l*' et ^ degré.
On divisera ensuite les nombres obtenus par 1.2. 3.4... f, si i est le nombre des racines affectées du même exposant.
Exemples:
2a*P^; on a ^=7, 1=3 ; coeff. a,=(-l)«7.1 .2 = - 14 ; 2a5p«T; on ap=6, Z=3; coeff.a5a,= - (- 1)^ (6. 2-5) = + 7 ; 2«We>c; on ap=8, ;=:5; coeff. a,a,= - (4)s Pn5)-2^6r(3)^.6r(4]]
'=-4; 2a'P*T*e>; on a p=8,Z=4; coeff. aea,*=t^*[8r(4)-7.1.2-2.6.2]z=-H>.
Pour démontrer ces formules, observons d'abord que les dernières équations [39] (§ 1" ) donnent
dqi
dap^t
ddp-i
d<p dUp-i
da
dSp^i
da
dspji
dv ^p *L=o.
da
dSt
Mais, par les formules [21] (§ 1«^), on sait que
-^=(-l)'"'l.2.3...(i~lh .
ce qui, en vertu de la dernière formule [7], fournit Téquation
or a désignant toute la partie litérale comprise dans le premier membre, puisque le poids est p, il s'ensuit que le terme
contenant a sera p
[8] (-l)'l.2.3. . . . (l-\)pa==(-lfr{l)pa^.
Passons à la seconde des formules [5].
Supposons en premier lieu j^— = ; alors la seconde équation se réduira à
j^=-,-i)'rwp..,
et par conséquent le terme en a ^ a^ sera
[9] -(-l)'r(Opap.ia,.
En second lieu, si la fonction 9 contient s ^ cela ne^ peut être qu'à cause de quelques racines a, p, f qui figureront dans cette fonction au premier degré, par exemple, au nombre de r^. Par conséquent le terme en 5, 5 ^ sera répété r, fois ; d'ailleurs son coefficient numérique, d'après les formules [21], sera
(«i)Mr(f-i),
et ainsi (P-l)^=r,(i>-l)(-l)'->r(f-i)5,=-(-l)^V,(i>-l)r(M)a.,
et, d'après la seconde équation [7],
dOpA
donc le terme en a^.a. sera
-(-l)a a,lpr(0-r,(p-l)r(l-l)].
Pour les termes en a g «g » ^ -i^î » ^° observera que la fonction <p ne peut contenir de termes en 5 ^que conjointement à ^s ou A ^*iî 6t que ceux-ci ne peuvent provenir que des racines existantes dans 9 au premier ou au second degré. Cette seule observation, en s'aidant de l'exemple ci-dessus, suffira pour retrouver la 3"* et 4"' des formules [5].
On pourrait poursuivre la même voie pour déterminer les coefficients des colonnes suivantes
mais les opérations devenant de plus en plus pénibles et par suite inutiles, nous ne pousserons pas plus loin cette recherche. *O.Nous indiquerons encore un moyen pour faciliter les calculs des tables, qui pourra être souvent utile. Supposons qu'on ait à calculer Sa^'p^T au moyen de Sa'^P', qui est déjà connu. Comme on a
de sorte que
il s'ensuit que chaque terme de la ligne correspondante à la fonction So^^p^ sera égal et de signe contraire à la somme des coefficients correspondants dans les colonnes aux fonctions 2a''*"'p% 2«''P'^\ et Sa^'p', dans la table précédente. Dans le
cas de df = 1, il faudrait diviser la somme par 2. De cette façon si on avait à calculer la table de poids XI, on déduirait immédiatement pour les termes contenant ai ,
de
2o'p»(t.x), soop»,
2<^PMt.x), sa'p*.
So'P»
On pourra généralement par cette méthode obtenir une fonction d'une table par quelques fonctions déjà calculées des tables précédentes. Ainsi (voir table VIII et VII), on aura
et en particulier, pour le coefficient de a^a^^ par exemple
Sur les fonctions symétriques des différences des racines.
30. On peut exprimer directement en fonction des coefficients les sommes des puissances paires semblables des différences des racines.
Ainsi on aura généralement, pour l pair,
[1] 2 (a — p) = V ~ ^i^;.i+ ^IT^ ^« V» + - '
où le second membre ne serait que la moitié du développement symbolique de {s — s)\ On aurait, par exemple,
2 (a — p)«= 5o5o— 65455-f 155,54— IO53*.
DÉMONSTRATION. On a évidemment, par le binôme de Newton,
2 (^ — «) = SqX — lS^X + g 5,a? +
Si maintenant nous y remplaçons successivement œ par a , p, T . . ., et si nous faisons la somme des résultats de toutes ces substitutions, en observant que pour l impair 2 (a — p)' s'annule, il viendra
ou 22 (a - P) = 5o5 - 1 5i5^j+ ^-^^ ^»V2+ • • • •
Mais dans ce même cas les termes du second membre se doublent aussi; excepté celui du milieu, qui par conséquent dans la division par 2, se trouvera réduit à moitié.
L'équation [1] peut servir à calculer n'importe quelle fonction i|i des différences des racines à Taide des sommes indiquées dans le second membre, sommes que nous appellerons Sy comme on a appris à calculer toute fonction 9 à Taide des fonctions s. On n'a, à cet effet, qu'à décomposer la fonction v en sommes S par la formule [21 (parag. l®»^)], puis à calculer les S par la formule [1].
Exemple. Soit v = 2 (a — P)*(t — b)* la fonction donnée. On a, par la formule [21], 2 v = 5,* — 5^ et
i5, = a,* — 2^4 , ^8 = — «1* + 3aia^ — Suji , s^ = ttf* — 4at*a,-t- 4a,a8— 4^4+ 2a,* ; d'où l'on tirera
v = 2(a— P)*(t— 6)' = 3ai* + 22a,* — 16a,*a, — 2a,a8+8a4.
Exemple IL Soit v =2 (a — P)*(T — &)*(& — c)* et n = 5.
On aura
6Mi = S,'-3S,S, + 2Se,
où
Se = 5^6 — 65,55 + l5s^S^ — 1058* ^
et
' Hi = 4a,« — 30a,*a, + 81a,*a,* — 1 6a,'a3 — 80a,'
On pourrait, en poursuivant la même voie, calculer les produits 3 à 3, 4 à 4, etc. des carrés des différences, et l'on formerait ainsi aisément l'équation aux carrés des différences des racines de n'importe quelle équation.
SI. Au lieu de passer par les fonctions S on peut passer de suite par les fonctions s ainsi qu'il suit.
Nou8 avons déjà observé (§ II) que, si Ton pose
Ol
Ot
ai*
aa*
on a
P = nK,a,,...,aJ
Or, si on élève au carré le déterminant P à l'aide des règles connues, en multipliant les lignes entre elles, on aura
St
St
Ss
Ss
Sa
Wl
cela ayant lieu pour toute valeur de n, il s'ensuit que Ton aura
[3] TT«{ai,a,) =
*o Si Si Si
TT* (ai, Ot, Os) =
, etc.
^1 Si Ss Si Ss Si
Mais si maintenant les fonctions Sy au lieu de se limiter aux formes de degré 2,3, etc., s'étendent jusqi^'à la forme de degré n, il est évident qu'en décomposant les nouveaux déterminants en déterminants d'éléments simples de la forme [3], on aura, pom' une forme de degré n,
^0 ^1 Si
*0 *1 ^1 Si
So
= 2TT«(a,,o,) ,
^1 Si Ss Si Ss Sa
Si Ss Ss Si
Sr—i Sf, S^^.1
Sr-l
= 2 TT' (ci. Os, 08, ..., Oy).
On voit ainsi avec quelle facilité on peut obtenir l'expression des fonctions symétriques des carrés des différences des racines.
Ces fonctions peuvent se calculer facilement à Taide de l'artifice suivant.
On a, en ayant égard aux équations [7] N°2 (*),
Si Si S^
8t 83 Sa
«, («-l)ai
*i St
1 1 tfl y ai , flj
80 Si $2
» *o , *i+fli*o > *i+ai*<+fli*o
Sq Si Si Ss
*0 , *1+«I*0 , *l+ûi*l+fli*0 > *3+«l*l+«â*l+û.*0
Si Si *3 Si
*i , Si+aiSi , s^-^aiSi+aiSi , Sk+aiS^+ajSi+aji
1 ai ai Oz
n (»— 1)^1 (n—2)ai
n («— l)ai (n— 2)flj («—3)03
ai
ai 3a
et en général on pourra mettre d'abord le dernier déterminant [4] sous la forme
Si Sz
S4 Sa
Sa Ss
*o *i Si Si Si S9
*r-4 *r— 3 *r— «*r— 1 *r-3 *r— « *r-l*r *r— « *r— l Sf Sr+x
(*) On suppose ao=:l.
¥kk Dtc Bbomo — Théoriû de» fortnês binaires.
puis on ajoutera la 2™® colonne à la première X^i, ce sera la 2« nouvelle colonne; on ajoutera la 3« colonne à la 2® X«i et à la première X û« • • •» ^^ généralement la A'*°® colonne à la (k—iy^^^^Xa,, à la (A-^2)»*««Xai, • • • , à la 1*^X«^ pour former la nouvelle /i»*™« colonne. On formera aussi des éléments tous calculables par les formules [7] N. 2, et Ton aura enfin exprimé une fonction entière quelconque symétrique des carrés des différences des racines au moyen des coefficients de réquation donnée.
3^. Les fonctions symétriques des différences des racines jouissent encore d'une propriété remarquable.
En se rappelant ici Téquation [41]
on voit aisément que, si q) est une fonction symétrique des différences des racines, le premier membre sera nul. Car, si Ton a (p=(a;^— a^) P, on aura j^ = P, ^=z:— P, d'où il suit
que les résultats des différentiations se détruiront deux à deux. Par conséquent on a ce théorème: Toute fonction symétrique des différences des racines satisfait à Véquation
Lorsque la fonction f est de la forme
f—aç,x-\'na,x H F2"~^^«^ +• •»
l'opération [5] devient
et, si on l'appelle b, l'équation [5] se transformera simplement
en celle-ci :
bq) = 0.
Avant de donner un exemple de ce théorème, remarquons d'abord qu'on a, ce qui nous sera utile dans la suite ,
ba, = ?a,p
et comme généralement
b (uv) = uhv + t*^w ,
on trouvera
,p^ ^in^^
ba;= pîap a^^j , ba = l(l^l)(l-2)., .(l^h^l)a^^;
d'où il suit que cette opération revient à la diflférentiation ordinaire, sauf à traiter a comme une puissance symbolique a\ où Ton changera le nouveau exposant en indice. D'après la signification même de b, il s'ensuit que ba<,=0. Au moyen de cette règle on trouvera immédiatement que '
=4aoa3 — 4 (3a,aj + ^o^a) +• ^^a^a^ = 0.
Observons encore que de l'équation [4] rappelée ci-dessus on tire
hs =:rs ,.
Exemple. En appliquant l'opérateur b aux fonctions [4] on obtient, comme il fallait s'y attendre.
*o Si
Si
Sq So
Si Si
Sq Si
Si
*i Si
Si Si
Sa
Si Si
Sq Si S^
2si S3 Si
Sq Sq Si
Si 2Si S3
Si 2Si Sa
Sq Si 2Si Si Si 2Si
Si S3 4 Si
=0, etc.
88. Lorsque par une des méthodes exposées on aura déterminé une fonction symétrique des différences des racines
d'une forme de degré n, les dérivées de cette fonction, par rapport au dernier terme de la forme, continuent à être des fonctions des différences des racines. Pour s'en convaincre, il suffît d'observer que Téquation [6] est encore satisfaite si Ton change cp en -r-^, c'est-à-dire si l'on différentie cette équation par rapport à a .
Exemple. On a, pour la forme cubique
<p=(a— p)'(a— t)'0— T)'=18aoflieit«3— 4«o«ï^— ^ai^as-f-ai'a,'— 27aoaA et d<p
da
= 9aQa^a^—2a^^ — ^a^^a^.
Or il est aisé de trouver que cette expression est la fonction suivante des différences des racines
