ITO

Application & la forme cpiinticnie.

I Oi . Nous pouvons faire une application intéressante des principes exposés jusqu'ici à la théorie des formes quintiques. Nous avons vu, N. 64, que la forme quintique peut être réduite à la forme canonique [23]; or, comme on va voir, l'étude de cette forme peut conduire à des conséquences importantes. Examinons d'abord ce que deviennent les invariants de la proposée [22] lorsqu'on les dérive de la forme [31], invariants auxquels ils sont égaux par la nature de notre substitution. Partons, pour plus de simplicité, de la forme

[1] Xw5-f ^î;5|(^|.^)5 o^

7 Mi

qui se déduit de la forme [31] en posant x=-, m=^ — •

Alors les invariants, multipliés par une puissance convenable de n, seront ceux de [31, N. 64]. L'élimination de w et v entre les dérivées de [1] par rapport k u et h v,

[2] \u*-\-(u + vy = , Mr*+(u + i;)* =

nous fournira le discriminant et par conséquent les invariants de 4« et de 5« ordre, par suite d'une relation connue entre les trois invariants. Nous avons d'abord pour ce discriminant

l'expression (•) x»i+ (i/x-f-l^My' ? ou, sous forme rationnelle et entière,

Norme [x»i+ iV X+ V m)*]= [(x»i+X+|ii)«- 4X»i]'. 128X V (M-X-m) •

(*) Il suffit de voir que des équations [2] on déduit et la première des [33] deviendra

(^^^(Kï+«^».

(**) On entend par norme le produit de plusieurs facteurs, fonctions successivement de toutes les racines d'une équation donnée. Ainsi actuellement

Norme = [x^+(l/H-l/i7)*] [\,x+{Vb-v7)*] [>^ll+{^/b-\-i\/^)*'j [\^+i\/b-i\/IY'j

= [(xh+x+m+6 i/j;v)*-16( vW+yx;r») j [(xn+x+M-ej/x'nOVieCj/J^-V^)*]

^ [(x^i+X+m)*+ 4XM+4 (BXm-X-m) ]/xv] . [(x»i+X+»i)'+4XM (OXm-X-m) V^XV*]^

et enfin = [(x^ + X + m)*+4Xm]'— 16(3X»i— X-fi)'X|ii ;

ce qui se peut mettre encore sous la forme

[(Xm + X+»i>-4Xh]-128XV«(X»i-X-m).

On pourrait encore trouver le discriminant au moyen du déterminant

4X 6X 4X X^+X+fi

6X 4X Xm+X+^ 4^

4X Xm+X+M 4^ 6^

Xfi-fX+M 4^ 6fi 4fi

qu*on formerait à Taide de la méthode abrégée de Bézout, c*est-à-dir» en partant de la forme [24], N. 41, du résultant des deux équations [2]-

En désignant donc généralement par I^ Tinvariant de degré i, on aura

En comparant ces expressions avec celle du discriminant, ou tire cette relation remarquable entre le discriminant et les deux premiers invariants de la fonction quintique, & savoir

Discriminant = 1*^— 128 1^

si on remplace \\i par leurs valeurs, on aura sous forme

entière

f4] I4 = (/m 4" Zn -f- ^^)* — 4imn'

= (Im —In — mn)'-J- élmn (l-\-m — n) , [5] • Ig = l^m^n"^ (Im — In — mn) .

(*) Il sufiBt d'observer ce que devient Tiiivariaiit

I4 = (af— Zle + 2c<f)* — 4 (ac — 4 W + 3c*) [If— Ace + 3d»),

lorsque la forme proposée devient la [32], ou bien que le covariant de 2e ordre et de 2* degré devient Xa?*+ (X)ui + X + M)a;y-|-^y*.

(**) Au moyen du covariant de 6* ordre de la fonction de 5*, on peut trouver Tinvariant de 8* ordre. En effet, ou a pour la forme

Xa?«+3Xrc5y ^ 3x(X+2) x^y'-^- (X^ + X + \i) a?V+ 3m(m+2)«V+ 3Mrry5+ M!^» et alors il viendra pour l'invariant que Ton cherche le déterminant

X 3X 3X(X+2) Xm+X+ih

Xn+X+M

XH+X+M

Mais il est plus simple de prendre la formule

Ig = A(6d-c') + B(&c-aei) + C(ac— &«),

et alors on verra qu^il se réduit à

XV»(Xfi + X + M)-2XV'(X+M) = XV*(XM-X-|ii).

Pour trouver Tinvariant de 12* degré, il n'y a qu'à voir ce que devient dans ce cas le discriminant de Téquation cubique [26] (*), et on trouvera

A ces trois invariants fondamentaux il faudrait ajouter celui de 18« degré trouvé en 1854 par M. Hermite et dont l'expression en fonction de i, m, n donnée par M. Sylvester, serait p] 1,8= ^l^m^n^ (l — m) (l-\-n) (m-^-n).

Pour plus de commodité, on peut changer n en — n, ce qui revient & échanger entre elles p,T et a,T dans les expressions de m et n, et on aura ainsi tout & la fois les 4 invariants fondamentaux sous la forme

J^=:(lm-\-ln-\-7nn)*—4:lmn {l-\-m'{-n) , Ig = l^m^n} {Im -[- In -f- mn) ,

I,«rz=4i'/n'^nMi— w) (i — n) (m— n),

i09. Par cet échange Téquation canonique de la forme quintique binaire deviendrait

Or les valeurs des trois premiers invariants nous permettent de former une équation dont [, m, n seraient les racines. On aura, en effet,

(*) Le discrimiDant (voir les tables) se réduit alors au seul terme **c' = (Xm)«(Xm)« = XV*-

Or le discriminant de cette équation serait

[10] (l^mr (l-ny (m-n)' = îëTîïïfei = ^o .

et en Texprîmant & l'aide de ses coefficients on obtiendra, toutes réductions faites, cette relation remarquable (•)

[11] i;3 = l4(l4li.- l') + 8lIli»-'2TjBlî,-432i;, ,

par laquelle il est démontré très-simplement que l'invariant de lis 63^ fonction des trois premiers invariants fondamen-

(*) Supposons que la forme cubique soit

celle du discrimiiiant est

18apT6 + PV— 4aT» — 4p86— 27a«ôS et si, pour abréger, on pose

l'équation canonisante [9] devient

ac — b^ b - ^

4c 4" ci"

d'où on déduit que le discriminant est

18,4 {ac - b*) bc^ + (ac - b^) b^ - eb^c' + (aC' b^f - 27,16 c* 16c' '

= — ^ r^ (flc -&»)»- 72 a&c« + 8 &3c- 432 c3 16cr L

Il8

Mais par l'équation [10] cette fonction est = g- ;

16c^ donc, en remplaçant a, d, c par leurs valeurs, il viendra

4=I,(l4l»-lî)* + 8l8l«~72l4l8lfi-432I«,

taux (•). Cette même équation va nous servir pour exprimer les coefficients /, m, n et \i de la forime réduite en fonction de ceux de la proposée ; car en la résolvant et en posant, pour abréger,

[12] I,6=I..l4-IV

on aura

12i;,i = - I.e+ P Kl48+216I,j]{+P' Vhz- 2161,.]^ (-).

En remplaçant p par les trois racines cubiques de — l,on aura les valeurs de Z, m, n. De ces expressions il résulte une propriété remarquable de la forme canonique ; car puisque ces coefficients sont des foqptions d'invariants, il s'ensuit que, si dans la forme quintique proposée on fait une substitution linéaire quelconque x=px'-\-qy\ y=p'x'-\-Q'y\ la forme canonique, à cause du facteur pq'—P^Q 4^^ s^^& commun aux coefficients 2, m, n, demeurera invariable. Ainsi la forme canonique (31), N. 64, sera une forme caractéristique de toute forme quintique donnée (22).

(*) Nous avons déjà donné cette méthode poar trouver la relation susdite dans une note insérée dans le Journal de Tortolini, 1855. {**) Il suffit de se rappeler que, en posant

on a fl^ = ~6 + p)/^B + |fll/C + p«|^/|B---Jal/C,

où B=3a&c-fl«rf-26» , C = (a^-d(?)«— 4(ac-&«)(W— (î^). et dans le cas actuel,