i— 1.2.3...{«-]) Vdq^P dg

d'où eufin

(*} Comme nous avons déjà nrem arqué pour n=4 on pourrait écrire généralement

A. = (ûfo, ûi, ûj, ..., «n-l» «n ) (P>pT"*(î» î')*-

VO. Théorème. L'invariant «p est une fonction homogène^ par rapport aux coefficients de la proposée.

DÉMONSTRATION. Si Toii fait la substitution

chaque coefficient a^ deviendra a A^, et chaque terme par conséquent de Tin variant contiendra en facteur une puissance de k exprimée par n fois le degré de chaque terme. D'autre part, le* déterminant de la substitution étant dans ce cas à', il faudra que par définition l'invariant transformé de (ao, a,, a^, . . . , a J soit divisible par une puissance déterminée de ft, ce qui n'est pas possible à moins que h ne figure partout au même degré dans chaque terme, c'est-à-dire, à moins que l'invariant ne soit une fonction homogène par rapport aux coefficients de^ la forme.

11. Théorème. En appelant r le degré de Vinvariant et A le déterminant de la sul)stitutiony on aura

Démonstration. En effet étant de degré r par rapport aux nouveaux coefficients, et ceux-ci de degré n par rapport aux constantes de la substitution, <t> sera de degré nr par rapport à celles-ci, comme nous avons déjà observé ci dessus. Mais par hypothèse <t>=A^.^, et les constantes dans le second membre sont au degré 2|i. Il faudra donc que 2M=nr, d'où ^z=z—^

Nous appellerons, d'après M. Hermite, indice de Vinvariant cet exposant fx. On pourra donc dire que Vindice est égal ^ la demi-somme du produit du degré de la forme par le degré de Vinvariant,

Corollaire. Si le degré de la fonction est impair^ celui de Vinvariant doit être pair.

79. Théobèmb. Le poids de Vinvariant est constant et égal a -s— Ainsi en appelant

^09 ^lî ^%t ^Sï • • •' ^n

les exposants, dont sont respectivement affectés les coefficients ^07 ^19 ^s> ' ^a dans chaque terme de Tinvariant, on devra avoir la relation suivante

DÉMONSTRATION. En cffct faisous dans f(x^ y) la substitution

^ = X + O.Y, ^^^ î/ = O.X + XY;

on aura par ce qui précède

nr = «*".(?.

Mais par cette substitution les coefficients de f{x^y) sont devenus

Aq = ÛqX , A|=fljX f Aj=^ûjX , ... , A^=âf^X .

Par conséquent , si A^» A** A** . . . A^*» est un des termes

de <t>, ce terme sera l'ancien aH^ci^a^, , .a^ multiplié par %» ^o.,^,+i.jH-2..,H-...H-n.*ng|.çQjjjjj^gçç l^çX^^^ doit être commun à

tous les termes afin que cp puisse se reproduire, on aura

En comparant avec Texpression précédente, il en résultera la relation indiquée [8]. On en conclut que le poids est égal à Vindice.

99. Théorèmb. LHnvariant^ au signe prèSy est symétrique par rapport aux coefficients équidistants des extrêmes C") .

(*) Nous appellerons une fonction symétrique par rapport aux coefficients lorsqu'elle ne change pas lorsqu'on échange entre eux les coefficients équidistants des extrêmes. Les termes qui s'échangent entre eux par cette permutation seront dits conjugués.

DÉMONSTBATioN. Car si Ton fait la substitution

dont le déterminant est — 1, Tinvariant se reproduira à une puissance -^ près de — 1, c'est-à-dire au signe près. Or, par cette substitution le coefficient en général a. devient a .. n faut donc que Tinvariant demeure inaltérable, à part le signe, par cet échange, c'est-à-dire par rechange entre eux des coefficients équidistants des extrêmes. Donc Tinvariant, au signe prèsi sera symétrique par rapport à ces coefficients. On peut remarquer que, si

g' h' fc' g h h

est un terme de Tinvariant, en échangeant entre eux les coefficients équidistants ce terme deviendra

dont le poids sera Mais on sait que

gg'-\'hh''\-hk'-\-.,.z

donc le poids de chaque terme après cet échange sera encore

comme avant

nr nr

YiY* = — •

Les invariants qui par cet échange changent de signe s'appellent invariants gauches. Ainsi les formes quintique et sextique ont respectivement un invariant gauche de 18* degré et de 15* degré, dont le premier a été découvert par M. Hermite. Par opposition nous appellerons invariants droits (*) ceux

(*) Les géomètres allemands appellent ces invaiiants respectivement gerade und ungêrade.

qui après cet échange conservent le même signe. Ainsi mi invariant sera droit ou gauche selon que -^ ^^^ P^^^ ^^ impair. Remabque. En s'appuyant uniquement sur la définition, on peut démontrer autrement qu'à Veœception des invariants gaiLChes le produit du degré de Vinvariant par celui de la forme est un nombre doublement pair. Faisons en efffet dans f(œ,y) la substitution

[10] ;J Mod.=l.

Par définition on aura = 1^*9 = 9.

Mais par cette substitution

Par conséquent chaque terme de Tinvariant acquerra le facteur (V— l)*"", et il faudra ainsi que

ce qui n'est pas possible si Ton veut que Tinvariant conserve le même signe, à moins que nr ne soit doublement pair.

Pour les invariants gauches le produit nr étant simplement pair, cette propriété n'a pas lieu.

Dans le premier cas, selon que n sera de la forme ^p-^^^ ou 4i?4-lî ^ sera de la forme 2p ou 4i?; et ce ne sera que pour les degrés des fonctions doublement paires que le degré de l'invariant droit pourra être impair. De ce qui précède il résulte encore que les fonctions de degré impair ne peuvent avoir aucun invariant impair.

M. Théorème. La somme algébrique des coefficients numériques de Vinvariant est nulle (*).

(*) On pourrait considérer ce théorème comme coroUaire de celui-ci^ à savoir, que tout invariant de [x -f- y)** ^st identiquement nul, ce qa^on prouverait en ayant égard à ce que Tinvariant est isobarique.

DfaioMSTBATioM. FàiflOiis en effet la sabstitution

[ Mod.= 2 , y = l/— IX + Y )

et8iippO8OD0 qu'on ait a.=^a; alors Tinvariant, en appelant

c cette somme, deviendra 9= (2 a)' a, et la forme se réduira à (^-fay)*^; tandis que la transformée deviendra

Miis par la nouveUe substitution A. = (l+a|/^r( ^+ ^M * : pir conséquent

•=(i+ay=:îr(^iiO)%=(i/:rif(,+afa=(+i,(i+«.f^,

et on devrait trouver î^ 2L

ce qui est impossible quel que soit a, à moins que a = 0.

ïft. THioBiiiE. Ir'inrarfan^ <p satisfait à Véquation aux dérivées partielles

DÉjfONSTRAjioN. Faisous dans la proposée la substitution

y = O.X + Y; on aura 0=9.

Hais par cette substitution les coefficients de f(x^ y) deviennent

A, = ai4-«o€ ,

A,= a34-3aje + 3a,€«-hao€' ,

A4 = a4+4a3€ + 6aje'-r4a,€' + ao€* ,

FaI bb Bbuxo — Théorie des forme* binaire^.

et généralement

dont on peut trouver très-facilement l'expression générale en observant qu'on a symboliquement, en remplaçant ensuite les exposants par des indices :

et donc

Remarquons ici qu'en ayant égard à ce qu'on a dit au N. 32, on pourrait encore donner à A^ cette forme nouvelle et trèsimportante

b désignant, comme à l'ordinaire, l'opération /^-^i-ilâ ' Il est maintenant évident que pour les valeurs susdites de Ao, A|, A,, . . . , prendra la forme

Mj, M,, . . . étant des fonctions de a^, a^, a,, . . ., a^. Or cette équation devient, en vertu de l'égalité 0=9,

et comme elle doit avoir lieu quel que soit c, il faudra que

Mais par le théorème de Maclaurin généralisé, on a

M,= |g-DAa.+ ^DAa,+ ... + ;?^DAal

€n appelant Aa,, Aa„..., Aa^les accroissements en question de «0, ûj, . . ., a^. Or cela donne précisément

«o#+2aJ^+3a.|^ + ...4-na ,^ = 0.

GoBOLLAiBE. En vcrtu du théorème N. 73 on pourra échanger dans cette dernière équation les termes équidistants des extrêmes, et par conséquent Tinvariant satisfera encore à Téquation aux dérivées partielles

Rbhabque. Si la proposée était écrite sous la forme non binomiale

alors les deux équations caractéristiques deviendraient

Pour s'en rendre compte, il suffit d'observer qu'en appelant, pour un moment, &, les nouveaux coefficients, on a par exemple

. «(«— l)(ii— 2)...(n-*+l)

dit d(p

Mais

Donc

if-^dak ,r«(n—l)(»-2) ,..(«-*+!) "l ^ L 1.2.3...* ^d

ce qui montre comment la première du !•' groupe se change dans la seconde du deuxième groupe.

96. Non seulement la condition énoncée [11] est nécessaire, mais elle est encore suffisante.

Pour cela, il suffit de faire voir que, si Ton a

on aura nécessairement M^ = ,

et qu'ainsi Téquation = (p sera toujours satisfaite pourvu que la première condition [11] soit remplie.

A cet eflFet observons qu'en posant

^ = ^«f-i«+ ^IX^ ^i-2^*+ • • • =(^ + €) — a,. ,

on aura

Posons pour plus de commodité

on verra aisément que les termes qui peuvent fournir c sont compris dans la somme

Considérons, dans le cas particulier de 2 = 2, 2 == 3, les sommes

et posons h^=i^h'^. Il viendra, pour le coefficient M, de e*,

et d'après la valeur susdite de h. ,

Or on peut embrasser les deux termes dans un seul signe symbolique

en convenant de faire porter les dérivations indiquées par ba^ non seulement sur la fonction 9, mais sur les coefficients mêmes (a^) contenus dans le second 2. Ainsi, en écrivant celui-ci de cette façon

Topération du premier 2 donnera et par conséquent on aura

où le premier terme est produit par la dérivation sur 9, et le second par la dérivation sur les a.

Pareillement on aura

et cela donne ou

somme qui symboliquement peut se représenter par

^«"^ 1:2:3 <2^« i^a/ 2f a.iba. .

Car, sous les mêmes conventions qu'avant, on a, par une première opération,

et par ime seconde opération, en observant que le numérateur de Ms se transforme comme il suit :

' =^i(i + l)(i + 2)a.^ba.^^ = ^i(i^l)(i-2)a^^ba^ ,

on voit qu'on reproduit précisément l'expression [18] de Mj. On verrait ainsi généralement que

peut se mettre sous la forme

Mais, d'après le théorème N. 74, on a

Donc M^ = 0.

Remarque. On pourrait observer, eu égard à ce résultat, que d'après la remarque faite au N. 74, le nouveau invariant peut prendre la forme

<D = <p(Ao Aj ... AJ =9 ^ ca^ , e,a^ , ... , e.a^ , ... , e,a]i

d'où Ton voit évidemment que € étant toujours associé à b on doit avoir

On a donc cette propriété nouvelle, que

e.ttQ , e.a^ , ... , c.a) =c.<p .

V9. Les équations caractéristiques [15] dont nous nous sommes occupés jusqu'à présent peuvent être remplacées par les opérateurs

^=PTq+Pd^- ' '>•=«?? + « à?'

appliqués aux invariants transformés O, et Ton aura alors b = 0, bi ^= 0. Nous nous réservons de démontrer ce théorème en traitant des covariants ; pour le moment nous nous contenterons de faire quelques vérifications. A cet effet pour plus de commodité dans les calculs, observons que la forme binaire pourrait être exprimée symboliquement par f(Xy y)=(o,x + Pi/J**, et alors les coefficients symboliques a**, a**" p, etc. désigneront les coefficients réels «o? ^u ®^- Cela posé, il est aisé de voir d'après la fqf mule [6], N. 69, que le coefficient transformé A^ peut être représenté symboliquement par

A l'aide de cette formule, l'invariant cp = ac — ô* de la forme 00?*+ 2&a:|/ + cy* fournira l'opération

b0=b(AC-B*)=b[(ap+ppOMa(H-P^)*-(i^H^

==2{ap+pp0*(a3+P«0(aiH-PP0-2(atf+P«0(«H-Pl>0(«2>+PP0*=O

Pareillement l'invariant q)=ae— 4&d+3e* de la forme quartique aâ7*+4ôo?î/'* + 4ca?*y*+4da:î/'+ey* fournira l'opération

b0 = b(AE — 4BD+3C«)=:

=b [(ap+Ppr(a?+Pi'')^4(aî+p^')(ap+P?')«(aj'+Pi'')?(ap+af)

+ 2{aq + fiqriap + Pp')'=-4(a;?+Pp')*(ay+Pi'')'ap+Pp'

-4(a;>+ P?? (aq+ P??ap + P?'-12{aj+P?')(ap +P?')^ («?+PîT(ap^^)«

+ 12 {ap + pp')« (05^ + PîT (ap + Pp? (a? + P^) =0 .

D'ailleurs, comme ces fonctions sont symétriques par rapport aux systèmes (p, 1/), (q^ g'), il s'ensuit que Tepérateur b^, fournira un résultat identique.

Au lieu de considérer les invariants par rapport à une forme; on peut se proposer de considérer des invariants par rapport à plusieurs formes simultanément, et alors on serait conduit à étudier des fonctions telles des coefficients de diverses formes h la fois qu'elles puissent se reproduire lorsqu^on remplace dans ces formes les variables par d'autres liées linéairementaux premières. Nous appellerons ces fonctions invariants simultanés. Tels seront les déterminants des systèmes d'équations à plusieurs inconnues de 1'^ degré, sur lesquels nous reviendrons une autre fois, (yonsidérons maintenant en parti* culier deux formes /", F; on aura ce théorème.

98. Théorème. Soient f, F deitœ formes de même degré n; (ao, aj, a,, . . .), (ct^, a^, a, . . .), leurs^oefficients respectifs^ et q) un invariant de la forme f ; la fonction

sera encore un invariant (*).

DEMONSTRATION. En vcrtu de l'équation fondamentale [4], N. 68, l'invariant cp ne doit pas cesser d'être un invariant, quels que soient les coefficients de la forme f. Or, si celle-ci devenait f-^kF^ les coefficients de f se changeraient en aQ-^-ha^, at+^a„...,a^-|-fta^. Par conséquent 0=9 (ao-}-/to^, «1+^01,... )

(*) On doit ce théorème À M. Cayley.

sera encore un invariant, et cela qael que soit h. Donc, si on développe cet invariant selon les puissances de It, k étant quelconque, tous les coefficients de k seront des invariants, et Ton aura en particulier, pour le coefficient de ft, Texpression susdite ^0 ^ + cil ^ "h • • 9 ce V^^ prouve le théorème énoncé. ExBMPLB. Soit 9 = ao «,— «!* r invariant de la forme /•=aj?*+2a|â?y+a4î/* et F =«00:*+ 2 0^0?!/+ a, y*; on aura un invariant dans l'expression aoa,4-^t^o~~ ^CLfli- ^^ effet, on aura

= («»««+«i«o — 2a,ai) (pg'— p'g)V

9S. Théobbmb. ^ne fonction donnée <p de^ coefficients d'une équation sera un invariant si elle est isoMrique et symétrique et si elle satisfait à Véquation aux dérivées partielles.

DÉMOKSTRATioN. En cfibt, puisquc le poids est constant, la fonction <p ne changera pas par une substitution de la forme

et d'après la seconde condition elle ne changera pas non plus par une substitution de la forme

Si donc nous faisons voir qu'à l'aide de ces substitutions la fonction <p se changera pour une substitution quelconque

a? = pX-|-g^Y , ^^^ y=l/X + (z'Y,

en (PQ'—P'Q)^ ^

le théorème sera démontré en vertu de la définition que nous

avons donnée de l'invariant.

Or faisons dans

successivement les substitutions y = y' , V=-x", y"= y'" , 1/"'= - 1 Y ,

en «appelant A le déterminant (pq'—ii^q) de la substitution.

D'après ce que nous avons fait remarquer, les trois premières substitutions, étant de la forme [2] et [22], n'altéreront pas la fonction 9. Mais par suite de la quatrième, comme d'après les conditions admises, <p sera nécessairement une fonctioû homogène (*), 9 acquerra le facteur a\ qui est un nombre entier

(*) D*aprÔ8 ces prémisses la fonction 9 sera homogène. Car son poids sera une constante \x. D^aillears, au signe près par la substitution [21], on deyra ayoir, si par hypothèse on appelle un de ces termes T=t c^'a\'... , puisque A^ =( — 1} a\,-^ et puisque la fonction est îsobarique et symétrique,

d'où n(5f'+V+...)--2|ui.

Or g^+h'+ ... est précisément le degré r de la fonction, et p. est constant; donc r est constant et par conséquent la fonction est homogène.

Cela résulte encore d'une autre considération. Soit toujours T un des termes de 9, «i, e,, ^31 • •*, ^n désignant pour le moment les exposants : l'équation [20] donnera pour ce terme transformé :

«, r^o «'ûi ««1 ^n-i n

Or faisons

a Q := cil '= a^ :=:.,, .'::^ OL,

L'équation caractéristique deviendra

poids X I T ='0,

et comme le poids est constant

Or £ T représente maintenant une fonction de a , qui doit être nulle quel que soit a. Mais on ne peut pas admettre que chaque coefficient soit nul, ce qui serait contraire à l'existence admise de la fonction. Donc il faut que a se trouve, comme puissance, facteur commun à tous les termes, ce qui prouve l'homogénéité de la fonction : et ce sera la somme algébrique des coefficients numériques qui sera nulle.

quelconque ; mais les quatre substitutions successives donnent

Donc par cette substitution la fonction 9 devient A* 9 ; donc elle est un invariant.

Au lieu de mettre la condition que la fonction soit isobarique et symétrique, on peut poser la condition qu'elle soit homogène et de poids -^ ; car alors, comme on a par hypothèse

gg'+hh'+ . . . = y ,

et ^'+/i'4-. . . = r;

il s'ensuit que

(^ — 0) 0'-{^{n — h) /i'+ . . . =nr — (erflf'+ hh'-\- . . .) = -j » ou que

c» qui démontre que la fonction est symétrique.

SO. (ToROLLAiBB. De ce qui précède résulte une méthode trèsfacile pour calculer un invariant relatif à une fonction f(x^y).

Après avoir choisi convenablement le degré r de l'invariant,

d'après le théorème 5, on déterminera préalablement la forme

•ft €1 Ôm

Ca Va'. ..a"

d'après les équations