IS

Ces valeurs deviennent égales lorsque

I,,=0, ou li,=0,

ce qu'on pouvait prévoir par Téquation [7].

Dans cette hypothèse, les coefficients de la forme canonique

équidistants des extrêmes seront égaux; et par conséquent réquation proposée pourra se résoudre algébriquement.

i03. Nous pouvons encore faire une application à Téquation de 5« degré de ce que nous avons appris à Tégard des invariants exprimés en fonction des racines.

On sait que Lagrange a réussi à faire dépendre la résolution d'une équation donnée, de celle d'une seconde équation que Ton appelle résolvante^ et dont la racine est composée linéairement avec celles de l'équation proposée et les puissances d'une racine de l'unité du même degré. En particulier Lagrange a démontré que la résolution par radicaux de l'équation du 5« degré, si elle est possible, peut être réduite & la détermination d'une racine commensurable d'une équation du

6« degré dont les coefficients dépendent rationnellement de ceux de la proposée. Cela provient de ce qu'on peut former des fonctions de 5 lettres n'ayant que 6 valeurs ; mais comme elles sont au moins ^\i second degré par rapport & Tune des lettres, le calcul des coefficients de la résolvante en fonction des coefficients de la forme quintique devient extrêmement pénible. Mais M. Hermite (*) avec la pénétration qui lui est propre, a le premier reconnu qu'on peut former une fonction des 5 racines n'ayant que 6 valeurs et bien appropriée au calcul, puisque elle est en même temps un invariant de la quintique. Soient, en eflFet, a, p, t, b, € les racines de l'équation

Posons d'après ce géomètre

Cette expression n'est susceptible que de 6 valeurs; ce sont en appelant X la première partie, \i la seconde; et en posant pour abréger

X = (1,2, 3, 4, 5) , fi = (l,3,5,2,4)r)

les expressions suivantes:

où

X,zz=(l,2,5,3,4), n,= (l,3,2,4,5),

X,= (1, 2, 5, 4, 3), Me= (1, 4, 2, 3, 5).

(*] Cambridge and Dublin Mathematical Journal 1854.

(^*) Les nombres 1, 2, 3, 4, 5 représentent auccessivement les racines

«» P» Ti ^» €•

Soit maintenant

la résolvante, dont ^„ t^t > - -^t^ seraient les racines. Puisque les coefficients A sont des fonctions symétriques des quantités t et par conséquent des fonctions symétriques des différences des racines Oi, a,, ..., o^, lesquelles y entrent toutes au même degré, ces coefficients seront des invariants de la forme quintique; donc, d'après la remarque du N' 99, A,, A,, ..., A^ seront des fonctions linéaires successivement

Al A,

de I4, A4

de I4*, Ig , As

de V, I4I8, In , Ae

del4*, I4M8, I„l4, la»,

del4M4Mg, l4nH. l4l8MaI.2,

de l4«, I4M8, UM», l4« V, I4I8I1,, Vt lit*.

L'invariant fondamental I^g n'y figure pas, car puisque les coefficients sont des fonctions rationnelles et entières de degré multiple de 4 par rapport aux coefficients a de la forme quintique, et tout au plus de 24« degré, aucune combinaison de Ifg avec les autres invariants'fondamentaux n'est possible. On voit ainsi avec quelle facilité, une fois les invariants connus, on peut maintenant contrôler ou achever des calculs qui auraient été autrement inabordables.