Application 1«». La forme cubique

flo^H SûjO?*!/ + 3a,ari/*+ a^y^

pourra se mettre sous la forme canonique

[12] Pi (^ + a,y)'-f-p, (a? + a^vY

où a„ «t, 2?i, p, seront déterminés par les équations

a. a. at

En posant maintenant

œ'\-a^y = x'Vpl^

l'équation proposée devient

Mais des équations ci-dessus, en posant -=:^ et p désignant une racine cubique de — 1, on déduit

En posant pour le moment L'— =rft, on voit que

1 + P* (1 +P*) (l + A)(l+p«A) l+A(p+l+p') + A'p ( p+l+p')-A' 1-pA (l-pA)(l+A)(l+p«A)~ 1 + A»

ou que l±^^ l + 2Ap + 2AV-A3 .

^ 1-pA 1 + A»

de sorte que

Pi + Pt

et alors Téquation [17] devient

[18] «0^ = — aj— l^aoûî— «i*(p V^«i — flo^i— p* Va^—a^aJ

Car, en appelant A le discriminant

[19] (ao^s— «!«,)* — 4 (a^a^ — a^*) (a^Ot—a,*)

de réquation canonisante [13], celle-ci nous donne

* ai— a, -^^ ai— Qj

Observons maintenant qu'en posant

A = 3aoaia,— ûq* «3—2^1^ ,

A—aoV^ A + floVÂ

* ** * 2(flo«i— «i) 2(ûoaâ— fli')

et alors il viendra enfin

a,. = -a.-p|/f -|l/Â + py| + |>l/K;

de sorte que les trois racines seront

«,..=-«. + |/f|y + [/f4-|VÂ,

a„.,= -a.-pj/f-|i/Â + p«|/f + ||/Z,

a,;ï,= -a,-pJ/f + |i/Z + P»|/f-fl/S.

Telles sont les formules données par Eisenstein dans le Journal de Crelle^ Tome 27^ sans démonstration.

Lorsque Téquation cubique prend la forme connue a^-\-pœ-\-q=Oj il suflBlt de faire dans ces formules ao=:l, «1=0, a^=^ , a^^=q^ et alors on a

y- 2 ' 2 ^^-KT + 27'

et on trouve, en posant R= y ^"^ '

^.=pl?ï+Vl-p«j?fr^,

formules qui coïncident, par le changement de ;? en — z^ ou de ^ en — q^ avec les formules connues.

Sous la forme de quotient, on trouverait

2 (aoû,— a^)z^a^a^— a^a^= — VA 3 — 3

FaI i>b Bburo — TA^orït d«« formes binair$i. 8

64. Application 2'°«. Soit réquation [22] aa^-\-5bx'y-{-]0cxY' + l0dx^y^-{-3eooy'-\-fy'' = 0,

qui, d'après le théorème démontré, peut toujours se mettre sous la forme canonique

[23] p(a) + ay)^+q(x + ?y)^-i-r (a? + T|/)* = ,

où a, p, T sont les racines de l'équation cubique

Ao?» + 3Ba?*4- 3Ca? 4- D = , A = ace -}- 2&cd — ad* — eô* — c* , 3B= acf'{- bce — ade — &V+ bd* — c^d , 3C = adf-]- bde — bcf^ ae* + c*e — ccP , D = &dr+ 2cde — ôe* — cY— d'^ ,

équation à laquelle on arrive en partant de celle de la forme

or'

commune à toutes les équations qui servent à canoniser une fonction homogène de degré impair à deux variables. En déterminant p, 9, r par les équations suivantes, qui lient les coef9cients de la transformée canonique à ceux de la proposée,

Ip-fg-f r = a, on trouve

Posons maintenant

flaT--&(a+T)+g (P-a)O-T)

flap-&(a+P)+g lT-a)(T~P)

tf P (g— T) + 1? (p~T) g (a-P;(P-T)(T-a)

^(tt-T)+g[p--T) (a-P){P-T)(T-a)

On verra aisément qu'alors on peut donner à Téquation [23] cette forme

ou

[31] lu^+ mt?*+ n (u + v)' = ,

en faisant

Eu posant encore X = --, l^ = — , la forme canonique [31] prend encore cette forme

sur laquelle nous reviendrons dans la suite.

Ainsi, si Ton observe que le déterminant de la substitution [29] est l'unité, on a déjà ce résultat remarquable, qu'une fonction de 5« degré à deux variables peut toujours^ par une stibstitution linéaire à déterminant i, être ramenée à la forme définie par V équation [33] , ne contenant plus que deux paramètres.

tt5. La réduction générale des formes de degré pair à la forme canonique présente de grandes difficultés. Nous nous bornerons à présenter aux lecteurs celle des formes 4« et 6«

Soit [34] ax* + 4 bxfy ■{- 6 cje? V + 4 dxy^ -f ey*

la forme de 4« degré, et

[35] P(x + aî/)*+ g (0? + p î/)*-f 6r (x + ay)« {x + Py)« sa forme canonique.

(•) En posant ti=: — -, l'équation. [31] devient Zu*+miî»-n(u+i3)*=0,

ou lu^+mt^-i-nto^^^O, si 1 on suppose u4-o+^=^* C*est sous cette forma que quelquefois on présente la forme canonique de la forme quintiqua.

On aura, pour déterminer les 5 coefficients p^ q, r, a, p, les 5 équations de condition

' 4jpa4-gp-j-3r5 = & ,

[36] i?o«+gP«4.r (5*4-20 = c,

pa»+gp^ + 3r5^ = d, pa*4-gp* + 6H» = e,

en posant 5 = + ?, ^=aP.

Éliminons p, q entre les groupes (1, 2, 3 ; 2, 3, 4 ; 3, 4, 5> de ces équations; nous obtiendrons

(a — 6r)< — (& — 3r5)5-f [c— r(5*+20] = 0, (b—Srs) t— [c—r (s*+20] s^-d-- 3rst = , [c — r (5* 4-20]^— (rf—3r505+e — 6W*=0 ,

qui se réduisent aux suivantes

ou encore, en posant X = — r(8< — 25*), à celles-ci

at — b$-^c-\-\ = 0,

(c-fX)^ — d5-f e = 0.

L'élimination de 5, < entre ces équations fournira Téquation

= X3 — X (fltf — 4^rf + 3c') + 2

ei ^ c d c d c d e

Au moyen des racines X', X", X'" de cette équation on obtiendra la solution du problème. En substituant en effet Tune quel-

conque d'entr'elles dans deux des équations [38], ou obtiendra les valeurs cherchées de s et t^ et alors au moyen de Téquation

on obtiendra finalement les valeurs de a et p, d'où par les équations [36] on aura celles de p, 9, r. Ainsi le problème sera complètement résolu à Taide de la résolution d'une é- ' quation cubique et d'une équation quadratique.

U est évident que de la forme canonique [35] on peut passer à cette autre

par une simple transformation des paramètres "p, ^, a, p, r. Si maintenant on pose

on en déduira que toute forme biquadratique, par une simple transformation linéaire et par la résolution des deux équations de 2* et de 3« degré, peut se mettre sous la forme canonique réduite

ie* + t;* + 6^w«t?«.

Or, en égalant à zéro cette forme, ou en ayant égard à son équivalente

(i)'+ea(«)Vi=o.

on voit qu'elle est résoluble algébriquement. Ainsi la transformation en forme canonique peut Servir à résoudre les équations de 4* degré.

••• M. Sylvester, à qui l'on doit l'élimination ci-dessus, a réussi aussi à trouver la forme canonique pour le 8* degré.

Soit

cette fonction, et

X (Ps* + îsî/)* (P«* + QkVY, ou mieux encore

p,(*+x.y)'+p«(H-x,y)»+Ps(^X3y)*+P4(^X4y)'+70m(x+x,î/)'(x+x,y)*

Posons («+X,y) {a;+X,y) (i+X,») {x-\-\ji/)=oi^-\-Sii^y-\-s^*v^'\-s^''-^9ji*='i et M.- = 70 (I 23 -*)(J-^ •••»-*) X par le coefficient de x«-'y'

dans la fonction T*. En comparant les coefficients de la forme [40] avec ceux de la forme canonique [41] on aura un système de 9 équations, dont le type sera

Éliminons p^, jp„ Pg, p^ entre ces 9 équations prises successivement 5 à 5, en commençant par les 5 premières et en finissant par les 5 dernières ; on obtiendra les 5 équations suivantes

— ^4^3+ a^s^— a^s^+ a^So— m N^zir ,

— a^s^-^ a^s^— a,5,4- a^SQ— m N5 = ,

où pour abréger on a fait

N,= Mo54-- Mi53-f M^5,-- M35,+ M4, N,= M,^^— M,53+ M35,-- M45|4- M5,

N3= M,54— Mg^a^- M45,— M^5,+ Me,

N4= M3S4— M4534- M,,.?,— Me5,+ M„ N5= M454-- M5934- Me5,— M,s,4- Mg.

Maintenant si on développe T', on trouve

Mo=70 , M,:

^4=2*4+25,584- V, M5=2 5jS4+2^«^3i Me=5s,S4+2^3', \f — ^

Ms=70s/,

d'où Von déduit

Nj= 72^4— 185,^3+65,',

^ 3^-— i-ébS^S^"^^ o 5|Sj . 53~j~ 5j , N4=lo5354 2 S^S^ "T" 2 *« '^a?

N5= 7254*— ISSjSg . S4+ 65,*S4 ,

et aussi, eu appelant I l'invariant quadratique de T ("*),

N,=72.I, N^725l, N3=72.gl, N4=725l, N5=7254T.

Posons maintenant 72 m I = X ;

les 5 équations [42] deviendront

ao54— aj58+ a^s^ - «s^j-f «4— X = 0,

(a4— X) *4+ a5*3— ae*,— «7*+ «»= ^ ; par conséquent l'équation qui fournira X sera le déterminant

ûo

fli

ûs

(*^ Voir au chapitre suivant, page 123.

équation qui fournira 5 valeurs, de X, et par suite 5 systèmes clivers de solution du problème de la canonisation de la forme de 8« degré.

M. Sylvester a réussi aussi à résoudre le même problème pour la forme sextique. Mais son analyse assez compliquée peut être remplacée maintenant par une méthode plus expéditive donnée par. Cayley, que nous donnerons ailleurs, et par laquelle on aurait pu tout aussi bien résoudre les problèmes ci-devant pour les formes de 4« et de 8® degré. Ce n'est pourtant que pour une forme spéciale canonique des formes de degré pair qu'on trouve Téquation canonisante, et alors celleci prend la forme des canonisantes [38], [43].