Le poids du discriminant sera n (n
DÉMONSTRATION. Il suffit dc remarquer qu'en vertu du théorème (page 73), le poids, égal en général à mn, devient dans ce cas (n— l)(n— 1); car les deux fonctions sont toutes les deux de degré (n — 1); mais comme les indices de Téquation ^ sont ceux de la première augmentés d'une unité, il s'ensuit que le poids sera (n— 1) (n— l)-f-n— l = n(n— 1).
Corollaire. Le Discriminant aura certainement, en égard ^u poids et au degré, par rapport à la série des coefficients
«0 «i «« . . . «m-1 t^i CZj lÂf^ • • • vlfn
la forme ^a^ a^ +jB. ^ étant un coefficient numérique et B une quantité, qui s'évanouit avec les autres coefficients -â, , a^, . . . , ^^j'
57, 3". Le discriminant D rfe Za fonction % ou le résultant des équations
^ ^ dx ^ dy
-est égal aux résultants des équations
"=«• g = 0, et ,=0, g=0
-divisés respectivement par a^, a .
Eu eflfet, si Ton pose y=l, ao=l, l'équation connue
d<D , d <D t "♦ = « J3+ y j^ devient
en désignant par [-— j ce que devient ^ lorsqu'on y fait y = l (•). Or rélimination de œ eutre 9 et (~) se réduit au produit a**~ <P| 9j . . . 9^. . . , où par 9^ on sous entend généralement la valeur qu'acquiert 9 par la substitution d'une racine
^h ^^ i^]' ^^^^' ^^' P^^ hypothèse, 9 = 0, (|^^=0, Téquation [2] nous donne ^9^= x^ I ^ — »
(*] Dans cette démonstration nous supposons la forme 9 écrite sous forme binomiale pour plus de simplicité. Mais on voit bien que le théorème a aussi lieu pour les formes non binomiales, puisque Jes coefficients extrêmea ao, a^ ne changent pas.
Donc, en multipliant les diverses équations (7i =1, 2, 3, . . .), et en observant que n est un facteur numérique étranger au résultant, on aura
d<p d(p d(^ d (p OU, en multipliant des deux, côtés par (— l)**^'*"^^a*p\
Mais le premier membre, d'après le N*" 37, est le résultant de %IP-]; d'ailleurs (i,(«-i)(--i)^-i^...^ est le résultant
des fonctions ^, ^; et puisque (-l)**^'*-^W(-l)^"-^^'^^\-ir\ et que (—1) x^x^, , , ^n-\ ^^^ précisément le dernier terme de l'équation fj^j = 0, c'est-à-dire a^, il viendra
[3] Eésult. [9, ^j = a^ Résuit. (^, ^j = Discriminant. Par l'échange de x en y, on obtiendra évidemment [4] Résuit. ( qp, -,- ) = «0 Résuit, f j? , 5^ ) = Discriminant. En combinant ces deux équations on trouve
aoRésult.(<p,|^] = a^Résult.(cp,g) ,
ce qui se peut démontrer directement; car le résultant de (<P,g) se réduit au produit û„"(g)^ (g)^ . . . (g) j où
parf j^l on sous-entend la valeur qu'acquiert la fonction (3-^) pour 07= a^. Mais si par hypothèse 9 = 0, f ^Wo, Téqua-
tion [2] nous donne
dy Ih ^d^h
On aura donc
Observons maintenant que a^*" ^ ^ ••• j^ est précisément, d'après le N** 37, le résultant des fonctions 9 et ^ , et que
(— l)**aoaia4 ... a^ ... a^ est précisément le dernier terme de l'équation qp = 0, dont les a sont les racines; donc
a^ Résuit. [ 9, ^ j = a^ Résuit
Par des considérations d'un autre ordre on arrive aussi à trouver que le résultant [4] contient a^ en facteur. Car, lA l'on entreprend de trouver le résultant des équations
^9 n-1 , , rt. n-2 . («-l)(«--2) »— 3 , , , ^
^=aoa? +(n— 2)a,a? i/+^ ^ — 'a^x !/'+...+ a^i
par la méthode dialytique, il est facile de s'apercevoir que la première colonne du déterminant est divisible par a^.
Un exemple éclaircira davantage ce que nouis venons de dire. Le résultant des équations
9 = a^*+ 2\)xy + Cî/'= est égal à
ao: + &!/ = =
dx
Or
est en effet le résultant des équations aa?+&y=0,
hx-\-cy=zO.
58. Le discriminant est égal au produit des carrés des différences des racines.
Ainsi en appelant toujours Oj, a,, . . ., a les racines, on aura
Discr.=(— 1) » a^ («i-o,)'(a,— a3)*...(«,-«8)*-(o„,— oj*. DÉMONSTBATioN. On a en effet
[^^ ë"''» [(a; — «,)(i» — «s) • • • 4- (a; -a.Xaj — «,) . . .+. ..1.
Par conséquent le résultant de <p, ~ sera, d'après le N* 37,
Or observons d'abord que cette expression ne contient certainement que deux fois la môme diflRérence o^— «^ car une seule des parenthèses du second membre de [7] contiendra a^ associée à toutes les autres racines, et une seule des mêmes parenthèses contiendra o^ combinée de même avec les autres racines; donc la différence a^ — a^ n'y pourra paraître qu'au second degré comme dans [5]. D'ailleurs les deux expressions [5] et [7] ne diffèrent que par le facteur a^. Donc le discriminant, étant le résultant [7] divisé par ao, en vertu du théorème N* 57, aura bien la forme [5], ce qu'il s'agissait de démontrer.
50. Le discriminant du produit de deux fonctions est égal au produit de leurs discriminants^ multiplié par le carré de leur résultant.
En effet, le produit des carrés des différences de toutes les racines comprises dans les deux fonctions peut se décomposer dans le produit des carrés des différences appartenant à chaque fonction, multiplié par le carré des différences des ra-
cines prises dans Tune et Tautre fonction. Mais ce dernier produit n'est autre chose que le carré du résultant des deux fonctions.
Application. Le discriminant de (x — a) f(œ)-= Discriminant de f (ce) y^{f{p)Y . Si ar=0, f{o) se réduira au dernier terme de f(x)^ et ainsi dans ce cas le discriminant de xf(x) sera = a^ X Discrim. f{x).
Le discriminant de
a^x + a^x y-\ra^oc î/*+ . . . + «^^i^l/ + cl^V
est de la forme a^G-f-a jV, v désignant le discriminant de la fonction susdite privée de son dernier terme et divisée par x. Car, si nous posons a =0 dans le discriminant, on doit obtenir le même résultat que si on faisait a =0 dans la fonction proposée. Mais dans ce cas la fonction se réduit à
X (ao a;'*^^+ a ja7**"V + . . . + a^,) ,
et le discriminant sera, d'après le théorème précédent, a^^-
Par conséquent a^,v nous représente bien la partie indépen-* dante de a dans le discriminant proposé.
%0. Théorème. SI les racines d'une fonction f(x,y) sont réciproques^ le discriminant est divisible par la demi-somme des coefficients.
On pourrait démontrer cette propriété directement. Mais si Ton met le discriminant sous forme de déterminant, à l'aide de la méthodedialytiqued'élimination, on trouve immédiatement, en sommant les lignes ou les colonnes, quMl est divisible par
|r(l,l) = ao + na,+ ?^^a,+ ...
01. Jusqu'à présent nous n'avons rien adopté par rapport au discriminant exprimé eu fonction des coefficients. Mais d'après
la condition qu'il doit remplir par rapport au degré et au poids (N" 55, 5G) ; il sera certainement de la forme
A désignant une coefficient numérique, qu'on peut déterminer à Taide de l'équation [5], et la suite des termes après le premier contenant au moins un des coefficients a» , a^ , . . . d^^y Supposons à cet eflTet d'après M.Cayley que les racines a^Pv soient celles de l'équation a?**— 1 = 0, et représentons par TT (a) le produit des carrés des différences (a— P)^(ct — T)^..., on aura
(-1) 2 a!'*"'n(a) = (-ir-'^;
car la quantité entre parenthèse a** a^ + .... se réduira
dans ce cas à (—1) . Mais notons que si f(x)^=(x—a) (a:— p)..., on a f\o) = (a-P)(a— T) . . . , r(p) = (p— a) (P— T) . . . , etc., et par conséquent
Dans le cas actuel f {œ):=nœ ; donc
f (a) r (P) . . . = n>PT ; . .r""^ = n**(~l)'^\ et n(a) = (-l) (-1) 2 n ;
donc enfin ^ = n** .
Par conséquent la relation [5] deviendra
et si on adopte d'écrire
Discriminant = A = a**~ a**" + . . • ,
on
on aura
On pourrait ajouter maintenant beaucoup d'autres propriétés des discriminants; mais nous nous réserverons d'en parler à propos des invariants et des covariants.
