CHAPITRE DEUXIÈME
DES RESULTANTS.
Des résultants •>- leur formation.
S4I. Les nouvelles théories algébriques ont démontré l'extrême utilité pour la symétrie, et par suite pour la fécondité des calculs, d'introduire l'homogénéité par rapport aux variables dans l'étude des fonctions. C'est pour cela qu'avant d'exposer la théorie des fonctions, qui, sous les noms de résultants^ à" invariants^ de covariants, etc., en constituent une partie si essentielle, nous dirons d'abord quelques mots sur ce sujet pour ce qui regarde les fonctions qui nous ont occupé jusqu'ici et auxquelles se restreint le champ des recherches du présent ouvrtige.
Soit donc
une fonction homogène de degré n à deux variables a?, y, fonction que nous appellerons dorénavant forme binaire. Il est évident qu'il suffit d'y poser y = 1 pour y faire rentrer l'équation [1] du premier chapitre, dont nous sommes partis pour établir la théorie des fonctions symétriques, qui est fon-
damentale dans cette étude. On aurait ainsi, au lieu de Téquation énoncée, cette autre
Maintenant en appelant toujours a,, a,,..., a^ les racines de cette équation [2], la forme binaire donnée pourrait encore s'écrire
[3] f(x,y) = ao (a? — a,y) (x — a^y) . . . (^ — ct^î/) ,
équation à laquelle on pourrait parvenir directement en partant de réquation [1] (chap. 1®^), en posant, dans l'équation
flz) = a^(z — a^) (^ — a,). . .(;3: — aj,
jj = — , et en faisant ensuite disparaître le dénominateur commun y**. Ceci nous prouvera d'ailleurs, une fois pour toutes, que la nature des racines n'est pas altérée par l'introduction de l'homogénéité, et qu'ainsi tout ce qu'on a appris Sur les fonctions symétriques des racines s'applique encore aux formes binaires. Lorsque la forme binaire est écrite comme ci-dessus [1] sans coefficients binomiaux, on la désigne, pour abréger, suivant une notation heureuse de M. Cayley, par le symbole
Si au contraire elle est écrite avec coefficients binomiaux comme il suit,
alors on la désigne, suivant le même illustre auteur, par le
symbole
[6] (^0 «!««... a^îa?,y).
Sous cette dernière forme binomiale [5] on aperçoit que la forme binaire pourrait encore s'écrire symboliquement
en convenant de changer, après le développement, a en a., c'est-à-dire, de changer les exposants en indices.
On pourrait encore désigner le coefficient de x^' y* par un groupe des deux lettres, a, &, qu'on substituerait aux variables, et dont les exposants seraient portés en indices, comme dans a .&.; alors sous forme binomiale la forme binaire pourrait être représentée par le symbole
[8] (ax + l)yf ,
sauf à faire après les changements indiqués des exposants en indices.
On verra dans la suite quel parti on a su tirer de ces représentations symboliques des formes binaires.
Pour le moment nous nous contenterons de rappeler que, d'après un théorème connu sur les fonctions homogènes , on aurait
la diflférentiation du reste le prouverait immédiatement. S5. Soient les équations
[9] cp = açflT" -j- aycc*^" + a^^-^- . . . + am^=^ 0,
Si ces équations doivent coexister par hypothèse simultanément, il faudra qu'elles aient au moins une racine commune. Mais, à cet effet, les coefficients des deux équations devront évidemment satisfaire à une certaine . condition, sans quoi, les coefficients pouvanf être quelconques, la^solution commune pourrait toujours être rendue impossible. Or, si par un moyen quelconque on déduit de ces équations une troisième, d'où la variable est disparue, ce sera là la condition à laquelle sa-
tisferont les coefficients. Déduire une telle équation de condition s'appelle éliminer la variable^ et le résultat de cette élimination se nomme résultante ou résultant. On pourrait donc définir le résultant ainsi: la fonction qui égalée à zéro exprime la condition qui doit exister entre les coefficients de deux équations données à une inconnue, pour qu'une valeur de celle-ci les vérifie simultanément. Mais remarquons ici qu'il ne s'agit que d'une solution unique; car, s'il y en avait davantage, de nouvelles conditions définies par le théorème de Làgrange surgiraient entre le coefficients.
Par conséquent, dans tout ce qui suit, afin d'obtenir toute la précision et la simplicité désirables, nous supposerons que les équations susdites n'admettent qu'une solution unique.
86. A cet effet, désignons par a^ a,,..., a et par ^^, p„ ..., P
www wW
respectivement les racines des équations cp = et i|i = 0. On aura
[11] 9 = «0 (^ — et.) (0? — a,) , . . (a? — a^) = 0,
Il j^t clair maintenant que, si 9 et M^ admettent une racine commune, une quelconque des racines a et une seule, telle que a^, pourra et devra être égale à une quelconque et à une seule des racines p, telle que p.. Ainsi donc il faut et il suffit qu'une seule des diflFerences quelconques des racines et — p. s'annule. Par conséquent, sî l'on forme le produit de toutes ces différences, le produit devra s'annuler, puisqu'un de ses facteurs devra nécessairement s'évanouir. Réciproquement, si ce prpduit s'annule, un des facteurs au moins devra se réduire à zéro, et, par conséquent, il y aura au moins une solution commune aux deux équations; et, si aucun de ses
facteurs ne s'annule, le produit ne s'annulera pas non plus, ce qui nous suffit. Donc le produit
R = floV (ai - Pi) (a,- Pi) . . . (a«- P.) (*) (a, — Pi) (oj — pj)...(a^— Pi) [13] («1 — Ps) (oj — Ps) ... (a^ - Pa)
(«i-PJ (a,-pj...(a^-pj.
qui d'ailleurs est une fonction des coefficients a, &, puisqu'il est une fonction symétrique des racines de chaque équation, sera bien la fonction cherchée et définie ci-dessus.
99m Pour trouver aisément l'expression en fonction des coefficients, sans passer par le calcul de toutes les fonctions partielles des racines qui se présentent dans ce produit, on peut observer que, selon que l'on considère la fonction R comme partagée en lignes horizontales ou en lignes verticales, le résultant est indifféremment susceptible des deux expressions suivantes :
[14] R = ao\ (a, ) V (ctj) . . . V (a«),
[15] R = ( - )«"Cq> (Pi) <P (P») ... 9 (M.
Ces deux expressions rentrent dans le cas général donné par le théorème, page 20, en y posant i=m ou f=n, et en choisissant convenablement les fonctions. Par suite donc de ce môme théorème, on obtiendra celui-ci :
La fonction R définie par Véquation [5] est une fonction homogène et de degré n par rapport aux coefficients a, homogène et de degré m par rapport aux coefficients b, isoharique et de poids mn par rapport en même temps aux coefficients a e< b.
(•) On Terra aisément que le facteur Oq* 6o"* détruit les dénominateurs en Oq et h^ qui seraient introduits par les racines a et p exprimées en
fonction des coefficients — , -r— , d'après le théorème N» 5.
Mais notons, pour plus de clarté, que, comme le degré des fonctions symétriques qui résulteront du second membre [6] ou [7], par rapport à chaque racine a ou P, varie de à mn pour les a et pour les p, il s'ensuit d'après le théorème (N" 5), que le poids des coefficients soit a, soit b pourra varier de à mn respectivement.
La considération seule de Téquation [5] nous oflFre encore un théorème relatif à la forme du résultant, qui mérite d'être exposé.
En supposant n = m, les termes de la fonction R, qui se déduisent les uns des autres par rechange des coefficients d'une équation [1] avec les coefficients correspondants (*) de Vautre [2], ou par V échange des coefficients équidistants des extrêmes appartenant à une même équation^ auront les mêmes coefficients numériques^ précédés du même signe ou du signe contraire^ suivant que m sera pair ou impair.
Il s'ensuit que, quand m sera pair, un même coefficient pourra multiplier quatre termes, tous de même signe, et deux positifs et deux négatifs, lorsque m sera impair. Cela ressortira mieux dans les exemples que nous donnerons plus tard.
DÉMONSTRATION. Changeons a en p, et réciproquement, ce qui équivaut à permuter ensemble, dans les équations proposées, les coefficients correspondants; la différence a. — p., qui entre dans l'expression [o] de R, deviendra p.— a.= — (a.— p.). Par cet échange, chaque différence qui entre dans R sera
multipliée par — 1, et R acquerra le facteur (— 1)*^ . Pareillement, changeons a, p en - ,-r respectivement, ce qui équivaut à changer entre eux les coefficients équidistants des extrêmes dans les proposées; la différence a.— p. se changera en °' "" :
et comme a^ &^se changera en a^ iT , la résultante R acquerra
(*) Nous appellerons, pour abréger, correspondants les coeflScients équidistants des extrêmes dans une équation.
de même le facteur ( — 1)"* . Ainsi, dans les deux cas, R deviendra + R? suivant que m sera pair ou impair.
8S. On peut déjà se servir de ces deux théorèmes pour écrire facilement la forme littérale du résultant. Supposons, en effet, qu'on ait écrit sur une première ligne A tous les facteurs en a de poids p et de degré m; on trouvera tous les autres du poids complémentaire ^ = m* — p, en changeant dans les premiers le coefficient quelconque Ui dans son symétrique a .\ et puis en changeant les coefficients ainsi obtenus dans ceux correspondants en &, on formera ainsi un seconde ligne B contenant tous les facteurs en b de poids q et de degré mO. Il est évident que les produits de ceg deux lignes fourniront autant de termes du résultant. Maintenant si, dans ces deux lignes, on change respectivement les coefficients a dans leurs correspondants &, et réciproquement, on obtiendra deux nouvelles lignes B' et A', la première en h de poids p, et l'autre en a de poids <?, qui, multipliées ensemble, fourniront tous les termes du résultant de poids p en &. Les deux premières lignes A et B pourraient occuper les deux côtés contigus d'un tableau, et les deux autres A', B', les deux autres côtés; et en supposant le tableau divisé en autant de lignes et de colonnes qu'il y a de termes de poids p, les petits carreaux correspondants au produit de deux facteurs a et & pourraient être remplis par les coefficients numériques respectifs, déterminés ou à déterminer. Alors le résultant se trouverait écrit d'une manière bien
(*) Pour fixer les idées supposons m = 3, et que le poids des termes que nous considérous soit 4 par rapport aux coefficients de chaque équation ; on aura les lignes
A «u^ias, a^a\^ a',a, ; A' hj)fi^y &o*'î» ^'t*i B Mî*3, ftVa,^!*^ ; B' Ooflifla» o*iû3» ûi«V En les multipliant verticalement ensemble on aura autant de termes de la résultante; car ils seront de degré 3 pour rapport aux coefficients a et by et de poids 9 par rapport à Tensemble des coefficients.
abrégéé et sous la forme d'une série de tableaux, dont il ne resterait plus qu'à calculer les coefficients. Supposons, par exemple, m =: 3, m — 4. On trouvera , dans le premier cas , pour les termes du poids 4 en a et &,
^o^j b\bs bib\ ûisat a^i^s aia\
bob\ bfijb\ J*,J«4 bj)\b^^ b^^
b'sibfi^
b\b't bj)\b^
où Ton multipliera ensemble les termes supérieurs et inférieurs des colonnes avec les termes supérieurs et inférieurs des lignes respectivement, et où les coefficients supérieurs dans le cas de n impair se rapportent aux coefficients supérieurs, et les autres aux inférieurs. On remarquera que d'après le théorème ci -dessus les coefficients dans le cas de m=3 sont de même signe ou de signe contraire lorsqu'on passe des coefficients a aux coefficients & et réciproquement, tandis que pour m=4 ils sont tous de même signe.
Mieux éclairés à présent sur la nature du résultant, nous pourrons en toute sûreté passer en revue les différentes méthodes qui ont été proposées pour le trouver.
89. La première méthode qui naturellement se présente pour calculer R, dont l'expression peut se mettre sous les deux formes
(v:+»i«r+vr'--+o.
ou
[17] R=cKpr+«iPr'+sC+---+o
Kpr+«.c+sC*+--+o
conaiste à faire précisément Tun de ces deux produits, et à calculer ensuite, en fonction des coefficients de cp ou de iji, les diverses fonctio.ns symétriques des racines dont les formes générales seront
Safa^'a^... , ou SPfp^p;...,
et que nous avons appris à calculer dans le chapitre !•'• Mais cette méthode est extrêmement laborieuse, et il faut voir dans V Analyse des lignes courbes ^ par Cramer^ quels pénibles efforts elle a coûtés à ce géomètre pour arriver à déterminer de cette manière I9, fonction R, pour les cas même les plus simples. S'il avait connu les formules et les théorèmes du chapitre l**", ses calculs auraient été déjà de beaucoup simplifiés. Malgré, cependant, les avantages qu'on pourrait tirer mainte'nant de tout ce que nous avons dit dans ce chapitre, des simplifications plus importantes et propres à la nature de la fonction R ont été proposées par les géomètres^ de manière à constituer , pour ainsi dire , des nouvelles méthodes.
Nous nous bornerons à exposer la méthode dîalytique de Sylvester et la méthode dite abrégée de Bézout. Ceux qui voudront de plus amples développements pourront avoir recours à notre Théorie générale de Véliminaiion,
ÛO. Méthode dialytique de Sylvester, Soient toujours 9=0, v=0 (9, 10), les deux équations données. Elles ne cesseront pas de coexister si on les multiplie par une puissance quelconque de X. Si, par conséquent, on multiplie la première par les
premières n — 1 puissances de a?, et la seconde par les premières m— 1 puissances de a?, on aura les équations suivantes:
n — 1 rt
•d'où, si Ton élimine les m-^-n puissances de a?,
rn-Kn— 2
on aura le résultant sous la forme d'un déterminant tel que
CL A CL i dm a^ CL .CL
a^ a^^ a^ , , , , ao ^i . . . .
a ^ CL .
. . a^ a^ CL^ a^ . . ^0 ^t a, . .&
n— 2 n— 1 fi
- -TQ —
On pourrait seulement de cette forme du résultant déduire diverses conséquences importantes relativement à cette fonction. Ainsi, par exemple, on pourrait faire voir que, pour m = n, le résultant se décompose en produits de déterminants de la forme a^b^ — \(i^' L'exemple suivant pour m=n=2, le démontre:
Mais comme cela ne rentre pas dans le champ des recherches que nous nous proposons de faire, nous le laisserons de côté pour passer à la méthode abrégée de Bézout.
4il. Méthode abrégée de Bézout. Soient toujours
[201 9 = ao^"'+«i^*" ^+«1^*^+ • +û«i^ + ««=0,
pi] V = 6,a?'"+ &,»"*"'+ &,a;'"-*+ . . . + &^,a? + 6^= 0,
et observons que, si <p et v sont satisfaites, ou aura encore X<p + fXM; = 0, X, \i désignant deux polynômes quelconques en x. Multiplions donc successivement
la 1*'® par
la 2*°»« par
^0 hx ■\-hi
Kx' +*ia?*~* +M'""* +.. +^
aoa?'+aia?'"* +aia?"*~*+...+«»
M~""*+*ia?'-*+*^"'-^+...+*^.i
aû^'""'+aia?'"~*+aia?''*"V...+a«.i
et ôtons les secouds produits des premiers; il viendra le système suivant d'équations
Qè
m-fi
af^
aj>i — «1 ^Oi ^O^i — <^ ^Oi ^^3 — ^3 ^Oi • • • 0^^ •"" ^3 ^Oi ^0^4 — ^4 ^0
djbi flj J>Qy
«1^1 — <It ^1, <ïlfe — ^3 ^l
flo^i — ^i ^»
^o^nT-^nfio, afi^ — «« Ji, éltJ„— a«»*i,
<Î0^«-1~ ««-1*0, (h K—^mPo =0
En général, on aura
{J>ox'+ *ia?*"*+ *ta?'"*+ . . . + *,) (floaî"+ aiX'^'-^+ a,a?**""'+ ... + ««) — (flo^*+aii2?*"'^+aia?'""*+ •• . + «,) (*o«*+ *ia?*""'+ *ia?"'"*+ . . .+ *«),
et Ton reconnaîtra aisément que, si dans le premier produit il existe un terme de la forme a, h^oo^ .a?'" , il existe certai-
nement dans l'autre un terme de la forme — a^b^œ .x ; de sorte que tous ces termes^s'entredétruiront jusqu'au terme oc^ . Les termes qui restent seront donnés par la différence
â?'^+...fli*«-a«y
En éliminant les puissances œ , a? , û?
équations [14], la -résultante sera le déterminant
., x^ des
«^3-a.».,(2t"J:)>(i;ti;*;)
, tf i V«m^*
<^i^'<^mh • «iV«-.*i > «i*m-«m*i » - » «m-«^m "«m ^«-« > «m-l*m-«m^ii».l
On aura en particulier, pour m = 3, le résultant
dahi — «3^0
Hih^ — <Ï8^1
tti^a — aj^i
4S. On peut arriver à la même expression du résultant en posant avec M. Cayley
œ^ désignant une nouvelle variable ; et alors on aura à considérer Tequation
qui devra être également satisfaite.
FaI di Bbuiio — Théorie dês formât binaires.
Or, le premier membre est divisible par œ — af\ si Ton fait la division par x — œ\ il viendra un polynôme entier en af
«y,T <P [X) Ml [X'\ — MJ [X) <p ix') ^^ ir=^ '
qui devra se réduire à zéro pour toute valeur de œ\ Par conséquent chaque coefficient de a?' donnera lieu à une équation de degré m— 1 en a?, et l'ensemble de ces équations reproduira le système [22], d'où nous avons tiré le résultant. On aura, par exemple, pour m = 3,
x — xf
. + («1^1- a^hi) xaf [x - x'\ + {«1^3- (hb^ (x^-x'^) + («i^s- dsh) {x - af) = x^ L(«o^i- ^M x^+ {a^h- diào) X + «0^3" <ï8M
L +(aidi'aibi)x J
En égalant à zéro les coefficients de a;'*, œ\ 1, et éliminant 0?', œ^ 1, on aura, comme avant, le déterminant [25]. 4L3. En général, en mettant les équations [22] sous la forme
^0 ^ Ko a?"*"'+ \).i ^'""*+ Kt ^'""^+ . . . + Vm-i ^ = û, [28] \ h = Xj,o ^"*"'V Xj.i a?"»-*+ X,,, a?"'-^+ . . . + Xj^„,i a?« = 0,
/.-i= X„,,o aî'"-'+ X,,,i ^^- V X„,,i ;p'""3+ . . . + X^,^„.i ^ = 0,
et en éliminant les m puissances a?**" , a?**~ , ... a?, a;® considérées comme les inconnues, on obtiendra le déterminant
\)iO \).i \>ti Vm-l
Ce déterminant jouit de la propriété d'être symétrique par rapport à la diagonale.
En effet, on a, pour la valeur d'un élément quelconque.
Celle de l'élément X^^, symétrique de celui-ci, s'obtiendrait en échangeant entre eux les indices r et s dans le second membre de cette équation, et Ton aurait
Supposons, ce qui est toujours permis, s>r; ce second membre contiendra en plus que celui de Téquation susdite les termes
qui se détruisent deux à deux. Ainsi on a X^^=i:X^^, ce qui prouve l'égalité des deux éléments et par conséquent la symétrie du déterminant.
On déduit aussi de la forme générale de X que le poids des termes est constant et égal à r-f-s-j-l.
On peut obtenir encore, d'après M. Cauchy, les mêmes équations [22], en préparant les équations proposées de cette manière :
^ w» I tu— 1 1 I 1
h^x^-^-b^x'^ '^.,.'\-b^ûir^^=—{b
..1«^"*"'"'+-+Vl^+»J-
Ed :es d
E^abre à EH-mbre. en tmarera
et, en £ùâ«st âi^raraiTrv les dêcoz^lnatears.
— <&,jr*-7- 6ri"~ — ô,x"~'f ■a^jX*~'— . . .-^a__fr-f-oJ =0.
Eq doDDSDt ensolte à l'iodioe r les m Tsleors 0, 1,2, 3, .... m — 1. OD obtiendra autant d'équations de degré m — I, qui colociiieront avec les équatioDs iS2\ Il est ajsé de voir, en effet, que dans l'équation Ir tous les termes de p et de h* coatenaut des indices inférieurs à r--\ s'entredétniiseat.
Rbmabqce. En appelant A^ le coefBcient de X dans le développement de R, ou aurait, eu furmaut le détermioaut A»,» A»,i A«4 Ai,»— I
^m-\Jt An-I,l *■-!,! A«-l,»— I
B'=:R"~ , comme l'on sait par la théorie des délerminauts. 41. Si à l'aide de ces diverses méthodes on développe les fonctions qui représentent le résultant, et fi l'on se rappelle les relations de symûtrie exposées au N*137i,on pourra disposer, par exemple, les résultants R„ R, des fonctions ternaire et quater-
"""^ (a, &, c, d-^x, y," , (a, ft, c, d, e\x, y)* ,
(p. ?. r, s\x, yf , {p, q, r, s, t Jx, y)* ,
ainsi qu'il suit sous la forme d'une chaîne de carrés:
SE
aed
pqi
,ac'
bc 9*'
ri* sH*
i«» crfe' d'à
p*ql a-'ed p'^rt
pq's
ct'ad'tVt
qtttf' Icdea"
jJ.;+2-i+3
ac ff
ffi'a'fôîï
ï'ifâ
ûSce
Ç'I <tc<d
fn Sf
y'f* pyjf pr*f ^rt p rfi q'^t*gr*i t^
gw'j + 6 ^8.l^4.ljLi +4 1 +2 l -
ac'e|-4i | +4 | — 2 . -2 | + 1 ~
ii^i?i±i' ■
+ 2 jriii±-l' ' ' '
^i±ll I l I L
aecP . + 4
Il faut observer qu'il faut multiplier ensemble les parties littérales supérieures et les inférieures entre elles respectivement. Par exemple, du 7« tableau R4 on déduit que les produits ab^eqrst, bedepq^t ont —3 pour coeflELcient numérique. On voit aussi que les coefficients numériques sont symétriques par rapport aux diag'onales, comme cela doit être.
