CHAPITRE CINQUIÈME
DES INVARIANTS.
Propriétés des invariants considérés par rapport
aux coefficients de la forme.
B7. Nous allons maintenant entrer dans rexposition de la partie la plus intéressante de la théorie des formes binaires, à savoir la théorie des invariants, qui doit son existence aux recherches faites dans les 30 dernières années par les géomètres Cayley , Sylvester, Aronhold, Hermite, Brioschi, Clebsch, Jordan, etc., et son origine à un mémoire de M. Boole. Dans cette étude nous entendons suivre de près le développement historique de la science et fournir aux lecteurs tous les éléments nécessaires pour se rendre compte des découvertes des savants jusqu'aux derniers travaux des géomètres allemands, que nous ne pourrons que laisser de côté, car cela nous entraînerait hors du champ d'un cours ordinaire d'analyse. Gela seul d'ailleurs suffira, et c'est là tout notre but, pour mettre les élèves à même d'étudier avec succès et sans fatigue les ouvrages mêmes des Auteurs que nous venons de citer.
Soit la forme
ou, sous la forme abrégée de Cay)^,
Posons
f(œ^y) se changera en
Aq, Aj, Aj, . . ., A^ étant les nouveaux coefficients de la transformée, qui seront évidemment des fonctions des anciens coefficients ao, a^, a,, . . ., a^, et des constantes p, q, p\ q' de la substitution.
BS. Soit maintenant q> une fonction rationnelle et entière des coefficients a^, a^a,, . . ., a^, et o ce que devient cette fonction lorsqu'on y a changé respectivement
On dira que q> est un invariant de la fonction proposée f(oo^ y) , si Ton a
[4] <l>=(jpg' — p'g)^*(p
\jL étant un nombre entier. Ainsi
Un invariant est une fonction des coefficient s d^ une fonction donnée telle que^ si dans celle-ci on change les variables en d^autres par une substitution linéaire^ la nouvelle fonction formée avec les nouveaux coefficients résultant de cette substitution sera égale à la première multipliée par une puissance du déterminant de la substitution.
Cette définition de Tinvariant, une fois admise, suffit pour en trouver toutes les propriétés.
Pour bien nous faire comprendre, nous donnerons d'abord quelques exemples pour montrer comment les choses se passent.
Pour n = 2, on a l'invariant
c'est-à-dire qu'on aura ^
AoA. — A,*=: (pg'— j9'g)« (aotti— a,*).
En effet on n'a qu'à substituer pour Âo, A^, A, leurs valeurs
A„= aoJP*+ 2a.jpi?'+ a^p'*,
Aj = a^vq + a, (m'-^-P'a) + d^Po!, A,= «0^*4-2 «4^3'+ «jg'*,
et faire les réductions nécessaires pour retrouver Tidentité. De même, pour n = 4, on a l'invariant
et réquation en effet
AoA4-4A4A3+3A,«=(pg'— |)'g)*(aoa4— 4aja8+3a,*
deviendra identique après avoir substitué pour Aq, Ap A,, A,, A4 ' leurs valeurs
A,=aoP«g4^t(l)'^'+3p»i?'g)+3a,(pV«'+p'«i?^)+a3(î)'»«+3p^^^
A3= ao^»p-h«i(«'P'+3«Vi?)+3a,teVP'-Hz'*«l?H- a3(a"i>-k'*«i>'H-3a4«''l>', A4=ao«^4-4«i^a'+6a,g*«'*+4a3g'a"+«4^'*-
Ces exemples suffisent pour montrer qu'avant de procéder en avant il est de toute importance de savoir comment en général les nouveaux coefficients sont liés aux anciens. C'est ce que nous fournira le théorème suivant :
09. TnéoRÈME. Les nou^aux coefficients Ao,Ap...,A^ sont des fonctions Tiomogènes de degré n par rapport aux constantes p, q, p', q' de la substitution^ et linéaires par rapport aux anciens coefficients ao, ai, a,, . . ., a^.
i^*] Suivant une notation heureuse de M' Cayley on pourrait écrii*e
Ao= («0» «1» «ti «8» «4) (Pi p')*» A| =^(0^, a„ . . . , 04) (p, p'Y [q, q') A, = (oo, a„ . . . , 04) (p, p')* [q, q')\ A8= (ao, a„ . . . , «4) {p,p') \q, q*)^ A4=(ao,a„...,a4)(î,ç')*.
DÉMONSTRÀTioN. Evidemment la fonction proposée étant homogène et de degré n par rapport h œ^ y, elle le sera aussi par rapport aux nouvelles variables. Mais comme les constantes Pj Qy P'î Q' sont associées aux variables X, Y, elles ne peuvent que suivre les divers degrés auxquels montent ces mêmes variables, et puisque le degré de celles-ci considérées conjointement est constant et égal an, il en sera de même des degrés des quantités i>, 9, p', çt^ D'ailleurs la substitution n'aflfecte nullement les coefficients a^^ a„ . . ., ^^^ ^^^®^ ceux-ci figureront toujours linéairement dans la transformée.
On peut maintenant se proposer de trouver la valeur générale d'un coefficient transformé quelconque A.. Observons à cet eflfet qu'on a F=f[px-\-qy, p'ûo-^q'y]; et le coefficient A^, c'està-dire le coefficient de cc^^^y sera encore celui de { -^ ) ou
de (- j , selon que l'on divise f par x ou par y . Par conséquent, en observant seulement de mettre F sous la forme
rp+«(i),^+«'(f)]our[«+p(f),«'+P'(î)}
et en s'aidant de la série de Taylor, on aura indifféremment les deux expressions suivantes pour la valeur des coefficients
de (■^1 ou de (-
•'-!'.i'-'^" ^=rslo(^é+»'é)^"'-'^'
n(«-l)...(i+l] , 1 [r>^ \^'^\ fin a')
