Remarquons que la valeur de mi (â?), en la multipliant

et en la divisant par (l — x^ )(l — oo^ )...(l— a?**), peut aussi se mettre sous la forme

[23] MiN=; ,^^)^/,^.^(,,^^^,^^(,^^; >

qui, d'après les principes exposés, donnera le coefficient de z^ dans le développement de

(1— ir)(l— j?«)(l— a?»^)...(l— ip'^) '

En ayant égard à ces deux formes de i|i(â?) il s'ensuit que: THéoRBME. Le nombre des manières dont un nombre p peut être formé par la somme de r termes de la série 0, 1, 2, 3, .. ., n est égal au nombre des manières dont ce même nombre p peut être formé par la somme de n termes de la série 0, 1, 2, 3, ..., r.

Ainsi soient les éléments 0,1,2,3,4,5,

et soit r = 3 , P=S; on aura les 6 combinaisons

et si avec les éléments 0,1,2,3

on cherchait à former le même nombre 8 avec 5 éléments choisis parmi eux, on trouverait pareillement 6 combinaisons.

Ce théorème équivaut à celui-ci :

03. Théorème. Si avec les éléments agaia,... an on compose une fonction de degré vetde poids p, le nombre des termes qu^on obtiendra sera le même si on forme une fonction de degré n et de poids p avec les éléments a^aia, ...ar.

Ainsi la fonction

AaQa^'\'Ba^a^-\-Ca^* (p = 4, n=4, r = 2) a le même nombre de termes que la fonction

A'a/+BVV+C'a,*a,ao (p = 4 n = 2 r=4) . ,

Mais on aurait tort de croire que le théorème puisse donner le nombre des termes dont se compose une fonction symétrique exprimée en fonction des coelficients. Ce théorème ne peut regarder que la forme littérale d'une fonction, mais il ne peut rien fixer sur la valeur des coefficients.

Par exemple la fonction complète

2a'P'T=ai«t«3— û*3+4a,a4— 3a%a4+7a,a5— 12a«,

se compose de 6 termes. Mais si on suppose qu'il ne s'agisse que de n=:5, alors le terme — 12 a^ disparait, et la fonction se réduit à 5 termes. Pourtant on a dans ce cas comme nous avons vu C (6, 5, 3) = 6. Ce nombre est effectivement exact quant à la forme litérale, car il faudrait encore y joindre le terme en a%, qui satisfait aux conditions voulues de degré et de poids ; mais son coefficient est 0, lorsqu'on passe à la forme numérique.

•4. On peut démontrer le même théorème d'une façon plus directe. A cet effet, nous mettrons ce théorème sous la forme que voici :

THéoRÂMB. Le nombre C(p, r, n) des solutions des deux équations

12*] na„+(n- 1) a^j4.(n-2)o^,+ . . . -f- 2a,+ a,= p , [25] ao4-a.+a.4-- •• + «»„ = »•

est égal au nombre C(p,D,r) des solutions du système des équations

rp,+ (r - 1) p^^,+ (r - 2) ?^^^+ . . . + 2 p,+ p, =p ,

On suppose que les nombres a, p peuvent prendre toutes les valeurs possibles, sans en excepter zéro.

DéMONSTRATiON (*). On voit, en effet, qu'à chaque solution du premier système on peut en faire correspondre une autre déterminée par l'équation

(«»+«^i+-+«.)-K«,+«„,+-+««)+-+(«»+ViH^»=»»'

qui n'est autreque Téquation [13] écrite-d'une aatre façon et par laquelle le nombre n est partagé en n parties, dont chacune ne peut pas dépasser le nombre r. Ainsi cela revient à demander de combien de manières le nombre fi peut être formé par n éléments choisis parmi les 0, 1, 2, 3, ..., r. Ainsi, par exemple, aux solutions

correspondent les solutions conjuguées

6.3+5.0-1^.2+3.0+2.] +1 .2 = 30 6.4+5.0-H.0+3.1+2.1+1. 1+0.1= 30 6.1-|-6.3-hl.l-|-3.1+2.0+1.2 =: 30

(*) Cette démonstration est due à M. Bellavitis.

95. Nous avons vu que le nombre des coefficients indéterminés dans réquation aux dérivées partielles, N** 86, est

[26] Vp = Cp— Cp-i.

«lit* Or Cj>-i (N. 87) est le coefficient de or z dans le développement

[1] ou le coefficient de x^ z^ dans le développement de

Par conséquent Vp sera le coefficient de cx^ z!^ dans le développement de

^"^ = (1 — a?) 2 Ay= (1— a?) Z = Z'.

(1— «) (1— a?^) Il— a?*^) . . .(1— a?"«)

Mais on a

*•■" (1— a?) (1— ir«) . . . (l-;rT donc

Zr^y (l-a^''-"^)(l-a:""')...(l~^^0 ^, ,

en désignant par ((a;'')) F le coefficient de a?** dans le développement de F.

Par suite de la formule [26] et en s'aidant de l'analyse précédente, on verra qu'en posant

-MïTî)-'^(ri5)-MiT5)--MiT-r)n.

(*) q ne diffère de s^ que par romission du terme 1, car Texpression du second membra [16] ne diffère de Z que pour romisaion du facteur 1 — ar, qui égalé à fournit la racine 1.

Fa\ Dk Bruno — Théorie det formes binaire*. 11

on aura encore cette expression de Vp (V. N. 88)

[29] \.2.3...pVp =

5^,-1 ?i Çi -2

?3 ç% Çl -

Çp Çp-1 ?p-8 Qp^^

96. Application anx invariants. Comme op a p = -^ r et n étant les degrés de Tinvariant et de la forme, il s'ensuit que

Le nombre des invariants de degré r correspondants à la forme n, est égal à celui des invariants de degré n correspondants à la forme r.

DÉMONSTRATION. En effet, dans les deux cas, le poids est p = -g-, et nous avons vu que le nombre des invariants est Ynr] donc ce nombre est constant. *

Pour r=:2, d'où /) = -^ = n, on a à chercher le coefficient de X dans le produit

^^ ÏZT^ ^=(1—0? —07 -f-^ Al+âî'4"^+---/-

Par conséquent, si n=2p, la seconde parenthèse donnera V^=l, ce qui prouve que pour les formes paires il existe un invariant de second degrés et qu'il n'y en a qu'un seul.

Oî'. Soit par exemple n=b^ r = 4, p = 6, on aura la forme de l'invariant de 4« degré correspondant à la forme quintique

Aa5aiao'+^^4^«^o*-r Ca4a4'ao+Dag*ao*4-Eaj,a,aiao4-Fa,a|' -+et l'opération

^ï = «oè + 2a.i; + ..- + 5a,^^ =

fournira l'équatiOD

Al = Aasû(,'+ {5 A + 2B + 2C) a^a^a^*+ (4B -f- 6D + E) a^a^a^* +{4C+2E4-3F)ajO.'(ï,+(3E+6G+2H)a,'a,a,-H3E-|-4G)a,a,^^0,

et on aura 6 équations pour déterminer 8 coefficients : par conséquent on aura 8 — 6 = 2 invariauts de 4» degré, qui seront donnés par les deux solutions

A=0 , B=l , C=— 1 , D=— 1 , E=2 , F=iO , G=— I , H=0 ;

et ce seront les fonctions

aï*«,' — 6aj(i,a,(i, + 4(ïjO/-|- 4o,*aa — 3a,'a,'.

Les formules [28, 29] donnent dans ce cas q, = 0, ?, = 2, 3, = 3, ?4 = 6, ff» = 0, «, = — l

OS. Mais par la formule [27J on trouve plus aisément Texpression

qui, réduite, est égale à

ce qui donne immédiatement la valeur susdite

Ve= 2.

Appelons ainsi en général T ' le nombre des invariants de degré r correspondants à la forme de degré n, on aura Vnr=T . On trouvera par les méthodes ci-dessus exposées ^

T<^>=1, tJ'=1, T<;>=1, T<*'=1, Tj'=â, T;*>=2, tJ'>=2

Par exemple, on aura

rAi)^ V - ((T»^^ (l- a^)(l-;r«)(l- a;^)(l-a^)(l-a! »)(l-a;">) « — '* "■ ■" (l-a!»){l-a!-'<)(l-a!')(l-«»)(l-a!»)

= {(aj'»)) (1— a;') (1+a;*) (l+a;'+a;«) (l+a;»+a;«+a;«+a!«)

Pareillement, il viendra

8 «0 (S.-* ;; (l-a;«)(l-ar3)(l-a;«j(l-ar5)(l-a;«){l-a!'){l— a!«) . =((a;"))(l+a;«+a?»)(l-a;")(l— a;")(l+a;='+a;«Kl+a;'')(l+a:*+a;«...) =((a;*»))(l+*'*— a;"-a;"— a;'»— a;")(l+a;*+a;»j(l+a;»+a:*+...)(l+a;'+a:*) =((a;»'>))(l+ic»+a7»+ir»— a;"-2ir"'— a;")(l+a;*+rc»)(l+a;»4-a;«J-...) =((a;")){l+ir*+a;'+2a;''+a!"'+a;"— a;'«— 2a;'«— 2a;»"')(l+a;»+a;*+...)

Nous connaissons en effet deux invariants de la forme quintique de degré 8 ; l'invariant fondamental et le discriminant.

Mais on peut à Taide de ces calculs se proposer une question plus vaste. Proposons-nous, par exemple de trouver le nombre des invariants de degré 9 appartenant à la forme cubique. Appelons ce nombre T^^ Comme jp = — , on aura par les formules [22], [27]

Or ce nombre, en ne gardant que les seuls développements

utiles, c'est-à-dire en limitant le numérateur à 1— a?®"*"' — a^^^

e-»-3 —x^ , sera

ou en changeant x eu a?*,

tL^= (Lx )) ,, ' ^, - ((0? ))

Mais la seconde partie, ayant égard au numérateur, ne peut pas fournir des termes en x^^; donc il viendra simplement

[30] V^'U ((07®)) ^ = (Ue))*(l + a?*+. . .-|-a;^+. . .).

Les degrés des invariants de la forme cubique doivent donc être de la forme 4h. Miis pour e=4, ¥^^=1; donc tous les invariants de la forme cubique, en appelant I cet invariant, sont de la forme I .

Pareillement, pour la forme biquadratique, on aura

Mais par des raisonnements analogues aux précédents od trouvera

4 9û 1 / 9 \ fl? + flî* + flJ* + fl?*

~^^^ ^Ml-4?*)(l-a;')(l-^*) ^'^ ^^(l-a?*)(l-a?*)(l-

1— ar'+a?'

et enfin

[31] Tj=((^®))(iz;^(îz^) = ((^^))[l+^^^

Cela nous prouve que tous les invariants de cette forme, en appelant I„ Ig les invariants de 2« et de 3« degré, peuvent être représentés par la formule Ig I3 , et qu'il n'y en a pas d'autres.

Car le coefficient A de a? sera égal au nombre des solutions en nombres entiers de l'équation 2/i + 3i = 9. Mais tel sera aussi le nombre des fonctions 1\I*3, dont chacune sera aussi un invariant de degré 8. Toute autre fonction pourra être représentée par une fonction linéaire de ceux-ci. Ainsi, en appelant généralement invariants irréductibles ceux dont tous les autres dépendent, on saura que les invariants

(a^a^— afl^Y— K«î— ^t*) («tas— «»*).

aoflf^— 4aia3-f-3ai'

Al a, a

sont les invariants irréductibles ou primitifs des formes cubiques et biquadratiques.

OO. On aura pareillement, pour n = 5,

et Ton trouvera par des méthodes analogues aux précédentes

Or, selon un artifice imaginé par M. Cayley pour simplifier cette expression, on peut observer qu'en multipliant les deux

termes de la première fraction par -,î^— l /P^!/T-— .r» Q^i est certainement un polynôme entier en a?* de degré 8 + 12 +-16 = 36, le numérateur se réduira à

i-bx^+lx^'+bx^^+la »^+5aî»*+7a?*H5a?**+ 6^;"+ 4a?«»+ 6a?«4- 4a^+ 4a^* + 3*»+ ia^+ 2a^+2afi^']'af^+2a!^+a^+V!^*+x''\

tandis que le dénominateur deviendra (1-a?^) (!-«'<>} (l-ar«)(l-a?*o), dont la forme preuve que Ton peut laisser de côté dans le numérateur tous les termes dont les exposants ne sont pas des multiples de 5. Ainsi la première partie sera =

^^ ^^ ~(l->) (i-a?M) (1 - i^o) (1 - x^) ""^^'^ ^^ " (1-4?*) (l-i) il-af^) {l-x*)

[*) Pour retrouver cette 3* partie, on remarquera que le numérateur

dans ((â?^ )) est

1 — fl? 1 — X

La seconde partie se réduira pareiljemeiit, à Taide du multiphcateur L^,^-^^j ^^—^ , à

en négligeant tous les termes dont les exposants ne sont pas multiples de 3. Ainsi on aura, en réduisant le tout au même dénominateur,

Observant enfin que

et qu'il est irréductible, on aura

(1-a?*) (1-a?^) a - iP'') (l-a?»«)

Cela nous prouve que les formes quintiques ont 4 invariants ; I4 de 4« degré, I^ de 8®, I,, de 12«, I^g de 18® degré; et, puisque 36 est divisible par 4, 12, 18, toutes les puissances du développement du second membre auront la forme 4p+8^+12r+185. Ainsi tout invariant de degré 9 de la forme quintique, pourra se mettre sous la forme SA I4l8lî^8li8^ A étant un coefficient numérique, sous la condition 4i)+8^-|-12r-|-185=:9. Seulement ici, à cause du terme 00^^^ le nombre ((a?*")) est inférieur d'une unité à celui des solutions de Téquation 4p-|-8^ + 12r -{-185 = 36. Par conséquent il faut que ces invariants ne soient pas tous indépendants. Et en effet, comme nous verrons

dans la suite, rinvariant I^g n'est pas arbitraire; son carré, comme Ta démontré pour la première fois M. Hermite, est une fonction rationnelle et entière des trois autres invariants.

MOiK Par ce qui précède on aura vu de quelle importance est rétude de la fonction ^(x) (N^ 89), à savoir

roo. / ^ (l-«-^^)(l--.1?-'*)...(l-a:*-^") 33] Ml (X) = ^

Il ne sera donc pas inutile avant de quitter cet argument de donner encore quelques développements très-intéressants sur cette fonction.

On observera d'abord facilement que

[34] ^**> (^) = Mi{a?);

d'où Ton déduit cette autre propriété, que

[35] C(p,r,n) = C(nr — p,r,n);

car l'équation [34] devant se réduire à une identité, les coefficients des mêmes puissances en r doivent être égaux; ainsi

'*r-p\xl f

Observons encore qu'on a

xyf\ûc)— ^j^j(j^„ (j^r) (i-a!)(l-«»)...U-a!'-') *

d'où Ton déduit par la considération des coefficients, comme précédemment,

ou, en changeant p en p — r, n en n — 1,

- ITO- Pe là, par réchange derenr— l,r — 2 successivement,

C (p, r — 1, n) — C (p, r — 2, n) = C (p — *r-fl, r — 1, n —1)

d'où Ton a cette relation remarquable

On peut simplifier la recherche de la valeur de ce coefficient C (p, r, n) par les considérations suivantes. Si on posé

on obtient comme précédemment, par réchange de a: en xZy

et par conséquent

B ^ ( 1)V*'*"" (^-^^"*'")(^-^"*"') • • • (1-^) , * ll-a;){l-<F»)...(l-a?*)

i28](l-a;z)(l-co*z)...(\-arz)=l-œ^.^:,^^!^r^^^^

équation déjà donnée par Cayley (•).

Si Ton change z en a?**, Téquation [37] deviendra

(1 — fl?)...(l — a? )

En vertu de Téquation [21], il viendra alors

*' ' (1— rc) . . . (1— œ*) (1- a;)(l- sB^) (l a?''-*)

Par cette formule, le seul développement à faire est celui du dénominateur; et il suffit d'étendre les sommations jusqu'à

(♦) Researches on the partition of numbers — Philosophical Trans-' actions. 1855.

une valeur de h telle que ftn-|- « ^ (^+1) ^^ dépasse pas p. Par exemple, pour p = -^, qui est le cas des invariants, il n'est pas même nécessaire d'aller jusqu'à 71 = -5-. On peut encore écrire la formule [38] ainsi qu'il suit,

en posant \jj=p — /m.

En revenant maintenant sur la formule [2?], on voit que, en posant Vp = V (p, r, n), on a, soit par la formule [26], soit par les formules [27] et [35] ,

[41] V(i?,r,ri)=V(p,n,r),

[42] \ {p,r^n)=zY (nr—p,r^n) .

D'ailleurs, comme (v. N' 95) Vp est ={ix^)) (1 — a?)2A^/, il s'ensuivra que

et selon les besoins on y pourra échanger r, n entre eux; par conséquent on aura encore

n — - — [44] Vp =y (- l)\a?* )) ^ — TT •

Ainsi, pour n=5, on trouvera

OÙ uj=r (ô""^)' ®* ^^ retombera sur la valeur deT, N. 98 sauf le changement de r en 9.

Nous donnerons à la fin de l'ouvrage des tables des diverses valeurs de Vp .