e, + . . . + ne
eo + ^i + ^% + '" + e^=r;
et on aura déjà l'attention de désigner par de lettres semblables les coefficients numériques des termes conjugués. Ensuite on assignera les valeurs des coefficients à l'aide de l'équation [11]. Remarquons cependant ici qu'un des coefficients sera toujours arbitraire; car il est évident que cette équation ne sera pas altérée si on multiplie l'invariant par un nombre quelconque.
Soit, par exemple,
on aura pour la forme de Tinvariant
<p = Aaoa4 + Ba^a^ + C a,* ;
et réquatiOD [11] donnera
ao«3(B + 4A)+aja, (3B-{-4C) = 0.
Comme un des coefficients est arbitraire, posons
A = l; il en résultera
Br= — 4 C:=4-3;
donc r invariant sera
Nous donnerons à la fin un tableau des invariants des fonctions du 2®, 3®, 4« et 5^ degré, que nous avons calculés par cette méthode. A la vérité les discriminants du 4« et du 5* degré avaient été déjà calculés avant nous : mais ce n'est qu'après en avoir fait les calculs que lîous eûmes connaissance des travaux antérieurs des autres.
SI. A Taide de la forme canonique de la forme biquadratique on peut trouver facilement une belle relation entre les invariants et le discriminant de la forme biquadratique.
En effet, en partant de la forme canonique
les invariants quadratique et cubique, que nous appellerons I4 , Ig , se réduiront à
Le discriminant (a) sera évidemment, ou par réduction ou
par Tinspection des dérivées,
Or il est facile de constater que
(1 - 9M«)«=(l+pji«)«-27ji« (1 — M«)« ; d'où
Des invartants oonsidérés par rapport aux racines.
99. Théorème. Une fonction - symétrique des différences des racines^ telle que chaque racine y entre au même degré, est un invariant de la forme proposée.
DÉMONSTRATION. En effet, soit
[1] f(^y y) = «0 (^— ctil/) (^— «iî/) (^~ «gî/) . . . (œ—d^ y)
la fonction proposée, et I = a^ >^(o — aj)*(a,— a8)'(a8— a^. . .
rinvariant.
Si on y fait la substitution
œ = paf + qy', on aura
et par conséquent la^ transformée des différences des racines deviendra
h i p—p'ai, p—p'ai {p-p'(ik)(P-P'fii)' tandis que le coefficient a, de f deviendra
A«=/'(p,p') = ao(l>-aiP')(J>— a,p')-(P— a.P') •
Ainsi, si N est le nombre des différences des racines, il viendra, en appelant 9 cette fonction,
[2] <i^ = (pq'^p'q)%.
Car, puisque chaque racine 7 entre un même nombre de fois, chaque facteur de la forme (p — .P'ct^) sera répété un même nombre de fois, que nous appellerons ^, et Tensemble par conséquent des produits de tous les dénominateurs deviendra
qui réduira le nouveau coefficient A^ à, a^ . Il ne restera donc
que (pç^—p'q) en fecteur.
Par exemple les fonctions
2(ai— o,)*(as— çt«)V
seront des invariants, tandis que
ne le seront pas, car la première n'est pas une fonction des différences des racines, la seconde ne contient pas toutes les racines un même nombre de fois.
88. Théorème. L'invariant <p exprimé en fonction des racines satisfait aux équations
en posant 5^ = 20.
DEMONSTRATION (*). En effet, on a
dq> dfp dùi [àtp dût i i ^<p da^
^^ dâi dâi 507 "• rfôi 5âj "*" ' " ' da^ da^ '
et au moyen de la relation (voir* N. 8)
on obtient
équation qui moyennant les relations connues entre les sommes des puissanœs et les coefficients se transforme en celle-ci
11 Sjî!=-[«»-5;+<"-»".a^+- + ''-$]-
On trouvera de même
"V ^ t d (D d (D i d <D , \ \ d fD , V
+ - + ^ <«•««*!+ ««*«+ «»««-!+ • • • + ««-N i ou bien, par les mêmes relations déjà mentionnées,
et, en ajoutant et en retranchant s^a^^ ^ ,
(*) Cette démonstration est due à Mf Brioschi.
Maintenant, puisque <p est une fènction homogène de degré r par rapport aux coefficients, on aura
D'ailleurs on sait que ~ ^i ^o ^ = ^i i£ ' Partant
Mais nous avons démontré que le second membre est nul par une propriété des invariants, donc
ce qui est Téquation [4].
On peut obtenir de la même façon cette autre relation
•■ J Aj ' dai ^ dai ^ ^ dat ^ ' n da^
Mais le second membre, d'après une propriété connue, n'est autre chose que l'invariant multiplié par son ^ids, donc
tf<p , dfp , d(p , , d(p HT
Notons en passant que sous la forme binomiale les équations [4] et [7] deviennent
S4I. Les propriétés exposées sur les invariants considérés par rapport aux racines peuvent servir à mettre généralement la forme canonique sous une autre forme telle ^que les coefiBlcients soient des invariants.
Rappelons nous qu'en posant
on peut mettre fix^y) sous la forme
[10] P.(aH-«iy)'"*'+Pt(^+M''*'''+...+P.^,(^+a,v)"*^\
Posons maintenant
tn-i-t
Pl] ^ = i^ [«i (^t- «a) ^+ «3 (a.- o,) y] ,
on aura
[13] û? + a,y=X^y'(a,ct,)(a3-ai) ,
[14] œ + a^y = ^^^[^(«t-^3) («!-«,) +l/'(ai-at) (a»-»,)]- Faisons
il Tiendra :«,V)=«.V'***'-h?,(a>'+A,v')*"*'-f«,(a;'+Ay)*"**+...-hr^,(aj'+A^^,V^
(*) Il êit aisé dé Toir quê Af =: — 1.
FaI db Beumo « Théorie dês forma Mnairoa, 10
Théobbme. Les fonctions ^ et k sont des inioariants (*). DÉMONSTRATION. Posons en effet
[20] T=(2n+l)a. A.+2na,^+(2n-l)a, A4....+fl^^^^ .
Si nous appliquons ces symboles d'opérations aux équations de condition [9] N. 62, il viendra les deux systèmes d'équations
PP. + PP« + pp. + ••• + PP„ + PP„^.i = .
«iPPi 4- ««PP» + «»PPs + - + %PP„ + "n+iPPn+i
l+P.P». + P.P«« 4- PsP«» + - + P„P«„ + P„+iP«n,., ^ ~" *"• '
«i*PPi + ««'PP« + VPPa + - + «* PP„ + «*+lPP„+l P^^ +i'.P«t' + P.P«i* + PsP»,* + - + pX + P„.iP««Ll ~ ^''"
Oi Pp.+Og Pp,+«3 PPs+-.+a„ PP„+«^, PP„+i
l+P.P«i +P»P«2 +PlP«3 +-+^nP«» +P»-HlP"«+l
TP, + TP, + Tp, + ... 4- îP„+, = (2n-}-l)a, ,
«iTP, + «,TP, 4- «sTPa + ... 4- 0„^,TP^, j
[4iPiT«. 4- PiT«, 4- PsT«, 4- ... 4- Pn.Ki'T*»-..! ) **'*"
I I -- tn-^\ X 2n-»-l , 2n-»-l , , 2n-f-l
!4-PiT«, 4-PtT«2 +P.T«3 4--+P„+iT<«„^.,
(*) Ce théorème est dû à M. Betti.
Or, en ayant égpard aux équations de condition susdites on satisfaira au premier système en posant
[23] Pl?.. = 0, Pa^ = l,
et au deuxième en posant
Au moyen de ces relations on trouvera
pA, = 0, ( T^ = 0.
Mais on sait que toute fonction I qui satisfait aux équations symboliques
pl = 0, tI =
est un invariant, donc les fonctions 9|, 9^, A^ qii y satisfont sont des invariants.
Mft. Voici une autre démonstration. Si Ton pose
les racines de la canonisante deviendront . ,° . En eflfet, si
r+ra '
au lieu de faire cette substitution dans la forme proposée, on la fait dans la forme canonique, on voit que les nouvelles quantités a' se transformeront en a^= J , -
Par conséquent l'expression A^ demeurera inaltérable, car elle ne résulte que des différences des racines a^ ot, 03, a^ qui y figurent au même degré.
Maintenant nous aurons pour les nouvelles valeurs de p, q
ou
[26] ï/=A*^'tf,.
On aura de même «',=p.(r + r'«.) p.ir+r'-,) («.-«,) ^^^^,^>...^^^^^)>^. >
OU
Or les équations [26], [27] démontrent évidemment avec ce qui précède que les quantités A^ 9/, q^ sont des invariants. Avant de te|miner ce paragraphe , nous prévenons le lecteur que nous nous sommes réservé de donner dans les Tables même à la fin de Touvrage les valeurs des invariants des formes de ^ degré 2, 3, 4, 5 exprimés en fonction des racines, ce qui complétera rétude que nous venons d'en faire.
Nombre des invariants de mftme degré appartenants à la mftme forme.
k D'après ce que nous avons étudié précédemment, il résulte que toute fonction de degré r d'une forme de degré n qui satisfait à^Topération
pourvu qu'elle soit homogène et de poids p = -^, est certainement un invariant. Dans le cas contraire, c'est-à-dire, lorsque elle se réduira à zéro par l'opération by elle sera ce. que nous appellerons un semînvarlant ou péninvariant. Toute fonction symétrique des différences des racines est dans ce cas, d'après ce que nous avons vu au N. 32; ainsi les résiduade Sturm, les coefficients de l'équation aux carrés des différences, les coefficients des covariants rentrent dans la classe des péninvariants. Par exemple, pour les formes qu intiques on a
où le signe 2 s'étend à toutes les racines a, P, t, b, € de la forme ; mais les fonctions des coefficients dans les premiers membres ne sont pas des invariants, soit parce qu'elles ne sont pas symétriques, soit parce qu'elles ne sont pas du poids -jr- = 5, -^ = 15 respectivement. Par exemple, la fonction
a^^a^— 6ata|a,a8+4^o^t*+ 4a,ai*— 3a,*a|*
est un péninvariant seulement, car elle satisfait à Téquation
mais non aux autres conditions, soit de la symétrie, ou de Té-
5 4 quipollenee selon le poids -^ = 10.
Soit que Ton s'occupe de déterminer des iovariants ou des péninvariants, à Taide de coefficients indéterminés en vertu de l'opération b = 0, comme nous avons expliqué au N. 79, il se présentera toujours cette question qu'on va résoudre.
Soit 9 une fonction isobarique homogène de degré r et de poids p, formée avec les coefficients de la forme, f (a?, y)**, qu'il s'agit de déterminer à l'aide de l'équation 5 = 0. Le nombre des coefficients indéterminés, que nous représenterons par C , sera égal évidemment au nombre des termes de q>, c'est-à-dire au nombre des manières dont on peut avec les nombres 0, 1, 2, 3, ... , n — 1, n, pris r \ r^ même avec répétitions, former le nombre p; car ces nombres sont précisément les indices des lettres a qui figurent par hypothèse dans la forme f(x^y)^. Mais lorsqu'on aura fait subir à 9 l'opération b, le poids sera devenu j} — 1 , tandis que le degré de la fonction résultante fiera toujours r. Soit Cp-i le nombre des termes de cette fonction, nombre qui sera évidemment <C|), le nombre des équations de condition sera la différence entre Cp e Cp-i, donc Cp— Cp-i exprimera le nombre des coefficients qui demeureront arbitraires dans cette évaluation des coefficients (•). Ce nombre Yp=i(jp — Cp-i exprimera donc le nombre des fonctions 9 de degré r et de poids p qui satisferont à l'équation b=:0. Parfois ces nombres seront indéfinis, car indéfini
(*) Cela suppose essentiellement que les équations de condition soient toutes indépendantes entr'elles, ce qui n*est pas toujours le cas, ainsi qu'il résulte des recherches du Prof, \3ordan sur le nombres des coTariants des formes quintique et sextique.
est le nombre Yp des systèmes des coefficients arbitraires qu'on peut choisir; mais si on se limite aux fonctions indépendantes, ce nombre est fini et égal précisément à Vp ; car on peut faire dépendre linéairement toutes les autres fonctions q> de Yp d'entr'elles.
S7. En effet dès qu'on aura déterminé un nombre B des invariants de degré r, correspondants à la forme de n*^«^ degré, on pourra s'assurer que tous les autres invariants, que Ton pourra former à Taide des équations caractéristiques, seront fonctions de R d'entre eux.
Pour fixer les idées supposons Vj, = R = 2, et appelons M et N deux invariants formés en partant des systèmes de coefficients arbitraires
Soit maintenant I un autre invariant dérivé d'un autre système
de coefficients arbitraires A", B". Je dis qu'on pourra toujours
poser
[1] I = aM + &N,
a, b étant deux coefficients numériques.
DÉMONSTRATION. Obscrvous d'abord que la partie littérale de tous les invariants sera la même, et que la seule différence consistera dans les coefficients. Par conséquent on pourra poser
en désignant par (A), (B), (L), ... la partie littérale des termes, et par A, B, A', B', A", B", etc. les coefficients.
Observons encore que, si les équations de condition dérivées des équations caractéristiques ont fourni une équation de la forme [5] L = XA + |iB
pour le coefficient de partie littérale quelconque (L), la même
relution subsistera pour n'importe quel autre système, et qu'ainsi on aura encore
[6] U=XA'+MB\
[7] L"=XA"+|iB''.
Multiplions maintenant les équations [2] , [3] par a, by respectivement, on aura
[8] aM+&N=( A) (Aa+&A')+(B)(aB-f &B'H-. . .+(L) (alrHL'H- • • •
Maintenant posons
[9] aA + &A'=:A"
[10] aB + &B'=B'' '
équations qui détermineront a, &; et observons que le cœfGLcient quelconque àL-^bV est ég^al à
a{XA + nB) + &(XA' + |iB') = X(aA + &A') + M(aB + &BO;
et que, par conséquent, en vertu des équations [9], [10] , il
viendra
aL + &U = XA"+|iB"=L''.
Alors il en résultera que Téquation [8] se transforme en celle-ci
aM + &N==A"(A) + B"(B) + ...+ L"{L) ,
où aM + &N = I. C.Q.F.D.
Ce que nous avons ainsi vérifié pour R= 2 est généralement vrai. Car soit I un invariant quelconque fourni par un système particulier (p) deR coefficients arbitraires. Mais supposons qu'il en existe déjà R formés par R systèmes de R coefficients. Il est évident que au moyen d'un système de R coefficients numériques a, &, c, ... on pourra faire dépendre le premier système (p) des R autres systèmes donnés. Et comme en dernier ressort tous les coefficients de I sont des fonctions linéaires du premier
système, et qu'on fait dépendre celui-ci linéairement des R autres systèmes, il s'ensuit que Tinvariant I sera une fonction linéaire, des B autres invariants. Donc
Le nombre des invariants indépendants de degré r (*) est égal au nombre V (p, r, n) des coefficients arbitraires qui figurent dans les équations de condition fournies par les équations caractéristiques.
Ce nombre dépend comme nous avons vu de la détermination de C^, détermination à laquelle nous sera utile le lemme suivant.
SS. Lbmhb. Le nombre des manières dont un nombre p peut être formé par la somme de r nombres entiers 0, 1, 2, 3, ..., n, est égal au coefficient du terme en x' z" dans le développement de la fonction:
(1 — «)(1— fl«)(l— a^^)...(l— iC»«)
Développons, en effet, cette fonction suivant les puissances ascendantes de z; il viendra
où les coefficients A seront des fonctions entières de œ.
Comme chacun des facteurs = r- peut être développé en
série de la forme
on pourra obtenir la série [12] en multipliant ensemble toutes les séries [13] qui s^obtiendront en posant successivement
(*) Nous entendons par indépendants qa*ils n*ont pas des relations linéaires entr^eux, c'est à dire, qu'ils sont asysygé tiques ; mais ils pourraient être, comme observe M. Caylej, des fonctions d'invariants d'ordre inférieur.
Or, évidemment dans chaque terme du coefficient Âr de t!^ les puissances o^^ entrent en nombre r, et la puissance, a^, par exemple sera répétée autant de fois qu'il est possible d'obtenir le nombre p avec r nombres choisis parmi les 0, 1, 2, 3, ..., n, même avec répétition, comme on le voit par la série [13].
Ainsi si on appelle C (i), r, n) ce nombre, le terme contenant a? z dans le développement sera
C (p, r, n) oc^z.
S9. Il s'agit maintenant de Tévaluer (*). Changeons, à cet effet, X en xz^ on aura
(l-;s)Z = (l— a?'*'*"*^)(l + A,a?z + A, a?V4-...Ar a?'' /+-••.); d'où, en comparant les coe£9cients de z ^ il viendra
Ar (l — a?0 = A^-i (l — x^^) .
Par conséquent en appelant i|i (^) la valeur de A^ il viendra cette formule fondamentale
rui ^M - ^^-^'"'^ (l-^"^«)(l-a;'>^^) . . . (1-^*^0
Posons maintenant
[15] V(a;) = l + Cjar + C,a?'+C3ar»+... ,
où Cpsera précisément C(p, r, n). On aura
Mais en appelant f(x) et 9(0?) le numérateur et le dénominateur de la fonction Ar=^^ (x)y on aura aussi
V(x)f{x) fp'(x) ^^ ^(x) f[x) <p(a?)'
(*] Cette méthode est due à M. Brioschi. Mais pratiquement celle que nous exposons au N. 00 est de beaucoup plus préférable.
Soient maintenant
Pi » P« » Ps » • • • ? P^ J
les racines respectives des équations f(œ):=0 et cp {x) = 0, et posons
^^ p« + py + pj+-"+p-
il viendra
. . — Sf-f-s^x-^s^x -|'^4^"r' • • 1
car on a généralement
^Si-S-^^-S-i-^- ••
Or en comparant avec [16], on trouve
Ces équations donnent aisément
[20] 1.2.3... pC^ =
Si
fi fï
Vl Vt ^/»-3 ^p-4 V5 -(P-1)
Sp-X Sp^Ji *p-3 ^p-4
•O. n ne s'agit plus que de trouver les expressions de s en fonction des racines de f(x), et cp (x) qui seront de la forme
Or on sait qu'en général la fonction symétrique s. des racines sera = { ou = 0, selon que x ^t ou non multiple de l.
Dans notre cas, l peut prendre successivement les valeurs n+1, n-f-S, n+3, ..., n-\-r pour f(x)y et les valeurs 1, 2, 3, ..., r pour (p(x); donc, en désignant pu* le symbole E f y ) une quantité E f y j = Isi x est multiple de l, et = 0, si X n'est pas multiple de <, il viendra:
[21] ., = ir)+E(|)+E(|)+E(^)4-...+E(J-)
Ainsi, pour calculer le nombre C (p, r, n), c'est-à-dire le nombre des manières dont un nombre p peut être formé par r nombres choisis dans la suite 0, 1, 2, 3, ..., n, même avec répétitions, on calculera les s qui figurent dans la formule [20] au moyen de la formule [21]; le déterminant ainsi formé, divisé par 1.2.3...P, donnera le nombre cherché.
Exemple. Soit à chercher C (6, 3, 5) où p = 6, r = 3, n = 5 ; on aura
et partant
(*] Le premier terme provient de réquation 1 — a? = 0.
et le déterminant [20] sera
et enfin
On pourrait aussi exprimer la valeur de Cp par cette formule nouvelle
^^2j(Xi)(x,)...(Xi)(T) [il "\'T)
où (X^) = 1.2.3... i.
n suffit d*observer que les équations de condition [19] prennent la forme de celles [7] N* 2 si on change ^ en — s, cas auquel la formule [26] du N"" 4 devient celle qu'on a écrit.
•I. Souvent il sera plus simple de calculer Cp par la formule suivante
où par le symbole da^y^ nous entendons le coefficient numérique de Texpression une fois développée selon les puissances ascendantes de x.
ExBMPLB. Soit, comme précédemment, p=6, r= 3, n=5, on aura
= ((«•»(! + a?»+2a?*+2aj»+ ...) (l + a^+fl^+«*+ .. = 6.
