FORMES CANONIQUES

•9. Théorème. Une fonction homogène à deux lettres de degré quelconque impair 2n-f-l peut être réduite à la forme^ qu'on appelle canonique.

par la résolution d'une équation de degré n-|-l-

DÉMONSTRATION. Soit

«»+-! . 2«+l 2n , (2«+l)2» tn-\ , . , 2»+l 8n .

^<fl> H j— 0«'» 1/4- ^.o ^ I/'-f--H ]— '^«"^^ +«ï»-.-lî'

une telle fonction, et soit

sa forme canonique, forme à laquelle peut être toujours réduite l'expression [1], en posant fi= ?^a^ , Tt= Pi«i , • • • J^^ Pn ^n»

on aura les équations de condition suivantes

Pi +P. +P» +Pi -+Pn +Pn^l

J>.a, +p,o, +^,0, 4-p,a, ...+pa. +P

tu- !"»-♦. 1

Pl«i* +PA' +P8«3* +PA' •••+l^n«n +^n^l«Ll=««>

[4] P.a? +P»^2 +^3«? +P4«Î -+Pn< +Pn.l<^X=^n^

Pi^r^ +Pi«r^ H-Pscir^ +P4«r^ •••+Pn«r^ +^

Pi«^ +M'' +Pa«|'* +P4«^ •••+l'n«n" +^n-Hld =«;

Les équations, étant au nombre de 2n4-2, sont propres à déterminer les 2n + 2 inconnues p et a.

Éliminons i?, entre les n-}- 1 premières équations; il viendra

APi=

et, eu supposant que le déterminant soit de la forme A = Ao.l + Aja, + A,a,«+Aaa,»+... + A^a|*,

on pourra généralement poser

[5] jp;= Aoao+A|a,+A,a,+ . . . + A^a^.

Éliminons ensuite pfl^ entre les n+l équations qui suivent la. première ; il viendra

^Pi(ii =

Ûl

de sorte qu'on aura eifcore

{6] P'i«i= Ao^i-t- Aia,+ A,a8+ .

On obtiendra pareillement

{7] i>,o,*= A„a,+ A,as+ A,a,+ . . . + A^a^^g

•et enfin

On aura donc un système d'équations au nombre de n-f-2,

— p', 4-Aoa, +Aiaj +A,a, +...+A^a^ =0,

— P>i +A»a, +A,a, +A,aj +. . .+A^a^^j=0,

-^^.^^ + Aoa^^,+A.a^^2+ A,a^^3-|#. . . + A^a^^^jZ^O,

. entre les n + 1 rapports

Aq Ai

A, Pi '

Il viendra donc simplement Téquation

ûa

dont les n + 1 racines détermineront les quantité^ o, et alors

au moyen de nos n-[-l premières équations [4] on déterminera les quantités inconnues p. Il sera alors facile» de passer des quantités p et et aux quantités p, Tj et le problème sera entièrement résolu.