AC — B») X«+ ( AD — BC) XY + (BD — C») Y
En effet , à Taide des valeurs
B = q (ap*+ cp'*) + 2pp' (qb + q'c) + q' (J)p*+ dp'*) , C=p {ag*+ cq'*) + 2qq' (pb + p'c) + p[ W + ^'') >
on vérifiera sans peine, que ( AC — B«) X*+ (AD — BC) XY + (BD — C«) Y*= {pqf—p'qY T.
On peut constater facilement, par exemple, que les coefficients de X* sont é^ux dans les deux membres, c'est-à-dire que
AC — B*= (1)3'— p'q) » [(ac — &*) i)*+(ad — bc) pi)'+(&rf — c«) p'*] .
■05. Ainsi ^()u^ covariant qp e^^ tine fonction qui satisfait à Véquation
[6] 9(Ao,A,,A,...X,Y)==(p3'--l>'(^)^^.9(ao,ai,a,...pX^-(zY,l)'X+a'Y)
ou
[7] 9 (Ao, Al, A„ ..., ^J)=(pq'—P'q)^^ (a^, a,, a„ ..., a?, y).
D'après cette définition, chaque coefflcient de X* Y* dans le 1«' membre de [6] reproduit, à un facteur près {pq^—p*q)^y le coefflcient du même terme dans le second membre.
■OA« Nous appellerons, comme pour rinvariant, \i Vindice du covariaut ; et si nous supposons que le degré du covariant par rapport aux variables soit m, et que le degré du covariant par rapport aux coefficients soit r, on aura ce
l*' Théorème. Vindice du covariant est exprimé par la formule \i = — 5 —
DÉMONSTRATION. Eu effet Ics Coefficients A, étant de degré n par rapport aux quantités p, ç, p\ q\ et figurant au degré r dans le covariant 9, les coefficients des variables X,Y, seront de degré nr par rapport & ces mêmes quantités: d'ailleurs celles-ci entrent déjfi au degré m dans la forme qp du second membre [6]: doue puisque le déterminant est de degré 2; on aura
^ nr — m
2,\x = nr—'m , \i = — g —
Par exemple, pour n=3, r=2, m=2, on aura M=2, comme on vient de voir dans le covariant susdit de la forme cubique.
Puisque les covariants peuvent être de diflférent degré par rapport aux variables et aux coefficients, nous appellerons ordre le degré m du covariant par rapport aux variables , et degré le degré r par rapport aux coefficients de la forme.
Corollaire. Pour les formes de degré pair, les covariants sont d'ordre pair.
■OY. 2« Théoi^me. Les poids des différents coefficients d'un covariant forment une progression arithmétique dont le premier terme est Vindice — ^ — et la raison 1.
Démonstration. En efiet, si Ton fait la substitution
a? = X y= aY,
le coefficient du terme en X Y acquerra le facteur a • , en appelant it. son poids, tandis que le facteur en a du même
* nr — m .
terme dans le second membre de l'équation [7] sera a «
